Modul 4: Vektor pada Bidang dan Ruang

1. Modul 4: Vektor pada Bidang dan Ruang Kasiyah M Junus Siti Aminah

2. Sasaran pemelajaran Setelah mempelajari modul ini, pemelajar diharapkam memahami operasi pada vektor baik secara aljabar maupun geometri.

3. Vektor Definisi: vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Luas Panjang Massa Suhu Gaya Kecepatan Percepatan Perubahan Letak Skalar Vektor

4. Jenis-jenis vektor Vektor Fisik v Vektor Aljabar v = (a, b) Vektor Geometri (a, b) b v a

5. A B AB a AB a AB Penyajian vektor geometri Notasi vektor: Vektor ditulis dengan huruf tebal atau miring dengan anak panah di atasnya, untuk membedakan dengan skalar: a y = B A x z a = =

6. Penyajian vektor aljabar y komponen dari v. v = (5, 1) B(7,4) Q(7, 3) 5 dan 1 adalah komponen dari v A(2, 3) P(5, 1) v x v1 v2 = (v1, v2) v = v2 v1

7. z y x Menentukan komponen vektor y Vektor dengan titik pangkal (a, b) titik akhir (c, d), maka vektor tersebut secara aljabar adalah (c-a, d-b), komponen-komponen vektor: c-a dan d-b v B(c, d) v = (c-a, d-b) A(a, b) P(c-a, d-b) x B(d, e, f) f-c A(a, b, c) e-b d-a Komponen vektor: a-d, e-b, f-c

8. Besar vektor tidak tergantung posisi a = b = c Kesamaan vektor a c y b x a, b, c

9. a= (0, y) c= ( 0, y) b= ( 0, y) Kesamaan dua vektor fisik a = b = c Berat benda tetap meskipun posisinya berubah.

10. Kesamaan dua vektor geometri Dua vektor sama jika dan hanya jika panjang dan arahnya sama, tidak tergantung posisinya pada sistem koordinat.

11. Kesamaan dua vektor aljabar • Dua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama. b1 b2 a1 a2 = Jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2 b1 b2 b3 a1 a2 a3 Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3 =

12. Jumlahan Vektor • Menjumlahkan dua vektor fisik: F2 F1 F3 F2 F1 F3 = F1 + F2 Jika dua gaya dijumlahkan, maka efeknya sama dengan menerapkan resultantenya.

13. y y Jumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor geometri: b a+b a

14. y y y C(a1+b1, a2+b2) B(b1, b2) a+b b A(a1, a2) a x x x a = (a1, a2) b = (b1, b2) a+b = (a1+b1, a2+b2) Jumlahan Vektor Menjumlahkan dua vektor aljabar Misalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2) Apakah kamu mempunyai metode yang berbeda dalam menjumlahkan dua vektor geometri?

15. Latihan 1. u v Manakah vektor yang merupakan u+v ? a b d c Jawab: a v a u

16. Latihan 2. a b Manakah vektor yang merupakan a+b ? g d e f Jawab: e a b e

17. Latihan • u = (5, 6) dan v = (3, 2) Apakah vektor yang merupakan hasil dari u+v? a = (2, 4) b = (8, 8) c = (15, 12) d = (8, 4) 4. u = (5, 6) dan v = (3, 2) Apakah vektor yang merupakan hasil dari u - v? a = (2, 4) b = (8, 8) c = (15, 12) d = (8, 4) Jawab: b Jawab: a

18. Latihan b 5. a tentukan vektor c sedemikian hingga b = a + c k j i h Jawab: h h ? b a

19. y y x x z Vektor nol dan vektor satuan Vektor nol Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar vektor nol adalah vektor yang semua komponennya nol: 0 = (0, 0) pada bidang dan 0 =(0, 0, 0) pada ruang. 0 vektor nol 0 vektor nol

20. y x Vektor nol dan vektor satuan Vektor satuan • Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1. c a j=(0, 1) b i=(1, 0)

21. b a a 2a -a -1/2a 1/3a Perkalian vektor dengan skalar b searah dengan a, panjang b lima kali panjang a, ditulis b = 5a • Jika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang a • Jika k<0, ka berlawanan arah dengan a, dengan panjang k kali panjang a. • Jika k = -1, maka ka = -a (negative dari a). Sifat –a + a = 0 (vektor nol) dapat dilihat pada sifat-sifat aritmetika vektor • Dua vektor sejajar, maka yang satu merupakan perkalian skalar yang lain.

22. b -b a -a a b -b -b a-b a-b a -a -a b b-a b b-a b a v v v u-v v-u u u u Pengurangan • Tentukan a – b dan b-a

23. c c a b a b c c a b ka lb ka lb Hubungan tiga vektor pada bidang Diberikan a, b, c c = ka + lb

24. y y v = (v1v2) v=(v1, v2) j=(0, 1) x i=(1, 0) Basis standar bidang R2 • Basis standard bidang R2 adalah: {i = (1, 0), j = (0, 1)}. • Setiap vektor v = (v1, v2) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier v = v1i + v2j v2j v1i v= v1i+ v2j

25. y y P(ai, bj, ck) P(a, b, c) k x x i j z z Basis standar R3 Basis standard bidang R3 adalah: {i = (1, 0, 0), j = (0, 1,0), k = (0, 0, 1)} Setiap vektor (a, b, c) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linier ai + bj +ck

26. y y a+b = b+a b x x a Sifat-sifat Aritmetika Vektor 1. Jumlahan vektor bersifat tertutup, yaitu: jumlahan dua vektor selalu menghasilkan tepat satu vektor 2. Jumlahan dua vektor bersifar komutatif. a = (a1, a2), b = (b1, b2) a1+b1 = b1+a1 dan a2+b2 = b2+a2 ( sifat komutatif penjumlahan skalar) a+b = (a1+b1, a2+b2) b+a = (b1+a1, b2+a2)

27. y y a+(b+c) = (a+b)+c b c x x a Sifat Assosiatif Jumlahan 3. jumlahan vektor bersifat assosiatif a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2) a+(b+c) = (a1+(b1+c1), a2+(b2+c2)) (a+b)+c = ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2) (sifat assosiatif penjumlahan skalar)

28. y y b b+0 0 x x Vektor nol: elemen identitas 4. vektor nol merupakan elemen identitas terhadap jumlahan. b = (b1, b2), 0 = (0,0) b+0 = (b1, b2) b+0 = (b1+0, b2+0) ( sifat identitas penjumlahan skalar)

29. y y b 0 -b x x Negatif vektor 5. jumlahan vektor dengan negatifnya menghasilkan vektor nol. b = (b1, b2), -b = (-b1,-b2) b+(-b) = (0, 0) = 0 b+(-b) = (b1+(-b1), b2+(-b2))

30. y y x x y x Sifat-sifat Aritmetika Vektor (lanjt) 6. perkalian vektor dengan dua skalar berturut-turut, dapat dilakukan dengan mengalikan skalarnya terlebih dahulu 3u u u = (v1,v2) v = 3u =3(v1,v2) = (3v1,3v2) w = 2v =2(3v1,3v2) = (6v1,6v2) x = (3x2)u = 6(v1,v2) = (6v1,6v2) = w 6u

31. y y y 2(u+v) 2v 2u+2v u+v v u 2u x x x Sifat aritmetika (lanjt) 7. hasil kali skalar dengan jumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing vektor dengan skalar, baru kemudian dijumlahkan. u = (u1,u2), v = (v1,v2) u+v = (u1+v1,u2+v2) 2(u+v) = (2(u1+v1),2(u2+v2)) 2u+2v = 2(u1,u2)+2(v1,v2) = 2(u1+v1,u2+v2) = (2(u1+v1),2(u2+v2))

32. y y x x y x Sifat Aritmetika (lanjt) 8. Hasil kali vektor dengan jumlahan dua skalar, sama dengan jumlahan dua vektor setelah dikalikan dengan masing-masing skalar. 3u u u = (u1, u2) 3u = (3u1, 3u2) (2+1)u = 2u + u = 2(u1, u2)+(u1, u2) = (3u1, 3u2) u 2u

33. y y x x y x Sifat Aritmetika (lanjt) 9. Perkalian vektor dengan skalar nol, menghasilkan vektor nol. 10. Mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut. u 0(u) u = (u1, u2) 0u = 0(u1, u2) = (0, 0) 1u = 1(u1, u2) = (u1, u2) 1u

34. y x y x z Norm (panjang) vektor v norm/panjang vektor v adalah ||v|| = v norm/panjang vektor v adalah ||v|| =

35. y x z Norm vektor sebagai jarak dua titik Q(a2, b2, c2) v P(a1, b1, c1) panjang vektor v adalah jarak antara titik P ke Q

36. y x Hasil kali titik (dot product) C jika titik pangkalnya berimpit maka sudut antar dua vektor dapat ditentukan. b B α a A Definisi 1: Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan a.b 0 jika a = 0 atau b = 0 ||a|| ||b|| cos . a, b tidak nol, dengan π ≥α ≥0. Dapat ditunjukkan bahwa hasil kali titik dapat didefinisikan juga dengan rumus lain Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2

37. y x Bukti Bukti: Berdasarkan rumus cosinus, ||a-b||2 = ||a||2 +||b||2 – 2||a|| ||b|| cos ||a|| ||b|| cos = ½(||a||2 +||b||2- ||a-b||2). ||a||2 = ||b||2 = ||a-b||2 = a.b = ||a|| ||b|| cos  = ½(||a||2 +||b||2- ||a-b||2) = a1b1 + a2b2 C b a-b B α a A

38. z v b C A x α a B Hasil kali titik di R3 Definisi 1:hasil kali titik (dot product) Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan 0 jika a = 0 atau b = 0 a.b = ||a|| ||b|| cos . untuk a, b vektor tak nol dengan 0≥α ≥π. Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R3, maka a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

39. (0, 6) b a (5, 0) Quiz 1. Benar atau Salah: hasil kali titik dua vektor hasilnya vektor lain 2. Diketahui a dan panjangnya dua kali b, panjang b sama dengan k satuan, a dan b membentuk sudut 45 derajat. Tentukan a.b. a. 2k2 c. √2k2 e. 2√2k b. 2√2k2 d. 6√2k Maka a.b adalah a. 0 c. (5, 6) e. (6, 5) b. 30 d. 1 4. Hitunglah u.v, jika u = (10, 0) dan v = (25, 0) a. 0 c. (35, 0) e. (10, 25) b. 250 d. (250, 0) 5. Diketahui ||a||= 5, ||b||= 6, dan sudut antara keduanya 120. Hitung a.b a. 0 c. (5, 6) e. -15 b. 15√3 d. 15

40. Sudut dan hasil kali titik dua vektor Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik a.b = ||a|| ||b|| cos  dengan π ≥α ≥0. Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkan cos α bisa positif, negatif atau nol tergantung pada nilai α y < 0, jika sudutnya tumpul cos α =0 cos α <0 cos α >0 u.v = 0, jika u dan v ortogonal > 0 jika sudutnya lancip x

41. ||b||=7 ||b||=7 ||a||=8 α α ||a||=5 α ||a||=5 ||b||=8 Latihan: a.b= ? Jawab:35 cosα a.b=? Jawab: 64x0=0 a.b=? Jawab: -35cos(π-α) Jika dua vektor berimpit, maka hasil kali titiknya ……………….. Jika salah satu vektor adalah nol, maka hasil kali titiknya …………. Jawab: hasil kali panjangnya Jawab: 0

42. x Norm dan hasil kali titik v = (v1, v2) ||v|| =(v.v)1/2 = B v A Misal, diberikan 2 vektor v, cosinus sudut antara v dengan v adalah 1. Maka v.v = ||v|| ||v|| atau ||v|| = ( v.v)1/2 Di R3: norm/panjang vektor v adalah ||v|| = (v.v)1/2 =

43. Hasil kali titik dan perkalian matriks • Berdasarkan definisi, jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2. Jika a dan b, dipandang sebagai vektor-vektor baris maka a.b = abT • a = (a1,a2) dan b = (b1,b2) • a.b = a1b1 + a2b2 = = abT • Jika a, b vektor-vektor di R3, • Maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = = abT

44. Sifat-sifat hasil kali titik Diberikan u = (5,3), dan v = (4,6) • Tentukan u.v dan v.u. Apa kesimpulanmu? Diberikan u = (a,b), dan v = (c,d). Hitunglah dan simpulkan: • Apakah u.v = v.u? Perkalian titik memenuhi sifat simetri, yaitu u.v = v.u

45. Latihan: 1. Diberikan u = (5, 3), v = (4, 6), dan skalar k = 4. Hitunglah (ku).v dan k(u.v) Apa kesimpulanmu? 2. Diberikan u = (a, b), v = (c, d), dan skalar k. Tentukan (ku).v dan k(u.v). Apa kesimpulanmu? Perkalian titik memenuhi sifat (ku).v = k(u.v)

46. Latihan: • 3. Diberikan u = (5,3), v = (4,6), dan w = (4,7). • Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.w • Apakah u.(v+w) = u.v + u.w? 4. Diberikan u = (a,b), v = (c,d), dan w = (e,f). Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.w? Apa kesimpulanmu? Perkalian titik memenuhi sifat yaitu u.(v+w) = u.v + u.w

47. Sifat-sifat hasil kali titik (lanjt) • Diberikan v = (4, 6, 1) dan u = (0, 0, 0) • Tentukan v.v dan u.u • Diberikan v = (a, b, c) vektor pada ruang • Tentukan v.v? • kapan v.v = 0?

48. 4 sifat penting hasil kali titik • Perkalian titik memenuhi sifat: • u.v = v.u • (ku).v = k(u.v) • u.(v+w) = u.v + u.w • v.v = ||v||||v||, dan 0 untuk v = 0

49. y Proyeksi ortogonal pada sumbu koordinat v = vx + vy v vy x vx

50. Proyeksi ortogonal dan dekomposisi u u2 b u1 u1adalah komponen u sepanjang batauproyeksi ortogonal u pada b u1 = projbu u2 tegak lurus u1 dan u = u1 + u2 disebut komponen u tegak lurus b. u2 = u – u1 = u – proybu proybu = u.b ||b||2 u – proybu = u – u.b ||b||2 b b