TEMA 3

1. TEMA 3 LA TRANSFORMADA Z y SUS APLICACIONES

2. Dada una secuencia x(n), se define su Transformada Z como: Transformada bilateral • En el caso de sistemas y señales causales: Transformada unilateral siendo z una variable compleja: z=x+jy

3. Sustituyendo z por su expresión en forma polar, podemos interpretar X(z) en términos de la Transformada de Fourier • Luego, la Transformada Z puede interpretarse como la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial. • A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de Fourier de una secuencia coincide con la transformada Z de la misma, evaluada sobre el círculo unidad.

4. Los principales motivos para introducir esta generalización son que: • La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias. • Facilita la resolución de problemas analíticos. • Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos

5. CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA Z • La Transformada Z no converge para todas las secuencias, ni para todos los valores de z. • Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina REGIÓN DE CONVERGENCIA. • Para que la TZ de una secuencia sea convergente es necesario que la serie sea absolutamente sumable, es decir:

6. EJEMPLO • Sea la secuencia x(n)=anu(n):

7. PROPIEDADES DE LA REGIÓN DE ONVERGENCIA 1) En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es un anillo centrado en el origen del plano z, y es una región conectada. 2) La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por polos ó el cero o el infinito. 3) Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el plano completo excepto,  z=0 y/o z=¥ .     4) Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| >R.     5) Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| <R.     6) Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un anillo centrado en el origen.

8. LA TRANSFORMADA Z INVERSA • Expansión en fracciones parciales o en series de potencias. • Integral de inversión compleja • Inspección directa

9. Inspección Directa • El método de inspección directa se trata simplemente de familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares. • Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante división de polinomios. Podremos observar como precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya que por definición la TZ es:

10. Descomposición en Fracciones Simples • Identificar las secuencias correspondientes a los términos individuales. • Sea M el orden de P(z) y N el orden de Q(z). Si M<N y solo existen polos de primer orden: • Si M ≥ N y solo existen polos simples: siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante división hasta que el resto sea de un orden igual al del denominador menos 1.

11. Descomposición en Fracciones Simples • Caso de polos múltiples en z=zi con orden de multiplicidad s

12. TEOREMA DE LOS RESIDUOS • Teorema de la integral de Canchy:

13. Transformada Z Inversa (Multiplicando por zk-1  a amboslados e integrando...)

14. TEOREMA DE LOS RESIDUOS

15. En general, si             es una función racional de z: es decir, tiene s polos en z = z0 y f(z) no tiene polos en z = z0) El residuo de dicha función en z = z0 es : En particular si s = 1 para z0 = p

16. Caso general: Si la función a integrar Φ(z) tiene varios polos Pi, con grados Si,dentro de C:

17. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z • LINEALIDAD: • Si  • Entonces: • DESPLAZAMIENTO: • Si                                              • Entonces: • (posible adición o desaparición de 0/¥ )

18. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z INVERSIÓN DE UNA SECUENCIA: Si                                             Entonces:  MULTIPLICACIÓN POR UNA SECUENCIA EXPONENCIAL: Si        Entonces:

19. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z • TEOREMA DEL VALOR INICIAL • Si  CONJUGACIÓN DE UNA SECUENCIA COMPLEJA.- Si                                                   Entonces:                  

20. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Si   Entonces:                                                                                  

21. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Sea  Entonces 

22. EJEMPLO Determinar la TZ inversa de: Pero  Entonces                                 Luego: 

23. EJEMPLO Determinar la TZ de las secuencias

24. TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN COMPLEJA Sean  Entonces:  Siendo

25. FUNCIÓN DEL SISTEMA Y FILTROS DIGITALES

26. FUNCIÓN DEL SISTEMA Estabilidad: Si la RdC incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa. Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario y la zona del plano z desde aquel hasta z = ∞