Systematiska fel

1. Systematiska fel Antag att vi mäter en variabel som har ett sant väde = 25, och med en mätmetod som ger en spridning = 5. Ju fler mätningar vi gör, desto bättre kommer våra mätta värden att likna en normalfördelning centrerad kring 25 och med s = 5. Det är viktigt att minnas att s är en egenskap hos mätmetoden (och i vissa fall hos den mätta variabeln), osäkerheten i bestämmningen av medelvärdet ges som vi sett tidigare av sm = s / √N där N är antalet mätningar Så länge detta är hela bilden så tycks vi kunna göra en godtyckligt noggrann bestämmning av den mätta parametern bara genom att öka antalet mätningar. I realiteten fungerar inte detta, alla mätningar är förutom de slumpmässiga felen - som vi kan behandla med hjälp av våra statistiska metoder - också behäftade med systematiska fel. Dessa är per definition en typ av fel som inte kan göras mindre genom att upprepa mätningarna ett stort antal gånger. Systematiska fel är svåra att uppskatta - att upptäcka och minimera systematiska fel är en stor och viktig del av det som skulle kunna kallas experimentellt hantverkskunnande. Några exempel från g-labben: Längdskalan är fel: om linjaler och dylikt som används för att mäta fallhöjden är felaktiga, till exempel 10% för korta, så kommer alla mätningar av g som baseras på denna längdskala att vara 11% för stora (linjalen visar 1 meter viket vi sätter in i formeln, men i själva verket är s = 0,90). Tidsskalan är fel: om klockan som mäter tiden går 10 procent för fort så kommer alla mätningar av g att bli ≈20 procent för stora. Av detta lär vi oss: 1 - Alla mätinstrument vi använder är potentiella källor till systematiska fel. Det finns tre sätt att ta hänsyn till dessa, eller förbättra noggrannheten: A) Kalibrera instrumentet mot ett annat med bättre noggrannhet. ”Ta tiden på fröken ur”. Detta förutsätter att man har enkel tillgång till ett sådant. Man får inte glömma att jämförelsen i sig är en mätning, man måste se till att det statistiska felet i denna blir mindre än det systematiska felet vi vill komma åt. B) Gör först en mätning där man känner svaret och använd denna för att sätta en gräns för det systematiska felet. Den här metoden måste användas med förnuft, Föreläsning 8

2. Reaktionstid Ljudets gångtid Reaktionstid Falltid ju längre från den punkt där man gjort kontrollmätningen man kommer desto mindre säkra kan vi vara på våra slutsatser. Även här måste vi också komma ihåg att vår jämförelse är behäftad med ett statistiskt fel. C) Läs manualen för instrument. Tillverkarna anger här hur stor precision man kan förvänta sig för ett givet mätinstrument. 2 Det är inte alla systematiska fel som är lika betydelsefulla i en mätning, spendera tid och möda påde viktigaste först Alla systematiska fel är inte av instrumentell natur: NU! Tag till exempel försöket där kulan släpps från balkongen. Tidtagningen kommer att påverkas av: 1 - reaktionstiden hos tidtagaren 2 - ljudhastigheten 1 - kan minimeras genom att försöka göra betingelserna vid släppandet av kulan och när kulan faller ned så lika som möjligt. 2- kan ge en systematisk effekt beroende på var tidtagaren befinner sig: Mätt falltid = falltid - ljudets gångtid Ljudets gångtid Reaktionstid Reaktionstid Falltid Mätt falltid = falltid + ljudets gångtid Misstänker man att ljudhastigheten kan vara av betydelse är första steget att göra två mätserier, en där tidtagaren står uppe i förnstret, en där hon står nere på marken. Jämför man serierna och ser att det finns en skillnad som är konsistent med att ljudhastigheten påverkar så kan man här anta att medelvärdet av de två serierna ger ett korrekt värde. Den stora svårigheten ligger i att identifiera den här typen av källor till systematiska fel, ett sätt är att tänka tänka tänka - man lär sig med tiden! Ett annat sätt är att pröva att ändra betingelserna. Misstänker man att en uppställning till exempel är riktningsberoende vrider man apparaturen 180 grader och tar en serie där och jämför. Föreläsning 8

3. När det systematiska felet väl är identifierat och uppskattat så återstår att avgöra hur det skall behandlas. Att en tillverkare anger att ett mätinstrument har en osäkerhet om 1% kan betyda (minst) två saker: Alternativ 1: Alla mätinstrument kalibreringsmäts före leverans. De som har fel större än en procent sänds tillbaka för korrektion. Vi kan då vara säkra på att inget instrument visar mer än 1% fel. (vid leverans!) Vi hardock ingen aning om hur instrumenten är fördelade i detta intervall. Alternativ 2: Alla måtinstrument kontrolleras vid leverans, och deras avvikelse notteras. När man analyserar dessa statistisk finner man att de beskrivs av en normalfödelning som är centrerad kring noll och med bredd 1 %. Vi kan då vara säkra på att just vårt mät- instrument visar korrekt värde ±1% med en sannolikhet av 68%. Det finns inga klara recept för hur man kombinerar ett systematiskt fel med ett slumpmässigt, eller för den delen hur man kombinerar fler olika bidrag till ett systematiskt fel. Ofta kombinerar man alla systematiska effekter till ett systematiskt fel genom att addera kvadratiskt, och kombinerar sedan den systematiska felet med det slumpmässiga på samma sätt. Man kan dock välja att presentera de bägge felen separat: • Det finns skäl både för och emot att kombinera ihop systematiska och statistiska (slumpmässiga) fel till ett totalt fel. • att redovisa dem separat är ärligt och korrekt (bortsett från eventuella slamkrypare när de olika komponenterna i det systematiska felet kombinerats ihop) • om man skall jämföra resultatet med en teoretisk förutsägelse måste man beakta det totala felet. Man kan ofta hävda att det är den som gjort experimentet som är den som är bäst lämpad att avgöra hur statistiska och systematiska fel skall kombineras ihop. När man kombinerar resultat från fler experiment måste man vara extra noga med den systematiska komponenten i felet, ofta finns det systematiska fel som är gemensamma för alla experiment och som inte skall adderas ihop. Antag till exempel att det finns en systematisk osäkerhet i bestämmningen av lufttrycket på 1 procent som ger ett systematiskt fel i ∆P i alla mätningar - detta fel är detsamma för alla mätningar som genomfördes den dagen! Att kombinera data från fler experiment kan - när mankommer ner i mätningar med mycket hög precision - kräva en mycket ingående kännedom om experimenten i sig. Ofta är det omöjligt att göra utan att samarbeta med dem som gjort experimentet. Föreläsning 8

4. Att planera ett experiment • För att en experimentell mätning skall bli lyckad krävs att vi ägnar tillräcklig omsorg åt tre faser: 1 - Planering och förberedelser2 - Genomförandet • 3 - Analys och rapport. • De här stegen bygger på de föregående, det går inte att göra en bra analys och rapport om mätningen inte genomförts på ett bra sätt, och genomförandet bygger på att man tänker efter litet i förväg. Att planera och förbereda är något som man stegvis blir allt bättre på i takt med att man får mer och mer erfarenhet. • Vad är det vi vill veta, och varför? Förstå den underliggande teorin.I vardagligt språkbruk har ”att göra experiment” en klang av att man prövar sig fram och ser vad som händer. I fysiken är innebörden snarare att man försöker renodla frågeställningarna till de som har betydelse för den test av olika teorier som ofta är det man är ute efter. Det är mycket enklare att sätta upp ett bra experiment om man har en så specifik frågeställning som möjligt. ”Faller en tung kropp snabbare än en lätt” eller ”Accelereras en kropp som faller i gravitationsfältet likformigt” är i det här avseendet bättre frågeställningar än ”Hur faller kroppar under inverkan av tyngdkraften” .Många gånger kan det vara så att konkurrerande teorier ger exakt samma förutsägelser i vissa situationer, samtidigt som de ger helt olika förutsägelser i andra situationer. Det är naturligtvis viktigt att man försöker hitta situationer där skillnaden mellan olika teorier är så stor som möjligt. • Läs på - vad har andra gjort, (vad står det i labinstruktionen)Man skall alltid komma så väl förberedd som möjligt till mätsituationen. För laborationer inom kurserna på fysikum betyder det i ju oftast att man läser igenom labinstruktionen i god tid innan och ”gör laborationen i huvudet”. I en situation där man inte har en färdig instruktion att hålla sig till kan man söka i litteraturen och se vad andra som sökt lösa liknande problem har gjort. Det sista steget i förberedelsearbetet blir att inför sig själv skriva en ”labb-instruktion”, detta är ett utmärkt sätt att se till att alla nödvändiga fakta kommer med. • Tänk igenom mätningarna, vilka felbidrag är viktigast, vad kan göras för att minimera dessa?Se till exempel mätningen av g genom fritt fall där vi fick beräknar vi det relativa felet får vi • De osäkerheten i de två variablerna vi mäter har atllstå inte samma betydelse för den slutliga osäkerheten, den relativa osäkerheten i mätningen av sträckan kan vara dubbelt så stor som den i tiden innan den får samma inverkan på det slutliga resultatet. Det är ju inte självklart att s och t har samma relativa fel, detta är en av de första punkterna man bör undersöka med en preliminär mätning - vilka relativa fel kan vi förvänta oss, och hur matchar de betydelsen av de olika termerna i det totala felet. Det kan vara bortkastad möda att försöka förbättra mätningen av sträckan om osäkerheten i tiden dominerar resultatet. • Hur kan vi renodla mätningen? Det gäller naturligtvis att skala bort så mycket som möjligt av ovidkommande faktorer: vill vi testa om lätta och tunga kroppar faller lika snabbt är det en fördel om de har samma storlket och form så att inte dessa faktorer spelar in. Vill vi på allvar testa hypotesen måste vi också se till att eliminera luftmoståndet som uppenbarligen påverkar en lättare kropp mer än en tyngre, allta annat lika. Så om vi verkligen vill demonstrera att lätta och tunga kroppar faller lika snabbt så får vi låta dem falla i ett rör med vakuum. • Vilka systematiska effekter kan man förutse, och hur kan dessa elimineras eller minimeras?Det här är en punkt där man oftast får pröva sig fram och använda sin erfarenhet och fantasi, man kan inte försöka att uppskatta eller eliminera en systematisk effekt som man inte har tänkt på. Sättet att försöka minimiera effekterna kan sedan skifta. Tror man att experimentet är känsligt för riktning så provar man att utföra experimentet i olika riktningar och se om mätserierna har systematiska olikheter. Misstänker man att luftmotsåndet påverkar reulstatet i ett fallförsök kan man låta tillverkar kroppar med samma massa men olika storlek och se om man får systematiska effekter och i så fall försöka extrapolera bort dessa. • Kan apparatur och procedurer kalibreras på något vis?Ofta kan vi kalibrera vår mätutrustning genom att mäta något som redan är känt med god precision. Man får inte glömma att en sådan kalibrering är en mätning som i sig är behäftad med en experimentell osäkerhet som måste finnas kvar genom vår mätning. Föreläsning 8