ESPAD III * TC 19

1. ESPAD III * TC 19 Teorema de Pitágoras

2. Teorema de Pitágoras. • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. • a2 = b2 + c2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. a c b

3. Calculo de la hipotenusa • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 32 + 42 • a2 = 9 + 16 • a2 = 25  Hipotensa a = √25 = 5 cm • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 52 + 122 • a2 = 25 + 144 • a2 = 160  Hipotensa a = √169 = 13 cm a c b

4. Calculo de la hipotenusa • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 8 y 15 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 82 + 152 • a2 = 64 + 225 • a2 = 278  Hipotensa a = √289 = 17 cm • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 7 y 24 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 72 + 242 • a2 = 49 + 576 • a2 = 625  Hipotensa a = √625= 25 cm a c b

5. Calculo de los catetos • En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 102 – 82 • c2 = 100 – 64 • c2 = 36  Cateto c = √36 = 6 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y la hipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 292 – 212 • c2 = 841 – 441 • c2 = 400  Cateto c = √400 = 20 cm a c b

6. Calculo de los catetos • En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 412 – 92 • c2 = 1681 – 81 • c2 = 1600  Cateto c = √1600 = 40 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 372 – 352 • c2 = 1369 – 1225 • c2 = 144  Cateto c = √144 = 12 cm a c b

7. Reconocimiento de triángulos • Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. • Si a2 = b2 + c2 El triángulo es RECTÁNGULO. • Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. • Si a2 < b2 + c2 El triángulo es ACUTÁNGULO. • Los tres ángulos son menores de 90º. • Si a2 > b2 + c2 El triángulo es OBTUSÁNGULO. • Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b

8. Ejercicios • 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 102 = 72 + 52 100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74 • Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. • 2.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 612 = 602 + 112 3721 = 3600 + 121  • Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. • 3.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 122 = 112 + 102 144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121 • Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo.

9. Problemas de Pitágoras • Ejemplo_1 • Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. • Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: • a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2  • h2 = 100 – 64  • h2 = 36  h = 6 dm debe medir. • La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm • Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. 10 cm h 8 cm

10. Problemas de Pitágoras • Ejemplo_2 • Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. • ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. • Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: • a2 = b2 + c2  132 = 52 + h2  • 169= 25 + h2  • h2 = 169 – 25 = 144 • h = √144 = 12 m alcanza la escalera. • La otra solución, - 12 m , no vale. 13 m h 5 m

11. La cometa • Ejemplo 3 • En la cometa de la figura (trapezoide) nos dan la medida troceada de la diagonal mayor (6 + 15 = 21 dm) y el lado mayor (L=17 dm). • Queremos saber el perímetro y el área para poder construirla. • Calculamos la diagonal menor, d. • Por el T. de Pitágoras • d/2 = √(172 – 152) = √(289 – 225) = • = √64 = 8  d = 2.8 = 16 dm • Calculamos el lado menor, l. • Por el T. de Pitágoras • l = √(82 + 62) = √100 = 10 dm 17 10 8 15 6 8 10 17 • El perímetro será: • P=2.10+2.17 = 20+34 = 54 dm • El área será: • A=D.d/2 = 21.16 / 2 = 168 dm2

12. T. DE PITÁGORAS GENERALIZADO • En un triángulo cualquiera el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. A • Por Pitágoras, en el triángulo AHC, tenemos: • b2 = h2 + n2 • Como n = a – m • y h2 = c2 - m2 en el triángulo AHB • Resulta: • b2 = c2 - m2 + (a – m)2 • Operando queda: • b2 = c2 - m2 + a2 – 2.a.m + m2 • b2 = c2 + a2 – 2.a.m b c h H m n B a C

13. TEOREMA DE PITÁGORAS GENERALIZADO (y II) • En un triángulo cualquiera el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. A • Por Pitágoras, en el triángulo AHC, tenemos: • b2 = h2 + (a + m)2 • Como h2 = c2 - m2 en el triángulo AHB • Resulta: • b2 = c2 - m2 + (a + m)2 • Operando queda: • b2 = c2 - m2 + a2 + 2.a.m + m2 • b2 = c2 + a2 + 2.a.m b h c m n H a C B