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Reelle Zahlen

Reelle Zahlen. Variablen, die grundsätzlich reelle Werte annehmen können oder in Ausdrücken erscheinen, die einen reelllen Wert liefern, sollten vom Typ REAL sein. Division ganzer Zahlen.

evelyn
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Reelle Zahlen

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Presentation Transcript

  1. Reelle Zahlen • Variablen, die grundsätzlich reelle Werte annehmen können oder in Ausdrücken erscheinen, die einen reelllen Wert liefern, sollten vom Typ REAL sein.

  2. Division ganzer Zahlen • Betrachte die Auswertung der Anweisung a = b*c/d, wobei b eine reelle Variable mit dem Wert 100.0 ist, während c und d ganze Zahlen mit den Werten 9 und 10 sind. • b*c wird zuerst ausgewertet, wobei c zunächst in den reellen Wert 9.0 umgewandelt wird. • Danach wird der Wert von d in seinen reellen Gegenwert umgewandelt, bevor die Division ausgeführt wird. Ellis et al. (1994), S. 48

  3. Division ganzer Zahlen • Was passiert, wenn der Ausdruck in der folgenden, mathematisch gleichwertigen Form geschrieben worden wäre: a = c/d*b ? • In der ersten Operation sind beide Operanden ganze Zahlen, so dass der Unterausdruck c/d als ganzzahlige Operation ausgeführt wird. • Das mathematische Ergebnis (0.9) wird abgeschnitten und liefert ein Zwischenergebnis von Null. Ellis et al. (1994), S. 49

  4. Literaturhinweis • Ellis, T.M.R., Phillips, Ivor R., and Lahey, Thomas M.: Fortran 90 Programming, Addison-Wesley Publishing Company, 1994. M. Schulz

  5. Mathematical Operations Deg_C = 5.0 * (Deg_F ­ 32.0) / 9.0  The expression on the RHS is evaluated and assigned to the REAL variable Deg_C * is the multiplication operator, ­ is the subtraction operator, / is the division operator, ** is the exponentiation, and = is the assignment operator. M. Schulz

  6. Important Built-In Functions ABS(x) Absolute value LOG(x) Natural logarithm LOG10(x) Base-10 logarithm EXP(x) Natural exponential SQRT(x) Square root SIN(x) Sine (x in radians!) COS(x) Cosine TAN(x) Tangent ASIN(x) Arcsine ACOS(x) Arccosine ATAN(x) Arctangent INT(x) Convert real to integer, truncation (7.8  7) NINT(x) Convert real to integer, rounding (7.8  8) REAL(i) Convert integer to real (1  1.0)

  7. Unix-Tipp • Wenn das aktuelle Verzeichnis “.” nicht im Suchpfad enthalten ist, dann kann man ein Programm a.exe mit dem Befehl ./a.exe starten.

  8. Tipps zur Fehlersuche • “PRINT”-Anweisungen einbauen, um den Wert bestimmter Variablen zu überprüfen • Spezielle Compileroptionen wählen, um zum Beispiel Feldbereichsüberschrei-tungen anzuzeigen

  9. G95-Optionen

  10. Fortran-Links • http://www.g95.org/ • http://www.g95.org/G95Manual.pdf • http://de.wikibooks.org/wiki/Fortran • http://de.wikibooks.org/wiki/Fortran:_Fortran_95 • http://de.wikibooks.org/wiki/Fortran:_G95

  11. Vergleichsoperatoren

  12. Energiebilanzmodell(Aufgabe 4) Projektübung Klimamodellierung (05-3034) – A. Paul

  13. Punktmodell der Strahlungsbilanz (Stocker 2004, Abschnitt 2.2) Gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung für die unbekannte, zeitabhängige Variable T(t)

  14. Gleichgewichtstemperatur des globalen Energiebilanzmodells: Die aus Messungen bestimmte mittlere Oberflächentemperatur beträgt 14°C (fett ausgezogen).

  15. Eis-Albedo-Rückkopplung • Die Eis-Albedo-Rückkopplung soll durch folgende Abschätzung der Elbedo parameterisiert werden:

  16. Diskretisierung t = n Dt, n=0,1,2,… T(t) in eine Taylorreihe entwickeln: Nach der ersten Ableitung auflösen: Euler-Schema

  17. Ersetzen von Dt durch -Dtund addieren: Schema der zentrierten Differenzen

  18. Das Euler-Verfahren ist das einfachste, aber auch ungenaueste Verfahren zur Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit der Anfangsbedingung Im Fall des Energiebilanzmodells ist

  19. Das Euler-Verfahren wertet die Ableitung nur an den Stellen x und x+Dx aus. • Dies entspricht der Linearisierung der langwelligen Ausstrahlung. • Genauere Verfahren vom Typ “Runge-Kutta k-ter Ordnung” verwenden weitere Stützstellen im Intervall [x, x+Dx]

  20. Runge-Kutta-Verfahren k-ter Ordnung • Durch die Auswertung von f(x,y) an weiteren Stützstellen im Intervall [x, x+Dx] und eine geschickte Linearkombination kann der Fehler von O(Dx) auf O[(Dx)k] reduziert werden

  21. Die Vorschrift für das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordung lautet: Stocker (2004), S. 33

  22. Parameterisierte REAL-Variablen • REAL-Variablen (reelle Zahlen) sind „parameterisiert“. • Der kind-Typparameter legt die Anforderungen an die minimale Genauigkeit und den Bereich des Exponenten fest.

  23. ! Parameter declarations ! Symbolic name for a real kind type with at least ! 15 decimal digits of precision and an exponent range ! from 10**300 to 10**(-300) (“double precision”) INTEGER, PARAMETER :: dp=SELECTED_REAL_KIND(P=15,R=300) ! Symbolic name for a real kind type with at least ! 6 decimal digits of precision and an exponent range ! from 10**30 to 10**(-30) (“single precision”) INTEGER, PARAMETER :: sp=SELECTED_REAL_KIND(P=6,R=30) ! Symbolic name for a default real kind type INTEGER, PARAMETER :: q=dp ! Variable declarations REAL(KIND=q) :: dpress REAL(KIND=q), DIMENSION(1:km) :: p

  24. FUNCTION- und SUBROUTINE-Unterprogramme • FUNCTION-Unterprogramme berechnen einen einzigen Wert, der an der Aufrufstelle eingesetzt wird. • SUBROUTINE-Unterprogramme gestatten die gleichzeizige Berechnung mehrerer Werte.

  25. FUNCTION- und SUBROUTINE-Unterprogramme SUBROUTINE rk4(y,dx,yp) IMPLICIT NONE ! Dummy arguments REAL(KIND=q), INTENT(IN) :: y,dx REAL(KIND=q), INTENT(OUT) :: yp ! Local variables ! dy1, dy2, dy3, dy4 = correspond to K1, K2, K3, K4 in ! fourth-order Runge-Kutta formula REAL(KIND=q) :: dy1,dy2,dy3,dy4 dy1 = f(y) dy2 = f(y + dx/2.0_q*dy1) dy3 = f(y + dx/2.0_q*dy2) dy4 = f(y + dx*dy3) yp = (dy1 + 2.0_q*dy2 + 2.0_q*dy3 + dy4)/6.0 END SUBROUTINE rk4

  26. Block IF-Struktur ! Variable declarations ! tol = criteria of convergence (K) REAL(KIND=q) :: tol [..] ! Initializations tol = 1.0E-03_q [..] ! Time loop DO itt=1,ittmax [..] ! Test for convergence IF (ABS(tf – ti) < tol) THEN EXIT END IF END DO

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