1. Bevezetés a waveletekhez (folytatás)

1. 1. Bevezetés a waveletekhez (folytatás) Speciálkurzus 2009 tavasz

2. Matematikai alapok (folytatás) • Lineáris algebra, lineáris tér • Függvényterek, ortogonalitás • Fourier transzformáció, DFT, FFT • Lineáris rendszerek, konvolúció • Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

3. Fourier transzformáció A folytonos Fourier transzformáció (CFT) ω a körfrekvencia, t az idő, az integrálás az f(t) jel ill. F(ω) transzformált teljes értelmezési tartományára vonatkozik

4. CFT, frekvencia változó Az ω helyett a ν frekvencia változóval szimmetrikus egyenleteket kapunk: ω = 2πν

5. Ablakfüggvény, CFT A Π(t)ablakfüggvény CFT-je a sinc(f) függvény (most f a frekvencia): ω = 2πf

6. CFT, tulajdonságok linearitás: eltolás (fázis változás):

7. F(ω) Im √I(ω) Φ(ω) Re Fourier transzformált nagysága és fázisa nagyság és fázis: F(ω) = nagyság{F(ω)}e-ifázis{F(ω)} I(ω) = nagyság{F(ω)2} Φ(ω) =fázis{F(ω)}

8. Konvolúció tétel a konvolúció CFT-je a tényező függvények CFT-inek szorzata

9. Lineáris időinvariáns rendszerek a rendszert jellemzi a g(t) impulzusválasz vagy a G(ω) frekvencia átviteli függvény.

10. Diszkrét Fourier transzformáció, DFT Mintavételezés hatása a spektrumban (‘aliasing’, átlapolódás)

11. DFT, mintavételezési tétel A mintavételezési frekvencia legalább kétszerese legyen a jelben előforduló legnagyobb frekvenciának (Nyquist frekvencia). Ekkor nincs átlapolódás:

12. Mintavételezett ablak, Dirichlet kernel A Π(t)ablakfüggvényt mintavételezzük – a transzformáltja a sinc(f) függvény analógiája – a Dirichlet kernel (magfüggvény). A frekvencia folyamatos (0, 0.5) között

13. DFT, véges jelsorozat A mintavételezett jelsorozat térben korlátozott kiterjedésű – ez egy levágó ablak alkalmazásának felel meg. Eredmény: spektrális ‘szivárgás’, a spektrum elkenődése

14. DFT transzformált pár N db. mintát veszünk a jelből mind az idő- mind a frekvencia tartományban. Ez a diszkrét Fourier transzformáció: Műveletigény: N2 db. komplex szorzás, N(N – 1) db. komplex összeadás

15. FFT, 2D DFT Műveletigény: A diszkrét transzformáció műveletigénye csökkenthető ~N2 -ről, N log2N –re: ez a gyors Fourier transzformáció (FFT) Két dimenzió esetén először az adattömb sorait, majd az eredmény oszlopait transzformáljuk: 2D FFT

16. Sztochasztikus folyamatok, idősorok, stacionaritás Sztochasztikus folyamat – realizációk E{xn} : realizációkra vett átlag

17. Stacionárius folyamatok, ergodicitás Stacionárius folyamat: statisztikai jellemzők t-től nem függnek pl. az átlag: Tágabb értelemben stacionárius folyamat (WSS): statisztikai jellemzők csak az idő eltolástól (t – τ ) függnek Ergodikus folyamat: a realizációkra vett átlagot helyettesíthetjük az idő szerinti átlagokkal

18. Fehérzaj (WN) A fehérzaj kifejezés nem ír le egyértelműen egy sztochasztikus folyamatot!

19. Sztochasztikus folyamatok spektrálanalízise • Penc, KGO permanens GPS állomás magassági koordináta adatsora (cm)

20. Fourier transzformált nem létezik Diszkrét idősor spektruma (–½, ½) intervallumra: –½ ≤ f ≤ ½ az alábbi módon állíthatjuk vissza: xnmost sztochasztikus folyamat – a FT nem létezik!

21. ... helyette van a PSD (teljesítmény spektrum) egy keskenysávú sáváteresztő szűrő Sx(f) a jel PSD (teljesítmény sűrűség) spektruma

22. PSD másik definíciója Sx(f ) az Rx(t) autokorreláció Fourier transzformáltja: inverz transzformáltját véve:

23. Fehérzaj PSD a fehérzaj autokovariancia függvénye a Dirac-féle delta függvény (disztribúció) számszorosa, s2(t) a PSD: a folytonos fehérzaj fizikai értelemben fikció – nincs végtelen energiájú sztochasztikus folyamat!

24. Szűrt folyamat PSD-je a konvolúciós szűrés egyenlete szerint a szűrt y(t) jel: ahol g(t) a szűrő impulzus átviteli függvénye (magfüggvénye) Ha ismerjük Sx(f )-et, akkor számíthatjuk Sy(f )-t

25. Idősor PSD-je diszkrét Fourier transzformációk határértéke Alternatív definíció az autokovariancia függvény segítségével: –½ ≤ f ≤ ½

26. Spektrum (PSD) becslése adatok alapján a sztochasztikus folyamatból nem végtelen, hanem csak N db. mintával rendelkezünk • a valódi spektrum helyett egy olyan spektrumot kapunk, amely a valódi spektrum és a Dirichlet-féle magfüggvény konvolúciója – az egzakt dekonvolúció (kijavítás) lehetetlen végső soron egy olyan függvényt akarunk meghatározni, amely több ismeretlentől függ mint ahány mérésünk van ez inverz feladat, rosszul kondicionált! A megfelelő közelítést adó eljárás megtalálása jó hozzáértést és tapasztalatot kíván

27. Spektrum (PSD) periodogram becslése torzítatlan, de inkonzisztens becslés a becslés szórásaSx(f )2, azaz megegyezik magával a becsléssel!

28. Spektrum (PSD) periodogram becslése

29. Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei • Yule-Walker egyenletek • Maximum Entropy Spectral Estimation (MESE) • Welch módszer (szekció átlagolás) • Multitaper módszer

30. Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei 62 Hz-es szinuszhullám, amelynek amplitúdója –75 dB.

31. Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei Átlagolás nélküli és Welch-féle szekció átlagolással meghatározott spektrumok

32. Spektrum becslésének paraméteres és nemparaméteres módszerei Welch-féle ablakfüggvénnyel meghatározott spektrum és adaptív DPSS multitaper spektrum