Milestone 2:

1. סמינר בגיאומטריה חישובית פרק 5 – חלק II Milestone 2: על מה נדבר היום: 1 2 3

2. פאות של פאונים קמורים: Milestone 2: נגדיר פאה של פאון קמור P להיות P עצמו או תת קבוצה של P מהצורה באשר h הינו על-מישור אשר P מוכל כולו באחד מחצאי המרחב הסגור הנגזר מ h. עבור קבוצה נקרא לנקודה נקודה קיצונית לקבוצה אם נקודה קיצונית לא נקודה קיצונית

3. פאות של פאונים קמורים: Milestone 2: • משפט 1: יהי פאון קמור חסום. • אזי הנקודות הקיצוניות של P הם קודקודיו, וP הוא הקמור של קודקודיו. • נשים לב כי P הינו קמור של מספר סופי של נקודות. • נסמן ב את קבוצת הנקודות המינימאלית שהקמור שלה הוא P. • נסמן ב את קבוצת הקודקודים המייצגים את הקמור. • נסמן ב את קבוצת הנקודות הקיצוניות של P. • על מנת להוכיח את המשפט נראה שמתקיים: • נשתכנע כי בדוגמא שלנו השוויון הנ"ל • אכן מתקיים כאשר:

4. פאות של פאונים קמורים: Milestone 2: • הוכחה: נראה . • נשים לב כי מהגדרת נקודה קיצונית לקבוצה P מתקיים: . • נראה : יהי קודקוד של P, אזי קיים על-מישור h כך ש • ו נמצא באחד מחצאי המרחבים הפתוחים המוגדרים על ידי h, לכן • הוא קמור. סה"כ אך ולפיכך v נקודה קיצונית ולכן • ונקבל . • לבסוף נראה ונקבל כי: • אם כך יהי נראה . • על מנת להראות ש v קודקוד של P • נראה כי קיים על-מישור אשר מכיל את • P בצד אחד ו .

5. פאות של פאונים קמורים: Milestone 2: נסמן את הקמור ממינימאליות נאמר , ולכן הקבוצות הקמורות C ו זרות זו לזו וניתן להעביר ביניהם על-מישור h המפריד ביניהם. נשים לב כי הקבוצה הינה קמורה מכיוון שהיא מהווה חיתוך של קבוצה קמורה עם חצי המרחב פתוח מ . כמו כן כל קטע חולק אך ורק את הנקודה v עם על-מישור . ראינו קבוצה קמורה וכן קבוצה קמורה לכן גם קבוצה קמורה. מכיוון שT קמורה ומכילה את היא בהכרח מכילה גם את ולכן כנדרש.

6. פאות של פאונים קמורים: משפט 2: יהי פאון קמור חסום ותהי F פאה שלP . אזי הקודקודים של F הם בדיוק הקודקודים של P הנמצאים בF ובנוסף הפאות של F הם בדיוק הפאות של P אשר מוכלות בF. P F P F

7. פאות של פאונים קמורים: • תחילה נראה כי הקודקודים של F הם בדיוק הקודקודים של P הנמצאים בF. • נסמן בV את קבוצת הקודקודים עבור הפאון הקמור P, ו- את קודקודי P אשר בF. • נשים לב כי , כמו כן בשביל לקבל נקודות על חייבים להשתמש רק בקודקודי V הנמצאים על ולכן משיקולים דומים לאלו שראינו במשפט הקודם מתקיים: ולכן ממשפט קודם כל הנקודות • הקיצוניות של F הם בדיוק הקודקודים של F ואלו הם בדיוק קודקודי P הנמצאים בF. P F

8. פאות של פאונים קמורים: • נראה כי "פאה של פאה היא פאה" ולהיפך. • פאה (נסמנה G) של P המוכלת בF, היא גם פאה של F שהיא עצמה פאה של P: • נשתמש באותו על-מישור (ראה ) על מנת להראות שG היא פאה של F וכן פאה של P. • פאה (G) של פאה (F) שלP , היא פאה של P: • מהנחה F פאה של P לכן קיים על-מישור h כך ש , וכמו כן G פאה של F לכן קיים על-מישור g כך ש וסה"כ נקבל . • מצד שני אם נסובב מעט את h סביב G (ראה h’ ב ) נוכל לומר כי G היא גם פאה של P באשר . בסעיף הקודם ראינו כי מדובר באותם הקודקודים ולכן הפאות שוות. P F P F

9. הפאון המחזורי: • עקומת מומנט: נגדיר את העקום ב • כעקומת מומנט. דוגמאות: • נגדיר פאון מחזורי (cyclic polytope): הקמור של מספר נקודות סופי על עקומת המומנט.

10. הפאון המחזורי: • נסמן עקומת מומנט כ ב . • למה 1: כל על-מישור חותך את עקומת המומנט ב נקודות לכל היותר. • כמו כן אם יש נקודות חיתוך אזי לא יתכן ש משיק ל ולכן בכל נקודת חיתוך • עובר מצד אחד של לצידו השני. • הוכחה: נבטא את על-מישור בעזרת המשוואה , כאשר מתקיים • . נשים לב כי נקודה ב היא מהצורה • ואם נקודה זו נמצאת על אזי מתקיים ולכן t הוא שורש של פולינום (שונה מאפס) מדרגה ולפי משפט קיימים לו לכל היותר שורשים. • כמו כן אם ישנם שורשים שונים אזי כולם חייבים להיות שורשים פשוטים מהצורה: • ליד כל אחד מהשורשים הפשוטים הפולינום מחליף סימן ולכן נוכל להסיק כי עובר מצד אחד של לצידו השני.

11. הפאון המחזורי: • ניזכר כי facet הינה פאה ממימד d-1 של הפאון. • נשים לב כי כל facet נקבעת בעזרת קבוצה (tuple) של d קודקודיםבלתי תלויים אפינית. • למשל בדוגמה עבור ריבוע לכן ה facet הינה הפאה ממימד 1 (קשת) • וניתן לייצג כל facet בעזרת קבוצה של 2 קודקודים. • אנו מעוניינים לעמוד את מספר ה facetsבפאון מחזורי. לשם כך נעזר בקריטריון הזוגיות של גייל על מנת לקבוע אילו קבוצות של d קודקודים מהוות facet.

12. הפאון המחזורי: • קריטריון הזוגיות של גייל: תהי V קבוצת קודקודים של פאון מחזורי P עם סידור ליניארי • לאורך עקומת המומנט כך שקודקוד גדול יותר מייצג ערך גדול יותר של הפרמטר t. • תהי קבוצה של d קודקודים השייכים לP כך ש . • אזי F מהווה facet של P אם ורק אם לכל שני קודקודים מספר הקודקודים המקיימים הינו זוגי.

13. הפאון המחזורי: • הוכחה: • יהי על-מישור הנפרש על ידי F, אזי F מהווה facet אם ורק אם כל הנקודות בקבוצה V\F נמצאות באותו צד של . • מכיוון שעקומת המומנט חותכת את בדיוק בd נקודות (הנקודות המייצגות את F) נחלקה לd+1 חלקים אשר כל אחד נמצא לחלוטין בצד אחד של . • לכן אם הקודקודים בקבוצה V\F מוכלים כולם בקטעים האי זוגיים כגון כמו בתמונה או לחילופין אם הם כולם מוכלים בקטעים הזוגיים אזי F מהווה facet. • הנ"ל שקול לקריטריון גייל מכיוון שבין כל 2 קודקודים ב V\F יש מספר זוגי של קודקודי F.

14. הפאון המחזורי: • משפט: מספר ה facetsבפאון מחזורי ממימד d עם n קודקודים כאשר הינו: • (i) עבור d זוגי. • (ii) עבור d אי זוגי. (iii) עבור מספר קבוע d מתקיים סדר גודל של .

15. הפאון המחזורי: • הוכחה: • מקריטריון גייל נסיק כי מספר ה facetsשווה למספר הדרכים לשבץ d מעגלים שחורים וn-d מעגלים לבנים כך שישנו מספר זוגי של מעגלים שחורים בין כל שני מעגלים לבנים. • נגדיר סידור מזווג: אנו נאמר כי סידור של מעגלים שחורים ולבנים הוא סידור מזווג אם לכל קטע רציף של מעגלים שחורים יש אורך זוגי.

16. הפאון המחזורי: • הוכחה: • נשים לב כי מספר האפשרויות לסידורים המזווגים של k2 מעגלים שחורים ו n-2k מעגלים לבנים הוא . • מכיוון שעל ידי "מחיקת" כל מעגל שחור שני אנו מקבלים התאמה של "אחד על אחד" בבחירת המיקומים של k מעגלים שחורים ב n-k מקומות. • נראה דוגמה עבור k=2 ו n=6. במקרה זה ישנם 4 כדורים שחורים ו2 כדורים לבנים. • מכיוון שהסידור מזווג, מעגלים שחורים יגיעו באורך זוגי. ולכן הנ"ל יכול להיות (4 בחר 2)=6

17. הפאון המחזורי: • הוכחה: • עתה נחזור לבעיה המקורית, ונביט תחילה במקרה בו d אי זוגי מהצורה . • בסידור תקין של מעגלים אנו מחויבים לסידור מספר מעגלים שחורים אי זוגי בהתחלה או בסוף (אך לא בשניהם). • במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בהתחלה נמחק את המעגל השחור הראשון ונסדר בזיווג 2k מעגלים שחורים וn-1-2k מעגלים לבנים כמו מקודם: . • במקרה בו מספר המעגלים השחורים הוא אי זוגי בסוף נמחק את המעגל השחור האחרון ונסדר בזיווג את המעגלים הנותרים: . • סך הכל הנ"ל מבסס את הנוסחה עבור מקרה של d אי זוגי:

18. הפאון המחזורי: • הוכחה: • עבור d זוגי מהצורה . מספר המופעים העוקבים של מעגלים שחורים בהתחלה יכול להיות זוגי או אי זוגי. • במקרה הזוגי מתקיים סידור מזווג קלאסי כהגדרתו אשר נסכם לכדי אפשרויות. • במקרה האי זוגי נשים לב כי מתחייב שיישארו גם מספר אי זוגי של מעגלים שחורים בסוף ולכן היות ובמקרה זה המעגל הראשון והאחרון נקבעו להיות שחורים "נמחק" אותם (היות והם מקובעים במקומם לא נספור אותם בחישוב) לבסוף נקבל במקרה זה סידור מזווג של 2(k-1) מעגלים שחורים ו n-2k מעגלים לבנים המוסיפים לנו • אפשרויות. • סך הכל מסכימת האפשרויות בשני האפשרויות עבור d זוגי נקבל: • אפשרויות כנדרש.

19. תיאוריית החסם העליון: • תיאוריית החסם העליון עוסקת בתכונה ייחודית של מספר הפאות בפאון המחזורי. • משפט החסם העליון: מבין כל הפאונים הקמורים ממימד עם קודקודים, הפאון המחזורי ממקסם את מספר הפאות בכל מימד. • בפרק זה אנו נראה תוצאה משעורת על סדר הגודל למספר הפאות המקסימאלי. • משפט החסם העליון האסימפטוטי: לפאון קמור ממימד עם קודקודים, יש לכל היותר facetsולכל היותר פאות סך הכל. • עבור מספר קבוע d מתקיים סדר גודל של עבור שני הגורמים.

20. תיאוריית החסם העליון: • ראשית נראה נכונות משפט זה עבור פאונים סימפליציאלים (simplicial polytope) בהם כל אחד מה facets מהווה סימפלקס. • סימפלקס הוא קמור של קבוצת נקודות בלתי תלויות אפינית ב . • סימפלקס משוכלל ממימד d הוא קמור של d+1 נקודות כאשר המרחקים בין כל 2 נקודות זהה. • יהי P פאון סימפליציאלי ממימד d אזי: • מתקיים • וכן • הנ"ל יוכיח את הטענה אסימפטוטית עבור פאונים סימפליציאלים מכיוון שמספר הפאות ממימד בהכרח קטן מ - מספר כלל קבוצות הקודקודים.

21. תיאוריית החסם העליון: • נראה נכונות המשפט עבור פאונים סימפליציאלים. • ניזכר כי מתקיים: • נעבור אל הפאון הדואלי הפשוט *P. עלינו להראות כי מתקיים • וגם . • נשים לב כי לכל פאה של *P יש לפחות קודקוד אחד, וכל קודקוד של פאון פשוט ממימד d הוא חלק מ (incident) פאות. מכאן נקבל את האי שוויון הראשון. • עתה נחסום את מספר הקודקודים במונחי מספר הפאות ממימד . • נסובב את הפאון *P כך שלאף אחד מהקודקודים לא תהיה קורדינטה משותפת . • (כך שאין קשת אופקית)

22. תיאוריית החסם העליון: • נביט על קודקוד עם d קשתות מכוונות היוצאות ממנו. • לפי עקרון שובח היונים יש לפחות קשתות היוצאות ממנו כלפי מטה או לפחות קשתות כלפי מעלה. • במקרה בו לפחות מהקשתות יוצאות כלפי מעלה כל קבוצה של קשתות עולות מהוות פאה ממימד עבורה הינו הקודקוד הנמוך ביותר. • במקרה בו לפחות מהקשתות יוצאות כלפי מטה כל קבוצה של קשתות יורדות מהוות פאה ממימד עבורה הינו הקודקוד הגבוה ביותר. • להלן דוגמה עבור d=3 כאשר 2 קשתות עולות מ ואכן בפאה המתאימה ממימד 2 הינו הקודקוד התחתון ביותר.

23. תיאוריית החסם העליון: • הראנו עתה שלפחות בפאה אחת ממימד מתקיים שהקודקוד הוא הנמוך ביותר או הגבוה ביותר. • מכיוון שהקודקוד הנמוך והגבוה ביותר הינם ייחודיים בכל פאה, מספר הקודקודים הוא לא יותר מפעמיים מספר הפאות ממימד . • סך הכל נקבל את האי השוויון השני: .

24. תיאוריית החסם העליון: • נותר לנו להראות את נכונות החסם העליון עבור פאונים אשר אינם סימפליציאלים. • למה 1: לכל פאון קמור P ממימד d קיים פאון סימפליציאלי Q ממימד dכך שמתקיים • וגם עבור k=1,2….,d. • הוכחת למה 1: • תהי V קבוצת הקודקודים של P ויהי נעבור על הקודקודים אחד אחד. ונגדיר פעולת pushing באופן הבא: • נבחר קודקוד במרחק לכל היותר מ , אשר אינה על אף על-מישור הנגזר מקודקודי הקבוצה V. ונגדיר את הקבוצה V’ להיות . • כך נעבור על כל קודקוד בקבוצה V ונבצע pushing נקבל קבוצת קודקודים חדשה המהווה פאון סימפליציאני.

25. תיאוריית החסם העליון: • הוכחת למה 1: • עלינו להראות שלכל פאון P עם קבוצת קודקודים V ולכל , קיים כך שדחיפת של לא מפחיתה את מספר הפאות בפאון הפשוט הנוצר Q. • תהי U⊂V קבוצת הקודקודים של הפאה ממימד K של P עבור 0 ≤k≤d-1, נסמן ב V’את קבוצת הקודקודים שנוצרה מV לאחר דחיפת ה של הקודקוד . • אם אזי לא הזזנו קודקוד בU ובהכרח U מהווה גם פאה של conv(V’), לכן נניח כי . • אם וגם נמצא בקמור האפיני של אזי מהווה פאה ממימד K עבור conv(V’).

26. תיאוריית החסם העליון: • הוכחת למה 1: • אם אך אינו נמצא בקמור האפיני של נראה כי מהווה פאה ממימד K עבור conv(V’). • נשים לב כי הקמור האפיני של U זר לקבוצה הקומפקטית conv(V\U). • אם נזיז את במרחק קטן גם הקמור האפיני של U יזוז במרחק קטן. • לכן קיים כך שאם נזיז את במרחק ממקומו המקורי הקמור של U ו conv(V\U) יישארו זרים זה לזה ולכן מהווה פאה ממימד K עבור conv(V’) לאחר דחיפת ה של .

27. תיאוריית החסם העליון: • h vector: עבור פאון קמור P ב נגדיר h vector מהצורה באשר • הוא מספר הקודקודים אשר לכל אחד מהם יש בדיוק i קשתות היוצאות כלפי מעלה. • בפאון פשוט מתקיים עבור הקודקוד הגבוה והנמוך ביותר בהתאמה. • ניזכר בהגדרת f vector מהצורה באשר מייצג את מספר הפאות ממימד i בP. • נבקש לקשור בין הh vectorוה f vectorבאופן הבא: • כל קודקוד שנספר ב הוא הקודקוד הנמוך ביותר עבור בדיוק פאות ממימד k, ולכל פאה ממימד k יש בדיוק קודקוד אחד נמוך ביותר ולכן: • כאשר עבור i<k מתקיים

28. תיאוריית החסם העליון: • נביט בדוגמה הבאה. אנו יודעים כי בקובייה מתקיים: מס' הקודקודים • מס' הקשתות • מס' הfacets • הקובייה עצמה • נחשב את ה h vector:

29. תיאוריית החסם העליון: • נשתכנע כי אכן מתקיים:

30. תיאוריית החסם העליון: • באופן דומה נוכל להיעזר ב f vectorעל מנת לשחזר את ה h vector: נחזור ונציב לאחור:

31. תיאוריית החסם העליון: • ראינו כי מתקיים: קיבלנו את נוסחת אוילר.

32. תיאוריית החסם העליון: • כמו כן ראינו כי מתקיים:

33. תיאוריית החסם העליון: • ראינו אם כן כי נוכל להיעזר ב f vectorעל מנת לשחזר את ה h vector: • נשים לב כי שכאשר הגדרנו את ה h vector בחרנו כיוון מסוים אליו השוונו את מספר הקשתות היוצאות כלפי מעלה מכל קודקוד, אולם עתה מהנוסחה הנ"ל אנו יכולים להסיק את ה h vectorבעזרת ה f vectorוהנ"ל נכון ללא קשר לכיוון שנבחר. • על ידי הפיכה של P נוכל להסיק כי לכל i=0,1,…,d. • השוויונות הנ"ל ידועות כ Dehn-Sommerville relations והם כוללות את הנוסחה הסטנדרטית של אוילר עבור פאונים ממימד 3: .

34. תיאוריית החסם העליון: • סה"כ עבור פאון סימפליציאלי P נוכל להגדיר את ה h vectorבעזרת ה h vectorשל הפאון הדואלי הפשוט P* כאשר: • נוכל לנסח את תיאוריית החסם העליון במונחי הh vector. • לכל פאון סימפליציאלי ממימד d עם n קודקודים מתקיים: