TEMA 3

1. TEMA 3 LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONES

2. Introduccion • Dada una secuencia x(n), se define su Transformada Z como: (Transformada bilateral) • En el caso de sistemas y señales causales: (Transformada uniteral) siendo z una variable compleja: z=x+jy

3. Sustituyendo z por su expresión en forma polar, podemos interpretar X(z) en términos de la Transformada de Fourier • Luego, la Transformada Z puede interpretarse como la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial. • A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de Fourier de una secuencia coincide con la transformada Z de la misma, evaluada sobre el círculo unidad.

4. Los principales motivos para introducir esta generalización son que: • La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias. • Facilita la resolución de problemas analíticos. • Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos

5. En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una secuencia y veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ. • Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z. • Su utilidad principal consiste en el análisis y síntesis de filtros digitales. • La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento frecuencial. • La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo unidad)

6. CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA Z • La Transformada Z no converge para todas las secuencias, ni para todos los valores de z. • Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina REGIÓN DE CONVERGENCIA. • Para que la TZ de una secuencia sea convergente es necesario que la serie sea absolutamente sumable, es decir:

7. EJEMPLO • Sea la secuencia x(n)=anu(n):

8. Propiedades de la región de convergencia: 1) En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es un anillo centrado en el origen del plano z, y es una región conectada. 2) La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por polos ó el cero o el infinito. 3) Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el plano completo excepto,  z=0 y/o z=¥ .     4) Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| >R.     5) Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| <R.     6) Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un anillo centrado en el origen.

9. LA TRANSFORMADA Z INVERSA • Expansión en fracciones parciales o en series de potencias. • Integral de inversión compleja • Inspección directa

10. Inspección Directa • El método de inspección directa se trata simplemente de familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares. • Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante división de polinomios. Podremos observar como precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya que por definición la TZ es:

11. Descomposición en Fracciones Simples • Consiste en realizar una Descomposición en Fracciones Simples e identificar las transformadas simples de los términos así obtenidos. • M:orden de P(z) • Si  siendo N orden de Q(z)

12. Si M<N y solo existen polos de primer orden: • Si M ≥ N y solo existen polos simples: siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante división hasta que el resto sea de un orden igual al del denominador menos 1. Con este resto se procede a descomponer en fracciones simples y el resultado se añade al de la división.

13. TEOREMA DE LOS RESIDUOS • En el caso de polos múltiples, por ejemplo uno en z=pi , de orden de multiplicidad s, la descomposición resulta

14. En general, si             es una función racional de z: es decir, tiene 5 polos en z = z0 (4 f(z) no tiene polos en z = z0) El residuo de dicha función en z = z0 es : En particular si 5 = 1 para z0 es = p

15. Caso general: Si la función a integrar Φ (z) tiene varios polos Pi, con grados Si,dentro de C: • Cálculo a partir del Teorema de los Residuos • Teorema de la integral de Canchy:

16. Transformada Z Inversa (Multiplicando por zk-1  a amboslados e integrando...) 1 si – n + k = 0 => n= k , 0 otro caso

17. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z LINEALIDAD: Si  Entonces: • DESPLAZAMIENTO: • Si                                              •  Entonces:  (posible adición o desaparición de 0/¥ )

18. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z INVERSIÓN DE UNA SECUENCIA: Si                                             Entonces:  MULTIPLICACIÓN POR UNA SECUENCIA EXPONENCIAL: Si                    Entonces:

19. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z • TEOREMA DEL VALOR INICIAL • Si  CONJUGACIÓN DE UNA SECUENCIA COMPLEJA.- Si                                                   Entonces:                  

20. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Si   Entonces:                                                                                  

21. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Sea  Entonces 

22. EJEMPLO Determinar la TZ inversa de: Pero  Entonces                                Luego: 

23. EJEMPLO Determinar la TZ de las secuencias

24. TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN COMPLEJA Sean  Entonces:  Siendo

25. RELACIÓN DE PARSEVAL Sean  Si X(z) y*(n) convergen en el círculo unitario 

26. FUNCIÓN DEL SISTEMA Y FILTROS DIGITALES

27. FILTROS FIR (NO RECURSIVOS) "La Función del Sistema puede expresarse como un polinomio en el numerador"

28. FILTROS IIR N > 0  "La Función del Sistema tendrá polos, de c/n de los cuales  contribuye con una sec. Exponencial a la k(n)"

29. FUNCIÓN DEL SISTEMA Estabilidad: "Si la Rdc incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa". Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario y la zona del plano z (se entiende hasta z = ∞ , desde aquel).

30. ESTABILIDAD • Si evaluamos X(z) sobre el círculo unidad comenzando en z=1 (w=0) hasta z=-1 (w=Π), • pasando por z=j (w=B/2), obtenemos la TF para 0<w<B. Continuando a lo largo de este círculo obtendríamos la TF desde B a 2B (\ desde -B a 0). • Con esta interpretación se hace evidente la propiedad de periodicidad de la TF de una secuencia. • Cuando la serie de potencias puede sumarse y expresarse de forma sencilla decimos que la TZ está en forma cerrada. • Toda secuencia que pueda representarse como suma de exponenciales puede representarse por una TZ de tipo racional.