Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido

1. Sistemas Dinâmicos com Campo de Direções Parcialmente Conhecido Laécio Carvalho de Barros (laeciocb@ime.unicamp.br) IMECC - Unicamp

2. Um Esquema de Modelagem EDO Fenômeno Regras Lógica p/ Regras função EDIF ?

3. Metodologia Runge-kutta Sn, In Controle fuzzy 1/S dS/dt 1/I dI/dt Sn+1,In+1 Metodologia Controladores fuzzy e métodos numéricos para equações diferenciais (Runge-Kutta) foram usados para realizar as simulações.

4. Princípio bem aceito Ecologia “Uma população varia a uma taxa proporcional a própria população em cada instante t.”

5. Modelo Clássico de Malthus • Característica do Modelo: A variação é dada pela derivada. Nesse caso tem-se o seguinte PVI: Obs. : crescimento específico (dx/dt) constante.

6. Modelo Clássico de Malthus • Solução do Modelo

7. Lógica Fuzzy: o começo Lofti Zadeh publica (1965) o artigo com as primeiras Idéias sobre conjuntos fuzzy. Principal interesse era armazenar conceitos como “aproximadamente”, “em torno de” etc.

8. Conj. Clássico e conj. Fuzzy

9. Função de pertinência Um subconjunto fuzzy F de U é definido por uma função µ : U  [0, 1], chamada função de pertinência de F . µ (x) indica o grau com que “x” é um elemento de F. Ex.: “em torno de 100” µ(x) =

10. Malthus com regras • Uma primeira tentativa de modelagem para tal princípio poderia nos levar às seguintes regras -Se a população(X) é baixa(B) então a variação é baixa(B); -Se a população(X) é média(M) então a variação é média(M); -Se a população(X) é alta(A) então a variação é alta(A).

11. Conjuntos fuzzy para os antecedentes e conseqüentes das regras de Malthus

12. Método de Mamdani

13. Solução p-fuzzy

14. Modelo presa-predador de Lotka-Volterra O modelo presa-predador clássico de Lotka-Volterra, que se tornou um paradigma da Biomatemática, pressupõe que: • 1- Tanto as presas como os predadores estão distribuídos uniformemente num mesmo habitat, ou seja, todos os predadores têm a mesma chance de encontrar cada presa; • 2- O encontro entre os indivíduos das duas espécies seja ao acaso, a uma taxa proporcional ao tamanho das duas populações; • 3- A população de presas x(t) cresce exponencialmente na ausência de predadores (crescimento ilimitado por escassez de predadores); • 4- A população de predadores y(t) decresce exponencialmente na ausência de presas (decrescimento por escassez de alimento); • 5- A população de predadores é favorecida pela abundância de presas; • 6- A população de presas é desfavorecida pelo aumento de predadores.

15. Modelo Clássico do tipo Presa-Predador de Lotka-Volterra • Estas seis hipóteses são resumidas nas equações abaixo, denominadas Modelo de Lotka-Volterra:

16. Interpretação para parâmetros • a: taxa de crescimento da população de presas na ausência de predadores; • (α/β): a eficiência de predação, isto é, a eficiência de conversão de uma unidade de massa de presas em uma unidade de massa de predadores, já que α representa a proporção de sucesso dos ataques dos predadores e β a taxa de conversão de biomassa das presas em predadores; • b : taxa de mortalidade de predadores na ausência de presas; Obs.:Os pontos críticos do sistema são: (0,0), um ponto de sela instável, e ((b/β),(a/α)) que é um centro estável.

17. Plano de fase do modelo clássico de Lotka-Volterra • Ciclos Ecológicos

18. Re-interpretando as seis hipóteses comentadas acima: A hipótese "1" significa apenas que, dentro de cada espécie, o ambiente não privilegia nenhum indivíduo. Portanto é natural que as variáveis de estado sejam apenas quantidades; "2" significa apenas que há interação entre as espécies; "3" indica que não há auto-inibição nas presas, isto é, para um dado número de predadores, o crescimento específico das presas é constante, podendo ser positivo ou negativo; "4" como em "3", espera-se que, para um dado número de presas, o crescimento específico dos predadores seja constante, podendo ser positivo ou negativo; "5" apenas indica que o crescimento específico dos predadores aumenta com o número de presas; "6" significa que o crescimento específico das presas diminui com o aumento dos predadores. Resumidamente, as hipótese de 3 a 6 indicam que, dada uma certa quantidade de uma espécie, a outra tem crescimento (decrescimento) malthusiano.

19. Arquitetura para modelo p-fuzzy de Lotka-Volterra

20. Representação gráfica da regras

21. Base de Regras para Lotka-Volterra • Se X é A1 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 • Se X é A2 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 • Se X é A3 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 • Se X é A4 e Y é B1 então (1/X)((dX)/(dt)) é P2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 • Se X é A1 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 • Se X é A2 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 • Se X é A3 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 • Se X é A4 e Y é B2 então (1/X)((dX)/(dt)) é P1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 • Se X é A1 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 • Se X é A2 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 • Se X é A3 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 • Se X é A4 e Y é B3 então (1/X)((dX)/(dt)) é N1 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2 • Se X é A1 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N2 • Se X é A2 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é N1 • Se X é A3 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P1 • Se X é A4 e Y é B4 então (1/X)((dX)/(dt)) é N2 e (1/Y)((dY)/(dt)) é P2

22. Soluções para o p-fuzzy Lotka-Volterra • Em cada instante t, o número de presas e de predadores é dado pelas fórmulas

23. Estimativas • Assim, os valores de x(t) e y(t) são estimados pelas fórmulas onde e são as saídas do controlador correspondentes às entradas e .

24. Contingentes populacionais e plano de fase para o p-fuzzy Lotka-Volterra