Structuri arborescente

1. Structuri arborescente (grafuri de tip arbore)

2. Structuri arborescente Definitie. Graful G este arbore daca G este aciclic si conex.

3. Structuri arborescente Definitie. Fie G=(V,E) graf arbore. Subgraful H=(V1,E1) al lui G este subarbore al lui G daca H este graf arbore.

4. Structuri arborescente Fie G=(V,E) un graf. Urmatoarele afirmatii s�nt echivalente: G este graf arbore (aciclic si conex); G este graf conex minimal: oricare ar fi e?E, prin eliminarea muchiei e din E, graful rezultat nu este conex; G este graf aciclic maximal: prin adaugarea unei noi muchii �n graf rezulta cel putin un ciclu. Cum verificam daca un graf este arbore? Verificare conexitate + verificare aciclicitate (alg. Marimont) Verificare aciclicitate si n = m + 1 Verificare conexitate si n = m + 1

5. Structuri arborescente Definitie. Se numeste graf asimetric un digraf D=(V,E) cu proprietatea ca pentru orice uv?E, vu nu apartine E. Digraful D este simetric daca pentru orice uv?E si vu?E.

6. Structuri arborescente Definitie. Fie D=( V, E ) digraf netrivial. Graful G=( V, E� ), unde E� = { uv / uv?E sau vu?E} se numeste graf suport al digrafului D.

7. Structuri arborescente Definitie. Un arbore directionat este un graf orientat asimetric pentru care graful suport corespunzator este graf arbore. Definitie. Arborele directionat T = ( V, E ) este arbore cu radacina daca exista r ?V astfel �nc�t, pentru orice u ? V, u ? r, exista r-u drum �n T. V�rful r se numeste radacina arborelui directionat T (drumurile s�nt unice, radacina este unica; lungimea unui drum este egala cu numarul de arce). Definitie. Fie T = ( V, E ) arbore directionat. Arborele T1 = (V1 ,E1 ) este subarbore al lui T daca V1 ? V, E1 ? E si T1 este arbore directionat.

8. Structuri arborescente

9. Reprezentari si parcurgeri (arbori orientati) Definitie. Un arbore orientat este un arbore directionat cu radacina. Definitie. Fie T=(V,E), un arbore orientat cu radacina r. Un v�rf v este situat pe nivelul i al arborelui T, daca distanta de la v�rf la radacina este egala cu i. Radacina arborelui este considerata de nivel 0. Se pot folosi toate tipurile de reprezentare a grafurilor, plus metode specifice arborilor, mai eficiente.

10. Reprezentarea Fiu-Frate N: numarul de noduri R: nodul radacina FIU(i): numarul atasat primului descendent al v�rfului i FRATE(i): numarul atasat v�rfului descendent al tatalui v�rfului i si care urmeaza imediat lui i INF(i): informatia atasata v�rfului i de obicei informatia e chiar valoarea i, caz �n care vectorul nu mai e necesar Valoare lipsa: se foloseste o valoare conventionala (0, -1�)

11. Reprezentarea Fiu-Frate

12. Reprezentare folosind structuri dinamice Presupun�nd ca fiecare v�rf al arborelui are cel mult n descendenti, fiecarui v�rf �i este atasata structura

13. Parcurgeri Aplicarea sistematica a unei reguli de vizitare a v�rfurilor arborelui. Cele mai utilizate reguli de parcurgere a arborilor orientati s�nt A-preordine (varianta DF) A-postordine (varianta DF) parcurgerea pe niveluri (BF)

14. Parcurgerea �n A-preordine (Fiu-Frate) Este vizitat v�rful curent si s�nt identificati descendentii lui. Se aplica aceeasi regula de vizitare pentru fiecare dintre arborii av�nd ca radacini descendentii v�rfului curent void A_preordine (nod R) { if (R){ vizit (R); A_preordine(FIU[R]); A_preordine(FRATE[R]); } } 1, 2, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 7, 3, 4, 8, 14, 15, 16

15. Parcurgerea �n A-postordine (Fiu-Frate) Se identifica si se viziteaza descendentii v�rfului curent, apoi se viziteaza v�rful curent. Se aplica aceeasi regula de vizitare pentru arborii av�nd ca radacini descendentii v�rfului curent void A_postordine (nod R) { if (R){ A_postordine(FIU[R]); vizit (R); A_postordine(FRATE[R]); } } 5, 9, 10, 11, 12, 13, 6, 7, 2, 3, 14, 15, 16, 8, 4, 1

16. Parcurgeri �n ad�ncime (str. dinamice) void A_preordine (nod R) { if (R) { vizit (R); for(i=0;i<n;i++) A_preordine(R->leg[i]); } } void A_postordine (nod R) { if (R) { for(i=0;i<n;i++) A_postordine(R->leg[i]); vizit (R); } }

17. Parcurgerea pe niveluri (Fiu-Frate) void parcurgere_pe_niveluri(nod R, int FIU[], int FRATE[], int n) { TNOD* C = NULL; push(C,R); while (C) { pop(C,v); VIZIT(v); v=FIU[v]; while (v) { push(C,v); v=FRATE[v]; } } } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

18. Parcurgerea pe niveluri (str. dinamice) void parcurgere_pe_niveluri(nod *R) { TNOD* C = NULL; push(C,R); while (C) { pop(C,v); VIZIT(v); for(i=0;i<n;i++) if(R->leg[i]) push(C,R->leg[i]); } } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

19. Arbori partiali Definitie. Fie G un graf. Subgraful partial H este un arbore partial al lui G daca H este graf arbore. Definitie. Fie G=(V,E,w) un graf ponderat conex. Daca T=(V,E0) este un arbore partial al grafului G�=(V,E), ponderea arborelui T, notata W(T), este definita prin W(T)= Definitie. Arborele partial T0?T(G) este arbore partial minim pentru G daca W(T0) = min { W(T); T?T(G) }, unde T(G) este multimea arborilor partiali corespunzatori grafului G.

20. Arbori partiali

21. Algoritmul lui Kruskal Problema: determinarea arborelui partial de cost minim Algoritm: E se initializeaza arborele ca multime vida Dintre arcele disponibile (neselectate anterior) se alege arcul cu ponderea cea mai mica si care nu formeaza un ciclu prin adaugare la arbore Repeta pasul anterior de n � 1 ori

22. Algoritmul lui Kruskal

23. Functie pentru determinarea radacinii int radacina(int v,int tata[]) { int u = v; while(tata[u] >= 0) u = tata[u]; return u; } Ex.: v = 4 u = 4 tata[4]=2 u = 2 tata[2]=1 u = 1 tata[1]=-6 < 0 Algoritmul lui Kruskal

24. Algoritmul lui Kruskal int kruskal(int a[][3],int nm, int nv, int b[][3]) { int tata[50],i,j, v1, v2, r1, r2; int c=0; for(i=0; i<nv; i++) tata[i]=-1; for(i=j=0; j<nv-1; i++) { v1=a[i][0]; v2=a[i][1]; r1=radacina(v1,tata); r2=radacina(v2,tata); if( r1 != r2 ) { if( tata[r1] < tata[r2] ) { tata[r1]+=tata[r2]; tata[r2]=r1; } else { tata[r2]+=tata[r1]; tata[r1]=r2; } b[j][0]=a[i][0]; b[j][1]=a[i][1]; b[j][2]=a[i][2]; c+=a[i][2]; j++; } } return c; }

25. Spor la �nvatat!