Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum :

1. i. Fungsikuadrat • - Penyelesaianfungsikuadratdenganpemfaktoran Fungsikuadratadalahfungsipolinomial yang mempunyai derajadduadanmempunyaibentukumum : y= f(x) = a2x2 + a1x + a0atau y= f(x) = ax2 + bx + c (3.17) dengan a, b dan c adalahbilangan-bilanganril. Sedangkan x adalahpeubahbebasdan y peubahtakbebas. Grafik persamaankuadratpadapersamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. • Sehinggapersamaan 3.17 menjadi, ax2 + bx + c = 0. • Untukmenentukantitikpotongpersamaankuadratterhadapsumbu x pertama-tama kitaharusmenentukanakar-akarnya.

2. Pemfaktoranadalahsalahsatucarauntukmenentukanakar-akar tersebut. Untukmemfaktorkansebuahpersamaankuadrat pertama-tama kitatulisdalambentuk , x+  = a (x2 + Bx + C) B = b/a dan C = c/a Memperfaktorkan berartimenuliskannyadalambentuk, (x + m)(x+n), dimanamn = C dan m + n = B ( 3.18 ) Akar-akardaripersamaan 3.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n

3. Contoh 3.18 • Faktorkanpersamaankuadrat : x2 + x – 6 = 0 • Penyelesaian • B = 1 dan C = –6 ; mn = -6 dan m + n = 1. • Didapat m = -2 dan n = 3 • Jadi x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3). • Sehinggaakar-akarmyaadalah : x1 = 2 dan x2 = -3 Contoh 3.19 Faktorkanpersamaankuadrat : x2 –4x – 12 = 0 Penyelesaian B = –4 dan C = –12 ; mn = –12 dan m + n = –4. Didapat m = –6 dan n = 2 Jadi : x2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2). Sehinggaakar-akarmyaadalah : x1 = 6 dan x2 = –2

4. Penyelesaianfungsikuadratdenganmenggunakanrumuskuadrat. Dari penjelasansebelumnyatelahdiketahuibahwa pers. kuadrat yang memotongsumbu x mempunyaibentukumum ax2+bx+c = 0 dengan x bilanganril, ataudapatditulisdalambentuk , a(x2 + x ) + c = a (x2 + x + ) – + c = 0 b2 b c c b b2 b2 b2 b2 b2 4ac 4a a a a a a 4a2 4a2 4a2 4a2 4a2 4a2 2b a(x + x )2 = – c  (x + )2 = – a b 2a 2b x + =  =  =  b2 4ac 1 2a

5. (3.19) b + atau x1 = x =  = b2 4ac b2 4ac b2 4ac b  Persamaan 3.19 adalahpersamaankuadrat. Persamaantersebut digunakanuntukmenentukanakar-akardaripersamaankuadrat. Besaran b2 – 4ac disebutdiskriminanataudisingkat D. b2 4ac 2a 2a 2a b Contoh 3.20 Tentukanakar-akardaripersamaan x2 + 4x - 21 = 0 dengan menggunakanpersamaankuadrat! Penyelesaian Dari persamaandiketahuibahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21 2a b x2 = 1 2a

6. 42 4(1)(–21) 42 4(1)(–21) 4 + 4 4 + 4 x1 = = = 3 x2 = = = –7 2a 2a 16 + 84 16 + 84 2 2

7. - Grafikfungsikuadrat Fungsikuadratadalahfungsipolinomial yang mempunyai derajadduadanbentuknyaadalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalahbilangan-bilanganril, a  0, x adalahpeubahbebasdan y peubahtakbebas. • Grafikpersamaankuadratdapatmembukakeatasatau • kebawahtergantungdarinilai a. Jikanilai a > 0 makagrafik • akanmembukakeatas. Jika a<0 makagrafikakanmembukakebawah. • Padagrafikpersamaankuadratkitamengenalbeberapaistilahpentingyaitu :

8. i) Verteks Verteksadalahtitikekstrim ( maksimumataupun minimum ) darisuatu parabola. Jikanilai a parapersamaankuadratlebih kecildarinol (negatif) makaverteksmerupakantitikmaksimum. Jika a lebihbesardarinol (positif) makaverteksmerupakan titik minimum. Titikkoordinatverteksadalah V(h,k), dimana : h = – b/2a dan k = c – b2/4a (3.20 ) • ii) Sumbusimetri Sumbusimetriadalahgaris yang membagi parabola menjadi duabagian yang sama. Sumbusimetriadalah, x = h = – b/2a 3.21

9. iii) Titikpotongdengansumbu x Jikadiskriminan (D) = 0 maka parabola tidakmemotong sumbu x tetapiverteksnyahanyamenyinggungsumbu x. Jika D < 0 parabola tidakmemotongdantidakmenyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotongsumbu x pada x1dan x2 • iv) Titikpotongdengansumbu y Titikpotongdengansumbu y pada y = c • Contoh 3.21 Diketahuifungsikuadrat f(x) = –x2 + 5x -6 Tentukanverteks, sumbusimetri, ttkpotongthdsumbu x dan y Penyelesaian Dari soalsiketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6

10. h = –b/2a = – (5/–2) = 5/2 k = c – b2/4a = – 6 – 52/4 (–1) = – 6 +25/4 = 1/4 Verteks = V (h,k) = V (5/2 , 1/4) Sumbusimetri x = h = 5/2 Titikpotongterhadapsumbu x  y = 0 x2 + 5x – 6 = –( x – 3)(x – 2) = 0  x1 = 3 ; x2 = 2 Jadi parabola memotongsum,bu x pada x = 2 dan x = 3 Titikpotongterhadapsumbu y  x = 0. Didapat y = –6 Jadi parabola memotongsumbu y pada y = –6 Parabola membukakebawahkarena a < 0

11. y x = 5/2 1/4   x   O 2 3 –6  Sumbu simetri Gambar 3.12

12. j. Fungsipangkattinggi • Fungsipangkattinggi yang dimaksudpadapasaliniadalahpolinomialderajadtigaataulebih. Untukmenentukanakar-akardanmenggambarkangrafikdarifungsipangkattinggibiasanyakitaperluuntukmemaktorkanfungsipangkattinggitersebut. • - Pemfaktoranfungsipangkattinggi • Misal f(x) sembarangpolinomial. Selanjutnya x – c dikatakansalahsatufaktordari f(x)  f(c) = 0. Berarti c merupakansalahsatuakardaripolinomial. Berikutadalahcontohpemfaktoranfungsipangkattinggi. Contoh 3.22 Tentukanfaktor-faktordanakar-akardarifungsipangkat tinggi y = f(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24

13. Penyelesaian • Pertama-tama tentukansalahsatuakarnyasecara trial & error Jikakitaambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1)  0, maka x = 1 bukanakardari f(x). Jikakitaambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0. Karenaf(2) = 0, maka x = 2 adalahsalahsatuakardari f(x). Sehingga (x – 2) adalahsalahsatufaktordari f(x). Untukmencarifaktorlainnyakitabagi f(x) denganfaktor yang sudahdidapat, yaitu (x3 – 3x2 – 10x + 24) dibagidengan (x – 2).

14. x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24

15. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24

16. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3

17. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2

18. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2

19. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24

20. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24

21. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2

22. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x

23. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x

24. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24

25. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24

26. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x

27. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24

28. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24

29. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24 0

30. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24 Hasilbagi x3–3x2–10x+24 dengan x–2 adalah x2–x–12. Berarti, x2–x–12 adalahfaktor lain dari x3–3x2–10x+24. 0 Selanjutnya x3–3x2–10x+24 dapatditulisdalambentuk (x–2)(x2–x–12). Akantetapifaktor x2–x–12 masihmungkinuntukdiuraikanlagikarenamempunyaiderajaddua.

31. Persamaandari x2–x–12 dapatditulisdalambentukfaktor, yaitu (x–4)(x+3). Sehinggasecarakeseluruhanpersaman x3–3x2–10x+24 dapatditulisdalambentuk (x–2)(x–4)(x+3). • Jadifaktor-faktordari x3–3x2–10x+24 adalah • (x–2), (x–4) dan (x+3). • Sedangkanakar-akarnyaadalah x=4, 2 dan –3. • - Grafikfungsipangkattinggi Menggambargrafikfungsipangkattinggidapatdibantu denganbantuantandadarifaktor-faktornya (positifatau negatif) seperti yang ditunjukkanpadacontohberikut. • Contoh 3.23 Gambarkangrafikfungsi f(x) = x3 – x

32. Penyelesaian • Faktorkan f(x)  x3 – x = x(x – 1)(x + 1). – 1 0 1

33. Grafikdarifungsi f(x) = x3 – x adalah y 1 –1 x 0 Gambar 3.13

34. B. Fungsipecah a. Daerah definisi (domain) Fungsipecahadalahfungsi yang mempunyaibentuk P(x)/Q(x); P(x) dan Q(x) adalahfungsi-fungsipolinomial dan Q(x)  0. Dalambentukformulasifungsipecahdapat ditulismenjadi : P(x) f(x) = , Q(x)  0 (3.22) Q(x) Untukmenentukandaerahdefinisidarifungsipecah, pertama-tama kitafaktorkanpenyebutnya. Dari faktor-faktor tersebutkitadapatkanakar-akarnya. • Daerah definisifungsipecahadalahpadasemuabilanganrilkecualipadaakar-akarpenyebutdarifungsipecah.

35. Contoh 3.24 Tentukandaerah-daerahdefinisidarifungsi-fungsiberikut! 2x – 1 a) x2 – x – 2 • Penyelesaian a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) x + 3 x + 3 b) x3 + 4x2 + x x3 + 4x2 + x 2x – 1 {x|xsemuabilanganril, x  2 dan x  – 1} x2 – x – 2 b) Perhatikan Q(x) : x3 + 4x2 + x = 4x (x + 1/2)2 Himpunandaerahdefinisiadalah , Himpunandaerahdefinisiadalah , {x|xsemuabilanganril, x  0 dan x  – 1/2}

36. b. Grafikfungsipecah Untukmenggambarkangrafikfungsipecah, kitaperlu melakukanlangkah-langkahsebagaiberikut : • i) Faktorkanfungsipembilang P(x) danpenyebut Q(x) ii) Tentukandaerahdefinisi (domain) dari f(x) dengancara menentukan Q(x) = 0. Hargax yang didapatbukan domain f(x). • iii) Periksaapakahterdapatfaktor (x + a) yang merupakan • faktordari P(x) dan Q(x). Jikaadamakatitik x = -a • merupakantitiktakkontinudari f(x).

37. Tentukantitikpotong f(x) dengankeduasumbu, jikaada. • Untukmencarititikpotong f(x) dengansumbu x tetapkan • P(x) = 0. • Selanjutnyaharga x yang didapatmerupakantitikpotong • f(x) dengansumbu x. • Untukmencarititikpotongdengansumbu y tetapkan x = 0. • Harga f(x) yang didapatmerupakantitikpotong f(x) dengan • sumbu y. • Akaratauakar-akar yang berasaldarifaktor yang • bersekutuantarapembilangdanpenyebuttidak • digunakanuntukmencarititikpotong. • Coretfaktor/faktor-faktor yang bersekutuantarapembilang • danpenyebut.

38. vi) Tentukanasimtottegak, jikaada. • Garis x = c merupakanasimtottegakjika x – c merupakan • faktordari Q(x) setelahlangkah v. • vii) Misalfungsipecahberbentuk : anxn + an - 1xn - 1 + … + a1 x + a0 f(x) = bmxm + bm - 1 xm-1 + … + b1 x + b0 - Jika n < m makagaris y = 0 adalahasimtotdatar. - Jika n = m makagaris y = an/bmadalahasimtotdatar. - Jika n > m makafungsitidakmempunyaiasimtotdatar. • Tentukantanda-tandadari f(x) padaselang-selangantara • asimtottegak (positifataunegatif).

39. Contoh 3.25 Gambarkangrafik y = f(x) = • Penyelesaian i) = 3x2 – x – 2 3x2 – x – 2 • ii) Q(x) = (x – 1)(2x+1) = 0  x = 1 dan x = – 1/2. Jadidaerahdefinisi (domain) dari f(x) adalahsemua • bilanganrilkecuali 1 dan– 1/2. 2x2 – x – 1 2x2 – x – 1 • iii) Karena (x – 1) adalahfaktorpersekutuandari P(x) dan Q(x), maka f(x) takkontinupadatitik x = 1. ( x – 1)(3x+ 2) (x – 1)(2x +1)

40. Titikpotongdengansumbu x. • P(x) = 3x2 – x – 2 = 0  (x-1)(3x+2)  x = – 2/3. Jadititikpotongdengansumbu x terjadipada x= –2/3. Sedangkan x=1 bukantitikpotongpadasumbu x, karena (x–1) merupakanfaktorpersektuan P(x) dan Q(x). Titikpotongdengansumbu y, x = 0  y = 2. Jadititikpotongdengansb.yterjadipada y = 2. 3x2 + x + 3 x2 – x – 1 (3x+ 2) = v) = (2x +1) ( x – 1)(3x+ 2) • Karena (2x+1) adalahfaktordari Q(x), setelahdilakukan • langkah v), maka x= –1/2 adalahasimtottegak. (x – 1)(2x +1) vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalahasimtotdatar

41. viii) 0 0 3x2 – x – 2 0 2x2 – x – 1 ? 0 0 – 2/3 – 1/2 1

42. y -1/2 x 0 1 -2/3     Gambar 3.14

43. 3.2.3.2 Fungsiirasional Fungsiirasionaladalahfungsi yang mempunyaibentuk : (3.23) • dengan g(x) adalahfungsirasional. (3.24) Dg bila n bilanganganjil x|g(x)  0 bila n bilangangenap Daerah definisifungsiirasional (Df) dapatdijelaskan sebagaiberikut : Df= Dgadalahdaerahdefinsidari g.

44. Contoh 3.26 Tentukandaerahdefinisidandaerahnilaidari y = Penyelesaian Karena n genap (dalamhalini 2), maka 9x – x2 0 9x – x2 9x – x2 9x – x2 0  x(9 – x )  0 0 0 0 0   0 9 Jadidaerahdefinisiatau domain dariadalah 0  x  9

45. y =  y2 = 9x – x2  x2 – 9x + y2 = 0 Dari persamaandiataskitadapatkan : a = 1, b = –9, c = y2 Selanjutnyakitacaridiskriminan, yaitu :D = b2 –4ac Selanjutnyakitacarihargadiskriminan, yaitu :D = b2 –4ac Daerah nilaidaridicaridengancara 9x – x2 9x – x2 Karena domain dari f(x) adalahril, makadiskriminanjuga harusril. Artinya D  0. Secaraotomatis b2 –4ac  0. Jikakitamasukkannilai a, b dan c makadidapat : (-9)2 -4(1)(y2)  0. 4y2  81  -9/2  y  9/2

46. Akhirnyadidapatduapertaksamaan, y  -9/2 dan y  9/2. Akantetapikarena y haruslebihbesaratausamadengannol, makapertaksamaan y  -9/2 diabaikan. Sehinggapertaksamaan yang digunakanadalah y  9/2 dan y  0. Jadidaerahnilaiuntuk 9x – x2 3.2.4 Fungsikomposisi Fungsikomposisiadalahfungsi yang merupakankombinasi daribeberapafungsi. Misalterdapatduabuahfungsi, yaitu f dan g. Jikadaerahnilaifungsi g merupakandaerahdefinisi darifungsi f, makakombinasi f dan g kitatulisdengan f o g (baca f circle g) dandidefinisikansebagai, f(x) = adalah 0  y  9/2 (f o g)(x) = f(g(x)) (3.25)

47. Sebaliknyajikadaerahnilaifungsi f merupakandaerahdefinisi dari g makakombinasinyakitatulisdengangof (baca g circle f) dandidefinisikansebagai, (g o f)(x) = g(f(x)) (3.26) Contoh 3.27 Jikadiketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) Penyelesaian : • (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 • = x2 + 8x + 16 b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4

48. 3.2.5 Fungsisatukesatu Misalterdapatsuatufungsi f. Jikasetiapsatudaerahnilai (range) fungsi f berasaldarisatudaerahdefinisinya, makafungsitersebutdikatakanfungsisatukesatu. • Sebagaicontoh f(x) = x3adalahsuatufungsi yang • mempunyaidaerahdefinisiuntuksemua x rildanuntuk • setiapdaerahdefinisimenghasilkansatudaerahnilai. • Sehinggadikatakanbahwa f(x) = x3adalahfungsisatu • kesatu. • Contohlainnya, f(x) = x2adalahsuatufungsi yang mempunyaidaerahdefinisiuntuksemua x ril. • Akantetapisetiapsatudaerahnilaidihasilkanolehlebihdarisatudaerahnilai (dalamhalinidua), sehingga f(x) = x2bukanfungsisatukesatu.

49. 2.2.6 Fungsiinvers Misalterdapatsuatufungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyaiinversjikadanhanyajikaterdapatsuatufungsi g sedemikianrupasehingga, i) daerahdefinisifungsi g merupakandaerahnilaifingsi f ii) padasemuadaerahdefinisi f dansemuadaerahnilai g berlaku : f(x) = y  g(y) = x 2.27 Pernyataandiatasmenunjukkanbahwa g adalahinversdari f danditulis, g = f -1atau x = f -1 (x) 2.28

50. Contoh 2.27 Tentukaninversdaripersamaan : y = x3 + 2 Penyelesaian y = x3 + 2  x3 = y – 2  x = ( y–2 )1/3 f -1(y) = (y – 2)1/3 f -1(x) = (x – 2)1/3 2.2.7 Fungsitransenden 2.2.7.1 Fungsieksponen Misalterdapatbilangan a>0. Selanjutnyafungsi f yang didefinisikansebagai f(x) = axdisebutfungsi eksponendengan basis a. Sifat-sifat axdapat dijelaskansebagaiberikut :