A pirâmide e suas formas

1. A pirâmide e suas formas

2. Definição V • Observe a animação.  O conjunto de todos esses segmentos com extremos no ponto V e um dos pontos do polígono é um poliedro chamado pirâmide.

3. V E F A D C B Elementos principais da Pirâmide A pirâmide tem dois tipos de faces • A base (polígono ABCDEF). • faces laterais (triângulos). • Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.

4. V E F A D C B Elementos principais da Pirâmide A pirâmide tem dois tipos de arestas • arestas da base (AB, BC, CD, DE, EF e FA). • arestas laterais (VA, VB, VC, VD, VE e VF ).

5. V E F A D C B Elementos principais da Pirâmide h  • A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.

6. Nomenclatura • Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base. Polígono da base Pirâmide triângulo P. triangular quadrilátero P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal

7. Veja algumas dessas pirâmides Pirâmide Pentagonal Pirâmide triangular

8. Pirâmide regular • Pirâmide regular é aquela em que • A base é um polígono regular; • A projeção do vértice sobre o plano da base é o centro dessa base. • As arestas laterais são congruentes. • Como conseqüência as faces laterais são triângulos isósceles, congruentes entre si.

9. V V h h O O Pirâmides regulares A base da pirâmide é um hexágono regular A base da pirâmide é um quadrado ⇒ ⇒ Pirâmide hexagonal regular Pirâmide quadrangular regular

10. V D C A B Apótema da pirâmide VM é o apótema (p) da pirâmide p ⇒ M BM = MC

11. V p h a B m O M b r A Segmentos notáveis na pirâmide regular • VO = h, altura; • VA = a, aresta lateral; • AB = b, aresta da base;

12. Segmentos notáveis na pirâmide regular V • OM = m, apótema da base; • OA = r, raio da base; • VM = p, apótema pirâmide; p h a B m O M b r A

13. A pirâmide e oteorema de Pitágoras

14. A pirâmide e o teorema de Pitágoras V p2 = h2 + m2 p h B O M m A

15. A pirâmide e o teorema de Pitágoras V a2 = h2 + r2 h a O r A

16. A pirâmide e o teorema de Pitágoras V a2 = p2 + (b/2)2 p a B M b/2 A

17. Exemplos • Numa pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e o apótema da base mede 3 cm. Calcular o raio da base, a aresta da base, a altura e o apótema da pirâmide. V M O A

18. V p a B M b A Exemplos • Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta lateral mede 10 cm e a área da base 144 cm2. Achar sua área lateral.

19. Volume da pirâmide

20. Volume da pirâmide • A figura a seguir mostra um prisma e uma pirâmide regulares de mesma base e mesma altura. • Qual dos dois tem maior volume? Qual a relação entre os dois volumes? Pode-se provar que a razão entre os dois volumes é exatamente igual a 3.

21. 1 AB.h V = 3 Volume da pirâmide • Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.

22. Exemplo • Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 2, e a área lateral é o dobro da área da base. Obter a área total e o volume da pirâmide. V p h B m M A b

23. Tronco de pirâmide

24. R h’ D’ C’ B’ A’ D’ C’ A’ B’ h – h’ D C B A Tronco de Pirâmide R h’ D’ C’ h B’ A’ D C Tronco de pirâmide B A

25. R h’ D’ C’ B’ A’ RA AB h = =... = = k RA’ A’B’ h’ Razão de semelhança - Comprimentos R h D C Razão de semelhança A B

26. R h’ D’ C’ B’ A’ AB AL AT = = = k2 A’B A’L A’T Razão de semelhança - Áreas R h D C A B

27. R h’ D’ C’ B’ A’ V = k3 V’ Razão de semelhança - Volumes R h D C A B

28. x x/3 Exemplos • A superfície de um recipiente tem forma de pirâmide regular de altura x, conforme figura. Colocam-se, dentro dele, 100 mL de água. Com isso, ela atinge o nível x/3. Achar a capacidade do recipiente.

29. V 6 Exemplos • Num tronco de pirâmide quadrangular regular, a altura mede 6 m. Suas bases têm 16 m2 e 64 m2 de área. Calcular o volume desse tronco. 16 m2 h h + 6 64 m2