Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów) ‏

Marcin BogusiakPaweł Pilewski Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów)‏

Plan wykładu Co to jest identyfikacja systemu? Wiedza eksperymentalna. Określenie klasy modelu. Określenie parametrów modelu. Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę eksperymentalną. Wskaźnik jakości. Przykład praktyczny. Przykład wyznaczenia modelu obiektu. Algorytm identyfikacji - przykład. Główne problemy, które możemy napotkać. 2

Co to jest identyfikacja systemu? • Identyfikacja systemu - to wyznaczanie modelu matematycznego systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu (wiedza eksperta, wiedza eksperymentalna)‏ 3

Wiedza eksperymentalna • Wiedza eksperymentalna - wiedza o obiekcie (systemie) uzyskana na podstawie szeregu przeprowadzonych obserwacji i pomiarów. 4

Określenie klasy modelu • Wyniki szeregu przeprowadzonych eksperymentów dają możliwość określenia klasy modelu. Na poniższych wykresach prezentowane są przykładowe klasy wielomianowe. 5

Określenie parametru modelu • Załóżmy, że wybraliśy klasę modeli liniowych, zatem szukamy parametru "α" • Parametr ten wyznaczamy w oparciu o wiedzę eksperymentalną 6

Określenie parametru modelu - cd • Typowy oparty jest o metodę najmniejszych kwadratów. • Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć parametry modelu, gwarantująca wynik o najmniejszej sumie kwadratów błędów. • Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic kwadratów odległości prognozowanych i obserwowanych wielkości wyjścia dla ustalonych wejść. 7

Określenie parametru modelu - cd • Zatem z rodziny prostych wybieramy tę prostą o parametrze α*, która ma najlepszy wskaźnik. • Który wskaźnik jest najlepszy? - ten o najmniejszej wartości Q 8

Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - SZUKANE • Wybór najlepszego modelu w klasie • Dobór parametru modelu w taki sposób, aby wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy. 9

Modelowanie systemu w opaciuo wiedzę eksperymentalną - DANE • Wiedza eksperymentalna • Klasa modelu, np. • Wskaźnik jakości identyfikacji 10

Wskaźnik jakości • Porównywanie wartości rzeczywistych (yrz) z prognozowalnymi wartościami z modelu (ym). 11

Przykład praktyczny - model czasowy • Wyznaczenie modelu czasowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 12

Przykład praktyczny - model kosztowy • Wyznaczenie modelu kosztowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 13

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dane: wyniki z przeprowadzonego eksperymentu, klasa modelu i wskaźnik jakości (kryterium). 14

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Na początku rozważmy trzy możliwe parametry. 15

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Otrzymane dla modelu y=1u wyniki zapisujemy w tabeli. 16

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dla modelu y=2u 17

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dla modelu y=1,5u 18

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wniosek jest taki, że z trzech modeli najlepszy okazał się model • Jednak jest on najlepszy tylko z trzech rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy model dla całej dziedziny ? • Idea: - Za pomocą algorytmu identyfikacji. 19

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Dla klasy modeli SISO, liniowych względem parametrów. • Dane: 20

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Wyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 22

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Algorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy modeli liniowych względem parametrów. • Szczególny przypadek dla , czyli modeli liniowych względem parametru i względem wejścia. 23

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Zastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w naszym przykładzie: • Zatem najlepszy model dla badanego przykładu to: 24

Przykład wyznaczenia modelu obiektu • Sprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić się, że jest on lepszy od tych wyliczanych poprzednio. 25

Czy to już jest rozwiązanie optymalne? • Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla danej serii pomiarowej i danej klasy modeli. • Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu "lepszego". • A co z innymi klasami modeli, może dla nich uzyskamy "lepszy" model? 26

Czy to już jest rozwiązanie optymalne? • Badamy zatem klasę y=αu2 dla tych samych danych i stosując Algorytm Identyfikacji (1) wyznaczmy optymalny parametr. 27

Wyznaczenie wskaźnika dla drugiej badanej klasy modeli • Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie (y=0,35u2). • Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla najlepszego modelu "kwadratowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 28

Rozważamy kolejną klasę modeli • Badamy klasę i wyznaczmy optymalny parametr • Następnym krokiem tak, jak w przypadku poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika jakości. 29

Wyznaczenie wskaźnika dla trzeciej badanej klasy modeli • Obliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie ( ). • Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 30

Prognozowanie liczby ludności - Matlab Środowisko Matlab oferuje wiele gotowych pakietów służących do modelowania obiektów rzeczywistych Na podstawie danych z lat 1990-2000, dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy model i prognozuje wskaźnik demograficzny w kolejnych latach 31

Prognozowanie liczby ludności - Matlab W tym celu Matlab dokonuje aproksymacji danych wejściowych wielomianem Stopień wielomianu można zmieniać, aby aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane wejściowe Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną liczbę ludności w 2010r. 32

Prognozowanie liczby ludności - Matlab Wynik można zilustrować na wykresie. Model podaje 312691400 jako przewidywaną liczbę ludności USA w roku 2010 33

Dekompozycja modelu MIMO na MISO Układ wielowyjściowy można potraktować jako równoległe połączenia n obiektów jednowyjściowych 34

Dekompozycja modelu MIMO na MISO Dzięki takiej dekompozycji możemy kolejno identyfikować poszczególne obiekty jednowyjściowe W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji może być wykorzystana ta sama seria pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla wszystkich zadań warunek identyfikalności)‏ 35

Główne problemy, które możemy napotkać • Ważne jest prawidłowe określenie klasy modelu, poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy eksperta i empirycznej. • Trudne wyznaczenie parametru dla "skomplikowanych" (np. niewielomianowych) klas modeli. • Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy głównie do interpretacji uzyskanego wyniku. • Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo). 36

Trudniejsze zagadnienia dla bardziej dociekliwych • Modele liniowe względem parametrów (m parametrów). • Modele - ważony wskaźnik jakości, a w konsekwencji algorytm identyfikacji z uwzględnieniem wag. • Planowanie aktywnych eksperymentów spełniających warunek identyfikowalności. 37

Podsumowanie • Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza eksperymentalna. • Określenie klasy modelu. • Określenie parametru modelu. • Algorytm identyfikacji. • Przykład przebiegu procesu identyfikacji. 38

Literatura • Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i problemów z teorii identyfikacji, eksperymentu i rozpoznawania"Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991 • Pod red. Ewy Bylińskiej"Identyfikacja procesów"Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997 • Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja systemów"Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997 39

Koniec Dziękujemy za uwagę

Modelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów) ‏