1 / 21

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z. Μετασχηματισμός - z. Ιδιότητες Μετασχηματισμού -z. Γραμμικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιμάκωση στο Επίπεδο- z Παραγώγιση Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου Συσχέτιση Συζυγές Σήμα

amelie
Download Presentation

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ -Z

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ-Z

  2. Μετασχηματισμός - z Ιδιότητες Μετασχηματισμού-z • Γραμμικότητα • Χρονική Ολίσθηση • Κλιμάκωση στο Επίπεδο-z • Παραγώγιση • Συνέλιξη στο Πεδίο του Χρόνου • Κατοπτρισμός στο Πεδίο του Χρόνου • Συσχέτιση • Συζυγές Σήμα • Συνέλιξη στο Μιγαδικό Επίπεδο

  3. Μετασχηματισμός - z Ιδιότητες Μονόπλευρου Μετασχηματισμού-z • Αριστερή Ολίσθηση • Δεξιά Ολίσθηση • Θεώρημα Αρχικής Τιμής • Θεώρημα Τελικής Τιμής • Μετασχηματισμός-zΠεριοδικών Σημάτων

  4. Μετασχηματισμός - z • Αναλυτικές Συναρτήσεις • Συνθήκες Cauchy-Riemann • Αρμονικές Συναρτήσεις • Αναλυτικές Συναρτήσεις και Δυναμοσειρές

  5. Μετασχηματισμός - z Αναλυτικές Συναρτήσεις-Θεώρημα του Cauchy Έστω f(z) μία αναλυτική συνάρτηση στο δίσκο Β(α, R) & έστω γ μία κλειστή καμπύλη που κείται εντός του δίσκου. Τότε: Im{z} Β(α, R) Re{z}

  6. Μετασχηματισμός - z Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης Μια Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο σημείο z=α ανη f(z)να ορίζεται και να είναι αναλυτική στον κύκλο Β(α, R)-{α} αλλά όχι στον Β(α, R). Im{z} Παραδείγματα Β(α, R) Re{z}

  7. Μετασχηματισμός - z Απαλειφόμενα Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένα απαλείψιμο σημείο ανωμαλίας αν και μόνο αν:

  8. Μετασχηματισμός - z Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει μία απομονωμένη ανωμαλία στο ση-μείο z=α, τότε το σημείο z=α είναι ένας πόλος της f() αν : 1. 2. Αν η Μιγαδική Συνάρτηση f(z) έχει ένα πόλο στο σημείο z=α και mείναιο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο το ακόλουθο όριο : είναι πεπερασμένο, τότε θα λέμε ότι η f(z)έχει ένα πόλο τάξης m στοz=a

  9. Μετασχηματισμός - z Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι H Μιγαδική Συνάρτηση f(z) μπορεί να γραφεί ως όπου g(z) η ακόλουθη αναλυτική συνάρτηση:

  10. Μετασχηματισμός - z Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Πόλοι Το τμήμα: της g(z) ονομάζεται ανώμαλο ή κύριο τμήμα της f(z) στοz=α. Υπολογισμός των Α-(m-k), k=0,1,…,m-1

  11. Μετασχηματισμός - z Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης -Δυναμοσειρές είδαμε ότι: Αν Άρα: και:

  12. Μετασχηματισμός - z Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Στροφικός Αριθμός ή Δείκτης Καμπύλης ως προς σημείο Ο n(C,α) είναι ΑΚΕΡΑΙΟΣ!! Θεώρημα Cauchy

  13. Μετασχηματισμός - z Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείοα, μίας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου-z δηλαδή: Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο ατην παρακάτω ποσότητα:

  14. Μετασχηματισμός - z Ολοκληρωτικά Υπόλοιπά Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική συνάρτηση είναι αναλυτική συνάρτηση εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος μεμονωμένων ανώ-μαλων σημείων z1, z2,…zNκαι έστω καμπύλη γ γ

  15. Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ανάπτυγμα σε Απλά Κλάσματα Αν R(z) είναι μια ρητή μιγαδική συνάρτηση με Ν πόλους στα σημεία αi, i=1,2,…Ν, τότε: Όπου Si(z) το ανώμαλο τμήμα της ρητής μιγαδικής συνάρτησης R(z) στο z=αi και P(z) Πολυώνυμο.

  16. Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ουσιώδη Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης Αν μια απομονωμένη ανωμαλία δεν είναι ούτε απαλείψιμη ούτε πόλος, θα λέμε ότι είναι ουσιώδες ανώμαλο σημείο της συνάρτησης.

  17. Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ανώμαλα Σημεία Μιγαδικής Συνάρτησης- Σύνοψη Έστω z=α μία απομονωμένη ανωμαλία της μιγαδικής συνάρτησης f(z) και έστω η σειρά Laurent. Τότε: • τοz=α είναι ένα απαλείψιμο ανώμαλο σημείο αν και μόνο αν • τοz=α είναι ένας πόλος τάξης m αν και μόνο αν& • τοz=α είναι ένα ουσιώδες ανώμαλο σημείο αν για μια απειρία αρνητικών τιμών του n.

  18. Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Έστω κλειστή καμπύλη C η οποία περικλείει Ν πόλους(στασημεία zi ,i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης και ανήκει εξ ολοκλήρου στην Περιοχή Σύγκλισης της μιγαδικής συνάρτησης, τότε: Im{z} C (k) 0 Re{z}

  19. Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Ολοκληρωτικό Υπόλοιπο Μιγαδικής Συνάρτησης Ας υποθέσουμε ότι η μιγαδική ρητή συνάρτηση έχει ένα πόλο, πολλαπλότητας m, στο σημείοα, δηλαδή: Τότε ορίζουμε σαν ολοκληρωτικό υπόλοιπο της στο σημείο ατην παρακάτω ποσότητα:

  20. Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων Αν υποθέσουμε ότι μία κλειστή καμπύλη C, που ανήκει στην περιοχή σύγκλισης του περικλείει Ν πόλους(στασημεία zi ,i=0,1,…N-1), της μιγαδικής ρητής συνάρτησης , τότε:

  21. Αντίστροφος Μετασχηματισμός - z Άλλες Μέθοδοι Υπολογισμού • Μέθοδος Αναπτύγματος σε Δυναμοσειρά

More Related