DETECCÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLOS.

1. DETECCÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLOS. ESTADÍSTICAS MULTIVARIANTES

2. Variaciones ambientales, v Cambios en el producto, q Proceso Cambios en los materiales, r Factores asignables: Personal,equipos, etc, u Variabilidad del proceso • En ausencia de variaciones asignables o de materias primas, si se toman muestras de q: q(t)= ivi • las medidas de la serie q(t) son independientes • q(t) es un proceso estacionario N(,2) En estas condiciones se dice que el proceso está “bajo control”

3. En un proceso bajo control La media  y la varianza 2 pueden estimarse mediante: n suele ser pequeño (4 -10) para evitar la aparición de causas asignables durante ese tiempo En un proceso en estado de control, el 99.7% de las muestras están en la región R = [-3, -3]

4. LSC: m + 3 /n LIC: m - 3 /n Estadística Univariable • Gráficos de control: Dr. Shewart, USA 1924. Gráficos de evolución temporal de valores medios y su span, etc. • Definen, a través de los límites de control, el estándar de funcionamiento a alcanzar • Permiten detectar la presencia de factores asignables que desvían la producción del estándar a alcanzar

5. Estadísticas multivariables • ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES (PCA) • PCA determina un conjunto de vectores de carga ortogonales que pueden ser ordenados por la cantidad de variabilidad del proceso que pueden explicar. • Si se tiene m variables y n observaciones de cada variable se construye la matriz X: Los vectores de carga se calculan mediante la descomposición de valores singulares de:

6. Análisis de componentes principales I • Lo cual es equivalente a calcular los valores y vectores propios de: A= XTX • Con =T, una matriz que contiene los valores propios reales no negativos de A. Se eligen los “a” vectores propios de A correspondientes a los “a” valores propios más grandes y se forma P. • La proyección de los datos observados X en este espacio de dimensión reducida es: T = XP • Los datos originales pueden calcularse como:

7. Análisis de componentes principales II • La matriz de residuos: • Los componentes principales son los vectores ti, i=1,...,a y cuando hay datos nuevos se calculan como: ti = xTpi. • Detección de fallos: • Se calcula la estadística Hostellings: T2=xTPa-2PTx • Se compara dicha estadística con un umbral calculado como: • Si T2 > Ta => el sistema está fuera de control, es decir hay un fallo

8. Análisis de componentes principales III • Para monitorizar los restante “m-a” variables se utiliza la estadística Q => Q = rTr, con r = (I – PPT)x • Q también se conoce como SPE • Cuando el sistema está bajo control Q es muy pequeña, (variaciones debido al ruido), para detectar un fallo se pone un umbral Q • Diagnosis de fallos: • Calcular PCA para cada clase de datos que tengamos (fallos) y aplicar la estadística T2 y Q a cada modelo PCA para decidir que fallos ha ocurrido

9. Análisis de componentes principales IV • PCA dinámicos: • PCA no lineales: • Red neuronal

10. Análisis de componentes principales VI • Ejemplo (datos de Fisher), • consisten en m=4 variables y n=50 medidas de cada variable y 3 clases distintas:

11. Análisis de componentes principales VII • Con los datos de la clase 1: • Se normalizan para tener media 0 y varianza 1 • Se construye la matriz X • Se calculan los valores y vectores propios de A • Se eligen 2 componentes principales que explican la variabilidad del proceso en (2.075+0.986)/4*100 = 76.52%. Y se construye la matriz P

12. Análisis de componentes principales VIII • La matriz T=XP • Para detectar fallo (distinguir entre las clases) se proyectan todos los datos en los componentes principales de la clase 1 (t1 y t2) => ti = xTpi • Se calcula la región de confianza de la clase 1 con el umbral T:

13. Análisis de componentes principales IX • Detección de fallos: • Distinguir datos entre las clases:

14. Discriminante de Fisher (FDA) I • FDA es una técnica que reduce la dimensionalidad del espacio en términos de máxima separación entre clases. • Se construye la matriz X • Se calcula la matriz de dispersión total: • Se calcula la matriz de dispersión para cada clase: • La matriz de dispersión dentro de la clase: • Se calcula la matriz de dispersión entre clases:

15. Discriminante de Fisher (FDA) II • Si todo ha ido bien: St = Sb + Sw • El primer vector de Fisher se calcula maximizando la dispersión entre clases y minimizando la dispersión dentro de la clase: • El segundo vector de Fisher se calcula cumpliendo la misma condición pero además asegurando que es ortogonal al primer vector....... • Esto es equivalente a resolver el siguiente problema de valores y vectores propios: • Sb wk = k Sw wk

16. Discriminante de Fisher (FDA) III • Donde los vectores propios wk son los vectores de Fisher y los valores propios k indican el grado de separabilidad entre clases al proyectar los datos en la dirección wk. • Wa es la matriz formada por a= (p-1) vectores FDA (con p igual al número de clases) • La proyección de los datos sobre este nuevo espacio es: zi = WaTxi • Detección de fallos: • Utilizar una función discriminante para cada clase de datos (fallos) que diga a que clase pertenecen los datos actuales: gi(x) > gj(x)  ij

17. Discriminante de Fisher (FDA) IV • Con gi(x) = P(wi | x) => probabilidad a posteriori que los datos x pertenezcan a la clase i • Aplicando la regla de Bayes y suponiendo que los datos están normalmente distribuidos: • Para introducir dinámica, se introducen datos pasados en la matriz X como se hacía con pCA

18. Discriminante de Fisher (FDA) V • Ejemplo (datos de Fisher): • Construir la matriz X con todos los datos (3 clases, 4 variables y n=50 medidas de cada variable) • Cálculo de Sb y Sw: • Calculo de los valores y vectores propios, 1 = 32.27, y 2=0.2776.

19. Discriminante de Fisher (FDA) VI • Cálculo de la proyección de los datos de cada clase sobre el espacio creado de dimensión 2: zi = WaTxi. • Representación de las clases en este espacio:

20. Discriminante de Fisher (FDA) VI • Calcular g1, g2 y g3 para cada clase la mayor de ellas nos dice que fallo ocurre : • Tasa de acierto: 100% para la clase 1, 98% para la clase 2 (1 dato de 50 mal clasificado), 94% para 3

21. n1 filas indican que hay un fallo de tipo 1 p columnas Mínimos cuadrados parciales (PLS) I • PLS es una técnica de reducción de la dimensionalidad, maximizando la covarianza entre la matriz de predicción (X) y la matriz predicha (Y).

22. Mínimos cuadrados parciales (PLS) II • X = TPT + E • Y = U QT + F • La técnica PLS relaciona X e Y => • Y = TBQT+ F • Ahora hay que calcular estos valores para asegurar que la covarianza entre X e Y sea máxima. • Algoritmo: • Escalar X e Y para que tengan media nula y varianza 1 • Inicializar: E0 = X, F0= Y, j=1 y uj = a una de las columnas de Fj-1 • Resolver iterativamente hasta converger:

23. Mínimos cuadrados parciales (PLS) III • Si converge calcular: • Hacer • Repetir el procedimiento para j=1,2,..min(n,m)

24. Mínimos cuadrados parciales (PLS) IV • Se calcula la matriz: • La predicción de la matriz Y se calcula como: • Detección y diagnóstico de fallos: • Utilizando la estadística T2 y Q. • PLS dinámico • PLS no-lineal

25. Mínimos cuadrados parciales (PLS) V • Ejemplo: • Se construye X con todos los datos. • Se construye Y • Se aplica el algoritmo dado para j=1,2 obteniendose:

26. Mínimos cuadrados parciales (PLS) VI • Se calcula • Se representan y1 vs y2 vs y3

27. Mínimos cuadrados parciales (PLS) VII • Si proyectamos los datos en sobre los vectores PLS (t1 y t2):