Introdução Transformada Z Região de Convergência A Transformada Z inversa Propriedades da Transformada-Z

1. Transformada-Z • Introdução • Transformada Z • Região de Convergência • A Transformada Z inversa • Propriedades da Transformada-Z

2. Transformada Z • Função: É um operador linear útil para análise de sistemas lineares e invariantes no tempo e para resolver equações diferenças. • Definição: A transformada Z de uma sequência discreta x(n) é dado por • Notação: • A variável z é geralmente complexa e, • A Transformada Z é uma série de potência, que pode ou não convergir . • O espaço do plano complexo para o qual ela converge define a região de convergência.

3. Transformada Z Região de Convergência da Transformada Z (ROC) • A região de convergência da transformada Z especifica onde X(z) é definida. Geralmente, uma ROC é especificada como parte da transformada Z. • A ROC de X(z) é definida sobre uma região de um anel, centrado na origem de um plano complexo: X(z) converge para A ROC é delimitada por pólos Pólos: valores que anulam o denominador de X(z). Im R- Re R+

4. Im 1 Re Transformada Z Relação com a transformada de Fourier Expressando a variável z na forma polar, tem-se: Portanto, a transformada de Fourier é um caso particular da transformada Z, quando

5. Im a 1 Re .... n 0 1 2 3 4 5 6 Seqüência Exponencial à Direita • Uma ferramenta básica de análise usada na transformada Z é a série geométrica. Exemplo: Determinar a transformada Z de x[n]=anu[n] Pólos: valores que anulam o denominador de X(z)

6. Im a 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Re .... n Seqüência Exponencial à Esquerda Se ou, equivalente, o somatório acima converge, e Zeros: valores que anulam o denominador o x

7. Propriedades da Transformada Z • Pólos: valores que anulam o denominador de X(z) (raízes) • Zeros: valores que anulam o numerador de X(z) (raízes) • Supondo e seja • Propriedades: Linearidade: A ROC pode ser expandida devido ao cancelamento de pólos e zeros.

8. Propriedades da Transformada Z • Supondo Deslocamento: Convolução: Se Então A ROC contém a interseção de Rx com Ry.

9. Im -1/3 1/2 Re Sequência exponencial bi-lateral Assim pela propriedade da linearidade da transformada Z, tem-se Obs. Nenhum pólo pode estar dentro da ROC.

10. Região de Convergência A série de potência da transformada Z, X(z) não converge para todas as seqüências ou valores de z. Para determinada sequência os valores de z da transformada convergem para uma região chamada de Região de Convergência (ROC). Regiões de Convergência Im Im Im a a 1 1 a b Re Re Re Sequência à esquerda (não-causal) Sequência Bilateral Sequência à direita (causal)

11. Im 1/2 1 2 O x x Re Exemplo

12. Importância da Especificação do ROC • É importância especificar a ROC, pois ela é parte da transformada-Z. • Na especificação da transformada Z, X(z), de uma sequência discreta x(n), a ROC deve ser dada, uma vez que x(n) não poderá ser encontrada se X(z) não tem a sua ROC especificada. • Exemplo - Considere duas sequências então É importante entender que X(z)  Y(z). • X(z) + ROC  x(n) única.

13. Diferentes tipos de sequência - ROC • Duração Finita: , para • À direita: • À esquerda: • Bilateral:

14. Outras Propriedades da ROC • ROC é um anel ou um disco centrado na origem do plano z complexo. • Uma seqüência discreta x[n] tem transformada de Fourier se somente se a ROC da transformada-Z de x(n) inclui o círculo unitário. • ROC não pode conter pólos. • ROC deve ser uma região conectada, isto é, não pode ter espaço vazios.

15. Estabilidade e Causalidade • Função de Transferência : Se H(z) é a transforma Z de um sistema linear com resposta ao impulso unitário h(n), i.e., • Teorema: Um sistema linear com função de transferência racional é causal e estável se e somente se todos os pólos de H(z) estão localizados dentro do círculo unitário. Im    1 Re   Círculo unitário ROC

16. Observação • Supondo que então h[n] pode ser escrito como • Claramente, a transformada-Z de converge se • então, H(z) converge para todo z tal que • Obs. A ROC de um sistema H(z ) causalinclui o círculo unitário.

17. Prova : Suficiência • Suficiência: supondo que Então então e também então . Consequentemente H(z) é a função de transferência do sistema estável.

18. Prova : Necessidade • Necessidade: (pela contradição) Supondo que existe um polo pi tal que | pi |>1. Claramente, o círculo unitário não está incluído na ROC de H(z). • Então, existe z0 com |z0|=1 tal que H(z0) não converge absolutamente. Uma vez que não existe tal z0 então a ROC não inclui o círculo unitário. • Então H(z) não é estável.

19. Properties of Z-Transform Propriedades Sequência Transformada Z ROC 1. Linearidade: 2. Deslocamento no Tempo: 3. Multiplicação: 4. Diferenciação: 5. Conjugado: 6. Tempo Reverso: 7. Convolução: 8. Teorema do Valor Inicial:

20. Transformada Z Inversa • Transformada-Z Inversa X(z) + ROC  x(n) única. • Métodos • Usando o Teorema do resíduo • Inspeção • Expansões por frações parciais • Pólos de primeira ordem • Pólos de m-ésimaordem

21. Transformada Z inversa 1- Método de Inspeção: consiste simplesmente em reconhecer certos pares de transformadas, por exemplo: Dado que a transformada inversa de Se a ROC associada , então a transformada inversa é de 2- Método da expansão em frações parciais Consiste emescrever qualquer função racional como uma soma de frações parciais, de modo que para cada fração, a transformada Z inversa seja facilmente reconhecida.

22. Suponha que X(z) é expressa como uma relação polinomial de z-1. ou equivalentemente o que indica que tais funções têm M zeros e N pólos. Além disso tem-se M - N pólos para z=0, se M >N e N - M zeros para z=0, se N > M. Isso significa que o número de pólos e zeros são sempre iguais, e não há pólos para X(z) pode ser escrito na forma. onde ck são zeros e dk pólos (não nulos) Se todos os M <N pólos são de primeira ordem, então:

23. Multiplicando ambos os lados por (1 - dk z -1) e avaliando em z = dk Se então deve-se escrever: Se X(z) tem pólos de ordem múltiplos, e então a equação deve ser modificada. Em particular, se X(z) tem um pólo de ordem s em z=di. : Os coeficientes Cmpodem ser obtidos da equação

24. Exemplo: Suponha que x[n] tem transformada Z dada por: A ROC de X(z) é mostrado na figura Como M = N =2, então X(z) pode ser escrito: A constante B0pode ser encontrada dividindo-se o numerador de X(z) pelo denominador

25. Dessa forma X(z) é escrito como: Usando a tabela de transformada Z

26. Soluções possíveis para X(z) Seqüência à direita Seqüência à esquerda Seqüência bilateral

27. Aplicação das propriedades da transformada Z 1.Determine a transformada inversa de Rescrevendo X(z), tem-se Calculando a transformada inversa: Usando a propriedade:

28. 2. Multiplicação por uma seqüência exponencial Dado que determinar a transformada Z de

29. 3. Diferenciação de X(z) Exemplo: Consultando a tabela de transformada Z e usando a propriedade do deslocamento no tempo,tem-se Portanto, exemplo:

30. 4. Tempo reverso Exemplo: determinar a transformada Z de Dado que: 5. Convolução de sequências - Exemplo Sejam Determine a transformada Z de Pela propriedade da convolução no tempo: Portanto:

31. 6. Teorema do valor inicial Se x[n] é uma sequência à direita, isto é x[n]=0, para n < 0, então Exemplo: Quais das transformadas Z poderiam ser a transformada de uma sequência causal (sem resolver)

32. Exemplo de Solução via Transformada Z • Problema: Dado que y(0)=1. Considere a equação diferença • Solução: Aplicando a transformada Z dos dois lados: • Direito = • Esquerdo = • Resolvendo: (pela expansão em frações parciais) • Transformada Z inversa

33. Exemplo Considere um sistema LTI com entrada x[n] e saída y[n] que satisfaz a equação diferença: Determine todas as possíveis respostas do sistema ao impulso unitário h[n] .