La transformada de Laplace

1. La transformada de Laplace

2. "Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos." Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)

3. La transformada de Laplace Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: donde s es una variable compleja Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.

4. Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito: Notación:

5. Condiciones suficientes de existencia de la TL Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito: Entonces: L{f(t)} = F(s) existe s > a.

6. Calcula la transformada de f(t) = 1: Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.

7. Calcula la transformada de f(t) = tn:

8. Calcula la transformada de f(t) = e-t:

9. Calcula la transformada de f(t) = Aeat:

10. Calcula la transformada de f(t) = sen(at): Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at)

11. Calculemos la transformada de f(t) = sen(at) de nuevo:

12. Calculemos la transformada de f(t) = eiat:

13. La función Heaviside o escalón unidad: 1 1 0 c c t

14. Función delta de Dirac área = 1 Sea la función parametrizada: Observemos que

15. Así la transformada de la función delta de Dirac es:

16. Funciones periódicas Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T. Entonces: donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera. T

17. Demostración

18. Ejemplo: onda cuadrada a 2a

19. ( ) d t 1 1 1 s 1 t 2 s n ! n t + 1 n s 1 - at e + s a Tabla de transformadas de Laplace

25. Transformada inversa de Laplace Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante: conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.

26. Im(s) γ γ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas las singularidades de F(s) queden a su izquierda. Re(s) Con condiciones de existencia:

27. Por ejemplo, determinemos: Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura. Im(s) R C1 γ=0 -1 Re(s) -R 0 por la desigualdad ML cuando R→∞ con t≥0. Haciendo R→∞ y utilizando teoría de residuos:

28. Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s)  γ y |s| > R, tenemos que Entonces si t > 0: En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior.

29. Ejercicio: Calcular, a partir de su definición, la transformada inversa de Laplace de la función Im(s)‏ t < 0 t > 0 Respuesta. s=-1 s=-2 Re(s) puntos singulares aislados de f(s). s = -1; polo simple: s = -2; polo simple:

30. Ejemplo, determinar:

31. P2. Junio 2007 • Emplear la integral de Bronwich para determinar Respuesta. s = -1, s = 2, puntos singulares aislados de f

32. Im (s)‏ s=2 s=-1 Re (s)‏

33. Residuo en s = -1 Residuo en s = 2

36. Para valores de t < 0,

37. Propiedades 1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente;entonces: La transformada de Laplace es un operador lineal.

38. Demostración:

39. 2. Desplazamiento temporal ¥ ò - = st F ( s ) e f ( t ) dt 0 ¥ ò - = - - st X ( s ) e f ( t t ) u ( t t ) dt 0 0 0 ¥ ò - = - st e f ( t t ) dt 0 ( ) l = - t t t 0 0 ¥ ò - - l = l l st s e e f ( ) d 0 0 - = st e F ( s ) 0

40. Ejemplo: t 3

41. 3. Desplazamiento en frecuencias Ejemplo:

42. 4. Cambio de escala en tiempo

43. 5. Derivada de la transformada de Laplace

44. 6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:

45. En forma similar: Demostración:

46. Supongamos que: Entonces:

47. Ejercicio: Determina la transformada de Laplace de la función usando la transformada de Laplace de

50. Emplear las propiedades correspondientes para determinar la transformada de Laplace de los polinomios de Laguerre, que se definen como: Respuesta.