Referat zum Bau von Suffix Baeumen

1. Referat zum Bau von Suffix Baeumen Autoren: Hanna Kraeusel Axel Block Magnus Brockschmidt

2. Prozeduraler Algorithmus Konstruiere T1; for (i=1; i<m; i++) { /*Beginn von Phase i+1 */

3. Prozeduraler Algorithmus Konstruiere T1; for (i=1; i<m; i++) { /*Beginn von Phase i+1 */ for (j=1; j<=j+1;j++) { /*Beginn von der j-ten Erweiterung*/

4. Prozeduraler Algorithmus Konstruiere T1; for (i=1; i<m; i++) { /*Beginn von Phase i+1 */ for (j=1; j<=i+1;j++) { /*Beginn von der j-ten Erweiterung*/ Finde das Ende des Pfades mit Label S[j..i]; Falls noetig, erweitere den Pfad durch S[i+1]; } }

5. Erweiterungsregeln • ß endet in einem Blatt. Dann füge [i+1]zum Kantenlabel hinzu.

6. Erweiterungsregeln • ß endet in einem Blatt. Dann füge [i+1]zum Kantenlabel hinzu. • Es gibt keinen Pfad am Ende von ß, der mit S[i+1] weitergeht, aber mindestens ein anderer Pfad geht weiter. Dann füge eine neue Kante mit Label S[i+1] ein. Dazu muß ein neuer Knoten erzeugt werden, wenn ß mitten in einer Kante endet. Gib dem neuen Blatt Nummer j.

7. Erweiterungsregeln • ß endet in einem Blatt. Dann füge [i+1]zum Kantenlabel hinzu. • Es gibt keinen Pfad am Ende von ß, der mit S[i+1] weitergeht, aber mindestens ein anderer Pfad geht weiter. Dann füge eine neue Kante mit Label S[i+1] ein. Dazu muß ein neuer Knoten erzeugt werden, wenn ß mitten in einer Kante endet. Gib dem neuen Blatt Nummer j. • Es gibt einen Pfad am Ende von ß, der mit S[i+1] weitergeht. In diesem Fall ist ßS[i+1] schon im Baum und wir tun nichts.

8. Beispiel: Wir wollen den Suffix Baum des Strings abcabcabacdba erzeugen. Um den Baum zu bilden, muss in der Phase i der Baum Bi in den BaumBi+1 umgewandelt werden. Wir beschreiben jede Phase und zeichnen den Baum immer, wenn die Phase beendet ist.

9. Einfügen von aGesamter String: a Es ist nur a Einzufügen! (Regel 2) a

10. Einfügen von bGesamter String: ab In der ersten Erweiterung fügen wir ein b an das vorhandene Blatt an. (Regel 1) a b

11. Einfügen von bGesamter String: ab In der ersten Erweiterung fügen wir ein b an das vorhandene Blatt an. (Regel 1) Die zweite Erweiterung konstruiert einen neuen Ast mit der Bezeichnung b. (Regel 2) a b b

12. Einfügen von bGesamter String: ab In der ersten Erweiterung fügen wir ein b an das vorhandene Blatt an. (Regel 1) Die zweite Erweiterung konstruiert einen neuen Ast mit der Bezeichnung b. (Regel 2) a b b Jetzt stehen alle Suffixe des Strings ab im Baum.

13. Einfügen von cGesamter String: abc In den ersten beiden Erweiterungen fügen wir ein c an die vorhandenen Blätter an. Die dritte Erweiterung konstruiert einen neuen Ast mit der Bezeichnung c. Jetzt sind alle Suffixe von abc im Baum enthalten. a b c b c c

14. Einfügen von aGesamter String: abca In den ersten drei Erweiterungen fügen wir ein a an die vorhandenen Blätter an. Die vierte Erweiterung muss keinen neuen Ast kreieren, da a bereits Als Präfix von abca vorhanden ist. (Regel 3) Jetzt sind alle Suffixe von abca im Baum enthalten. a b c b c a c a a

15. Einfügen von bGesamter String: abcab Diese Phase ist synchron zur vorherigen Phase. a b c b c a c a b a b b

16. Einfügen von cGesamter String: abcabc Auch hier ist nichts anderes zu tun. Man erkennt, dass der Suffix Baum keine weiteren Äste hinzufügt, wenn die neuen Character nur Teilstrings des gesamten Strings bilden. a b c b c a c a b a b c b c c

17. Einfügen von aGesamter String: abcabca Nur anhängen von a an die vorhandenen Äste nötig! a b c b c a c a b a b c b c a c a a

18. Einfügen von bGesamter String: abcabcab Jetzt wird noch b an die vorhandenen Äste angefügt! a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b b

19. Einfügen von aGesamter String: abcabcaba a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b a b a a Erweiterung 1 bis 3: Wie zuvor auch fuegen wir ein a an alle Aeste an.

20. Einfügen von aGesamter String: abcabcaba a b c b c a c a b a b c b c a c a a b a b a b a a Erweiterung 4: Jetzt muss der String abcaba gefunden werden. Von der Wurzel laufen wir abcab runter und fuegen ein a an.

21. Einfügen von aGesamter String: abcabcaba a b c b c a c a b a b c b c a c a a b a b a b a a Erweiterung 4: Jetzt muss der String abcaba gefunden werden. Von der Wurzel laufen wir abcab runter und fuegen ein a an.

22. Einfügen von aGesamter String: abcabcaba a b c b c a a c a a b a b c a b c a a c a a b a b a b a a

23. Einfügen von cGesamter String: abcabcabac a b c b c c a a c a a c b a c b c a b c a a c c a a c b a c b a b a c a c c

24. Einfügen von dGesamter String: abcabcabacd a b c d b c c a a d c a d a c b a c b d c a b d c a a c c a a c b d a c b d a b d a c a c d c d d

25. Einfügen von bGesamter String: abcabcabacdb a b c d b c c a a d b c a d a c b b a c b b d c a b d c a b a c c a b a c b d a c b d a b b d a b c a b c d c d b d b b

26. Einfügen von aGesamter String: abcabcabacdba a b c d b c c a a d b c a d a c b b a a c b b d c a a b d a c a b a c c a b a c a b d a c a b d a b b d a b c a a b c a d c a d b d b a b a a

27. Definition von Suffix Links • Knoten v hat die Beschriftung x (wobei x ein einzelner Character sei).  ist möglicherweise leer.

28. Definition von Suffix Links • Knoten v hat die Beschriftung x (wobei x ein einzelner Character sei).  ist möglicherweise leer. • Knoten s(v) hat die Beschriftung 

29. Definition von Suffix Links • Knoten v hat die Beschriftung x (wobei x ein einzelner Character sei).  ist möglicherweise leer. • Knoten s(v) hat die Beschriftung  • Jetzt heißt die Kante v  s(v) ein Suffix-Link.

30. Gibt es für jeden Knoten v ein Suffix Link zu s(v)?

31. Beobachtung Wenn der Knoten v als neuer innerer Knoten während der Verarbeitung von Erweiterung j in Phase i durch den bisherigen Algorithmus eingesetzt wird, und wenn v die Markierung x trägt, dann gilt eine der beiden Aussagen: • Der Weg mit Beschriftung  endet in einem bereits vorhandenen inneren Knoten w = s(v). • Ein neuer Knoten s(v) wird bei der Verarbeitung von Extension j+1 in Phase i angelegt und s(v) hat  als Beschriftung.

32. Beweis • Das Hinzufügen eines Knoten v kann nur in der Erweiterungsregel 2 passiert sein. • Dann gibt es, neben der Verbindung zum neuen Blatt, auch einen weiteren von v ausgehenden Weg, der den Buchstaben y als ersten besitzen möge.

33. Es treten zwei Fälle auf Fall1:Der gegenwärtige Baum besitzt neben xy einen weiteren Weg von der Wurzel beginnend mit der Beschriftung xz, wobei z ein beliebiger String aus dem Suffix sei, und z  y. • Jetzt gibt es Suffixe mit den Präfixen xy und xz, also auch mit y und z. Deswegen besitzt der Baum einen Knoten s(v) mit der Beschriftung . • Fall2: Der gegenwärtige Baum besitzt keinen weiteren Weg wie in Fall1, dann wird in der Verarbeitung von S(j+1..i) ein neuer innerer Knoten s(v) angelegt, der die Beschriftung  hat, weil es Suffixe mit den Präfixen y und S(i+1) gibt.

34. Lemma • Bei Ukkonens Algorithmus hat jeder implizite Suffix Baum für jeden neuen inneren Knoten einen Suffix Link nach dem Ende der nächsten Erweiterung.

35. Beweis • Der Beweis dieses Lemmas ist induktiv. • Sie ist wahr für B1, weil B1 noch keine Knoten besitzt. • Da in der letzten Erweiterung einer Phase keine neuen Knoten eingefügt werden, denn in dieser Phase ist der zu behandelnde String nur ein einzelner Character, sind am Ende der Phase i alle Knoten mit Suffix Links belegt und zu Beginn der Phase i+1 gilt ebenfalls die Aussage.

36. Single extension algorithm (SEA) Begin • Finde Knoten v über dem Ende von S[j-1..i]. Laufe eine Kante vom Ende von S[j-1..i] hoch. Sei nun y der String zwischen dem Ende von S[j-1..i] und v.

37. Single extension algorithm (SEA) Begin • Finde Knoten v über dem Ende von S[j-1..i]. Laufe eine Kante vom Ende von S[j-1..i] hoch. Sei nun y der String zwischen dem Ende von S[j-1..i] und v. • Wenn v nicht die Wurzel ist, gehe den Suffix Link entlang nach s(v). Klettere den Baum herunter an dem Ast des Strings y. Wenn v die Wurzel ist, folge S[j..i] von der Wurzel.

38. Single extension algorithm (SEA) Begin • Finde Knoten v über dem Ende von S[j-1..i]. Laufe eine Kante vom Ende von S[j-1..i] hoch. Sei nun y der String zwischen dem Ende von S[j-1..i] und v. • Wenn v nicht die Wurzel ist, gehe den Suffix Link entlang nach s(v). Klettere den Baum herunter an dem Ast des Strings y. Wenn v die Wurzel ist, folge S[j..i] von der Wurzel. • Sorge gemäss den Erweiterungsregeln dafür, dass der String S[j..i]S(i+1) im Baum enthalten ist.

39. Single extension algorithm (SEA) Begin • Finde Knoten v über dem Ende von S[j-1..i]. Laufe eine Kante vom Ende von S[j-1..i] hoch. Sei nun y der String zwischen dem Ende von S[j-1..i] und v. • Wenn v nicht die Wurzel ist, gehe den Suffix Link entlang nach s(v). Klettere den Baum herunter an dem Ast des Strings y. Wenn v die Wurzel ist, folge S[j..i] von der Wurzel. • Sorge gemäss den Erweiterungsregeln dafür, dass der String S[j..i]S(i+1) im Baum enthalten ist. • Wenn in Erweiterung j-1 ( nach Erweiterungsregel 2) ein Knoten w erzeugt wurde, dann muss der String  das Ende des Suffix Links s(w) sein. Erzeuge einen Link (w,s(w)) von w nach s(w). End.

40. Beispiel: Wir wollen den Suffix Baum des Strings abcabcabacdb mit Hilfe von Suffixlinks erzeugen. Um den Baum zu bilden, muss in der Phase i der Baum Bi in den BaumBi+1 umgewandelt werden.

41. Einfügen von aGesamter String: a Es ist nur a Einzufügen! In den ersten Phasen sind die Suffix Links noch nicht wichtig, da noch keine Knoten vorhanden Sind. a

42. Einfügen von bGesamter String: ab In der ersten Erweiterung fügen wir ein b an das vorhandene Blatt an. a b

43. Einfügen von bGesamter String: ab In der ersten Erweiterung fügen wir ein b an das vorhandene Blatt an. Die zweite Erweiterung konstruiert einen neuen Ast mit der Bezeichnung b. a b b

44. Einfügen von bGesamter String: ab In der ersten Erweiterung fügen wir ein b an das vorhandene Blatt an. Die zweite Erweiterung konstruiert einen neuen Ast mit der Bezeichnung b. a b b Jetzt stehen alle Suffixe des Strings ab im Baum.

45. Einfügen von cGesamter String: abc In den ersten beiden Erweiterungen fügen wir ein c an die vorhandenen Blätter an. Die dritte Erweiterung konstruiert einen neuen Ast mit der Bezeichnung c. Jetzt sind alle Suffixe von abc im Baum enthalten. a b c b c c

46. Einfügen von aGesamter String: abca In den ersten drei Erweiterungen fügen wir ein a an die vorhandenen Blätter an. Die vierte Erweiterung muss keinen neuen Ast kreieren, da a bereits Als Präfix von abca vorhanden ist. Jetzt sind alle Suffixe von abca im Baum enthalten. a b c b c a c a a

47. Einfügen von bGesamter String: abcab Diese Phase ist synchron zur vorherigen Phase. a b c b c a c a b a b b

48. Einfügen von cGesamter String: abcabc Auch hier ist nichts anderes zu tun. Man erkennt, dass der Suffix Baum keine weiteren Äste hinzufügt, wenn die neuen Character nur Teilstrings des gesamten Strings bilden. a b c b c a c a b a b c b c c

49. Einfügen von aGesamter String: abcabca Nur anhängen von a an die vorhandenen Äste nötig! a b c b c a c a b a b c b c a c a a

50. Einfügen von bGesamter String: abcabcab Jetzt wird noch b an die vorhandenen Äste angefügt! a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b b