IV - Frecuencia Compleja y Análisis de Circuitos en el Dominio S.

1. IV -Frecuencia Compleja y Análisis de Circuitos en el Dominio S. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

2. 4.1 Frecuencia Compleja. • El análisis en estado senoidal estable o permanente, el análisis transitorio, la respuesta forzada, la respuesta compleja, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación exponenciales y senoidales exponencialmente amortiguadas serán casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos asociados con el concepto de frecuencia compleja. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

3. Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

4. Gráfico Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

5. Frecuencia Compleja. • Cualquier Función puede escribirse de la forma: f(t)= K.es.t • Donde K y s son constantes complejas, independientes del tiempo, y está caracterizada por la frecuencia compleja s. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

6. Frecuencia Compleja,función constante y exponencial. • Aplicando la definición, con s=0, una función de voltaje constanteV(t)=Vo, se escribe como: v(t)= V0.e0.t • Para una función de voltaje exponencial, la frecuencia compleja es; s= + j0, por lo tanto: v(t)= V0.e.t Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

7. Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal. • Para un voltaje senoidal: v(t)= Vm.cos(wt+) • Aplicando la identidad de Euler: cos(wt+)= ½.[ej(wt+) + e-j(wt+)] • Se obtiene: v(t)= (½.Vm.ej).ejwt + (½.Vm.e-j).e-jwt v(t)= K.est + K*.es*t Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

8. Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal. • Donde: • s= jw • s*= -jw (conjugado de s) • K= ½.Vm.ej • K*= ½.Vm.e-j (conjugado de K) Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

9. Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada. • Para la función de voltaje: v(t)= Vm. e.tcos(wt+) • Aplicando la identidad de Euler: cos(wt+)= ½.[ej(wt+) + e-j(wt+)] • Se tiene: v(t)= (½.Vm.ej).e(+jw)t + (½.Vm.e-j).e(-jw)t Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

10. Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada. • Donde, el par de frecuencias complejas conjugadas se describe como: s =  + jw s* =  - jw • La amplitud y el ángulo de fase del voltaje senoidal dependen del valor de K para cada una de las dos frecuencias complejas conjugadas. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

11. Variable Compleja, S. • Se denota por sigma, , a la parte real de s, y por w (no jw) a la parte imaginaria de s; luego: s =  + jw. • Donde: • : es la frecuencia de amortiguamiento (se mide en Nepers/s) • w: es la frecuencia angular (rad/s) • s: se mide en Nepers/s o rad/s. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

12. Ejemplo: Frecuencia Compleja • Sea: f(t)= (4 - j7).e(-3+j15)t. • Donde: K= Sqrt[(4)2 + (7)2] = 8.1 =tan-1(-7/4) = -60.3° f(t)= K.es.t = K.e.t cos(wt+) • Luego: f(t)=8.1.e-3.t cos(15t-60.3°) Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

13. 4.2 Función de excitación Senoidal amortiguada en S. • La Función senoidal con variación exponencial: v(t)= Vm. e.t cos(wt+) • puede expresarse en términos de la frecuencia compleja s como: v(t)=Re (Vm.et.ej(wt+)) • Factorizando y sustituyendo s =  + jw: v(t)=Re (Vm.ej.est) Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

14. Función de excitación Senoidal amortiguada en S. • Aplicando la senoidal exponencialmente amortiguada a una red eléctrica, la respuesta forzada de la corriente se expresa como: i(t)= Im. e.t cos(wt+) = Re (Im.ej.est) • Se obtiene una respuesta completa cuya parte real es la respuesta real buscada (se puede omitir la notación Re), la solución final de este tipo de problemas consiste en encontrar la amplitud de la respuesta, Im y el ángulo de fase  de la corriente. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

15. Función de excitación Senoidal amortiguada en S. • Los pasos básicos a seguir del método de solución son: • Caracterizar el circuito por medio de un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de lazo o de nodo. • Sustituir las funciones de excitación dadas y las respuestas forzadas supuestas en forma compleja en las ecuaciones. • Realizar las integrales y derivadas indicadas. • En todas las ecuaciones cada termino tendrá el factor est , se divide todo entre este factor para tenerlo en el dominio de la frecuencia. • Una vez realizados los anteriores pasos, las ecuaciones integro-diferenciales se transforman en algebraicas y su solución es simple. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

16. Ejemplo: Frecuencia Compleja Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

17. Ejemplo: Frecuencia Compleja,continuación... Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

18. Ejemplo: Frecuencia Compleja,continuación... Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

19. Ejemplo: Frecuencia Compleja,continuación... Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

20. EjerciciosFrecuencia Compleja. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

21. 4.3 Definición Transformada de Laplace. • La Transformada de Laplace unilateral (un solo lado, t>0) de una función f(t), esta dada por la expresión: • La Transformada Inversa de Laplace se denota como: Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

22. Transformada de Laplace de funciones elementales.Función Escalón Unitario, u(t). Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

23. Función Impulso unitario, (t). La función (t) es cero excepto en t = 0, donde se hace infinita. Tiene área unitaria. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

24. Función exponencial, e-t. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

25. Funciones rampa, t.u(t) y t.e-tu(t). Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

26. Tabla de parejas de Transformada de Laplace. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

27. 4.4 Transformadas de Laplace Operacionales Multiplicación por una Constante: Suma y Resta: Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

28. Transformadas de Laplace Operacionales Diferenciación: La derivación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación de F(s) por S y luego la resta del valor inicial de f(t), f(0-). La transformada de Laplace de la segunda derivada de f(t) será: Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

29. Transformadas de Laplace Operacionales Integración: La Integración en el dominio del tiempo corresponde dividir S en el dominio de S. Traslación en el dominio de la frecuencia: La traslación en el dominio de la frecuencia corresponde a una multiplicación por una exponencial en el domino del tiempo. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

30. Tabla Transformadas de Laplace operacionales. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

31. Teoremas de valor inicial y valor final. Los Teoremas de valor inicial y valor final permiten determinar a partir de F(s) el comportamiento de f(t) en cero e infinito (). De este modo se pueden comprobar los valores inicial y final de f(t) para ver si concuerdan con el comportamiento conocido del circuito, antes de hallar la Transformada Inversa de F(s). Teorema de valor inicial: Teorema de valor final: Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

32. EjerciciosTransformada de Laplace. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

33. 4.5 Impedancia Z(s) y Admitancia Y(s) • Para realizar el análisis de circuitos, directamente en el dominio de la variable compleja s, con funciones de excitación y respuestas forzadas complejas, es necesario conocer los términos de la impedancia o admitancia expresados en s. • Así: V(s)= Z(s).I(s) Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

34. Impedancia y Admitancia en s,para un Resistor. • En el dominio del tiempo, v(t) = Ri(t). Aplicando la Transformada de Laplace, la razón del voltaje con la corriente es: V(s) = I(s)R Z(s)= V(s)/I(s) = R • La Admitancia es: YL(s)= I(s)/V(s) = 1/R Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

35. Impedancia y Admitancia en s,para el Inductor. • La razón del voltaje con la corriente en el inductor, en el dominio del tiempo es v(t)=L(di(t)/dt). Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene: V(s)= L[s.I(s) – i(0-)] • Considerando que la energía inicial almacenada en el Inductor es nula: V(s)= sL.I(s) ZL(s)= V(s)/I(s) = s.L La Admitancia es: YL(s)= I/V = 1/s.L Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

36. Impedancia ZL(s) para un Inductor. (a) Inductor en el domino del tiempo. (b) Modelo completo para un Inductor en el dominio de la frecuencia, consiste de una impedancia sL y una fuente de voltaje –Li(0-) que incorpora el efecto de condiciones iniciales diferentes de cero en el elemento. (c) Modelo alternativo para el Inductor en el dominio de la frecuencia, consistente de una admitancia 1/sL y una fuente de corriente i(0-)/s. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

37. Impedancia y Admitancia en s,para el Condensador. • La razón del voltaje con la corriente en el inductor, en el dominio del tiempo es i(t)=C(dv(t)/dt). Aplicando la Transformada de Laplace se obtiene: I(s)= C[s.V(s) – v(0-)] • Considerando la condición inicial cero en el capacitor: I(s)= sC.V(s) ZC(s)= V(s)/I(s) = 1/s.C La Admitancia es: YC(s)= I(s)/V(s) = s.C Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

38. Impedancia ZC(s) para un Capacitor. (a) Capacitor en el domino del tiempo. (b) Modelo en el dominio de la frecuencia, de un Capacitor con tensión inicial de v(0-). (c) Modelo equivalente obtenido a través de una transformación de fuente. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

39. Impedancias y Admitancias en la variable compleja s, para R, L y C. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

40. 4.6 Función de Transferencia. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

41. Función de Transferencia. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

42. Propiedades de la Función de Transferencia. • La Función de Transferencia, H(s), es independiente de la entrada, siendo solo función de los elementos del circuito y sus interconexiones. • A partir del conocimiento de la Función de Transferencia y de la función de entrada, es posible determinar la respuesta o salida. • La magnitud de Salida es la magnitud de la entrada multiplicada por la amplitud de la Función de Transferencia. Asimismo, la fase de la salida es la fase de la entrada más la fase de la función de la red. • Si hay dos o más entradas presentes, puede utilizarse Superposición para definir una Función de Transferencia que relacione la salida con cada entrada individual, haciendo cero las otras entradas. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

43. Ejemplo: Función de Transferencia. • Para el circuito RLC en serie de la siguiente figura, obtenga las funciones de Transferencia: • H(s) = I(s)/Vg(s), • H(s) = Vo(s)/Vg(s), Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

44. Solución: Función de Transferencia. (a) (b) Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

45. 4.7 Polos y Ceros Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

46. Función de Transferencia en términos de Polos y Ceros Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

47. Identificación de Polos y Ceros • Los números z1, z2,...,zm se llaman Ceros de la Función de Transferencia por que son valores de s, para los cuales la función vale cero. • Los números p1, p2,...,pn se llaman Polos de la Función de Transferencia por que son valores de s, para los cuales la función se hace infinita. • Los valores de los Polos y Ceros, junto con los valores de los coeficientes constantes an y bm determinan el comportamiento de la Función de Transferencia. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

48. Ejemplo: Función de Transferencia,Polos y Ceros. • Para el circuito de la siguiente figura, determine: a) La expresión numérica correspondiente a la función de Transferencia H(s) = Vo(s)/Ig(s), en forma polinomial. b) La Función de Transferencia en términos de Polos y Ceros. c) Proporcione el valor numérico de cada polo y cero de H(s). Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

49. Solución: Función de Transferencia,Polos y Ceros. (a) (b) (c) Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.

50. Polos y Ceros en el Plano Complejo S. Curso: Circuitos Eléctricos en C.A. Elaborado por: Ing. Fco. Navarro H.