Aula Teórica 8

1. Aula Teórica 8 Difusividade, Viscosidade, Fluxo difusivo e Tensões de corte e Equação de Evolução

2. Taxa de Acumulação e Equação de Evolução • A taxa de variação de uma propriedade num sistema material de dimensões infinitesimais é dada pela derivada total. • Porque variam as propriedades? • Pelas fontes e poços ou porque a propriedade pode deslocar-se por meios diferentes da velocidade (e.g. difusão, radiação), • Pelas fontes ou poços descritas nos princípios de conservação (e.g. Forças no caso da quantidade de movimento).

3. Equação de evolução • A derivada convectiva resulta da divergência do fluxo convectivo (ou advectivo). • Afinal o que é a difusão? É a consequência da definição de velocidade.

4. Cx Cx+∆x Definição de velocidade • A figura representa moléculas de dois fluidos em repouso. A velocidade mede o volume de moléculas que passa por unidade de área. • Se a velocidade for nula, o volume que passa num sentido é igual ao que passa no sentido contrário.

5. Difusão • Mas as moléculas têm movimento browniano e por isso - num fluido - estão sempre a mudar de posição relativa. • Se as moléculas que estão de um lado da superfície forem iguais às que estão do outro lado, o saldo é estatisticamente nulo. • Se a concentração for diferente, então existirá um saldo com um fluxo resultante orientado da concentração maior para a menor.

6. Fluxo difusivo por unidade de área Na direcção “x”:

7. Equação de evolução Ou: Porque motivo a equação da continuidade não tem fluxo difusivo?

8. O caso da quantidade de Movimento A taxa de variação da quantidade de movimento é igual ao somatório das forças aplicadas e por isso o fluxo difusivo pode ser visto como uma força: É a força de atrito A difusividade de quantidade de movimento chama-se viscosidade.

9. Viscosidade • A força de atrito aparece quando as moléculas que passam de um lado para o outro da superfície têm velocidade diferente. • O gradiente que gera o atrito é por isso o gradiente de velocidade. • Existindo gradiente de velocidade, as moléculas têm que ser aceleradas ou desaceleradas. Como consequência vão alterar a sua quantidade de movimento. A variação da quantidade de movimento implica a existência de aceleração e a foça vai ser proporcional à massa. Por unidade de volume teremos:

10. Síntese • A tensão de corte é o fluxo difusivo de quantidade de movimento. • A tensão de corte é tangente à velocidade e origina um fluxo de quantidade de movimento perpendicular à velocidade, no sentido contrário do gradiente de velocidade. • A velocidade tem 3 componentes e por isso o seu gradiente tem 9 (cada uma das 3 componentes pode variar nas 3 direcções do espaço).

11. O tensor das tensões • A tensão de corte é por isso representada por um tensor com 9 componentes. • A componente “i” da velocidade pode variar em qualquer das direcções “j” do espaço, dando origem a 3 forças. O conjunto das tensões é o tensor:

12. Pensemos num volume infinitesimal com a forma de um cubo e na componente “1” da velocidade (representada a verde). • Esta componente pode varia na direcção “1”, na direcção “2” e na direcção “3”, dando origem respectivamente às tensões

13. Estas tensões actuam nas faces do cubo com normais nas direcções “1”, “2” e “3”. Existem duas faces para cada uma das direcções. A resultante das forças é a diferença entre as tensões que actuam em faces correspondentes, que por unidade de volume dá: • A convenção de sinais é: o que entra é positivo.

14. Como determinar as tensões? • São proporcionais ao gradiente de velocidade, • Não pode haver efeito de pressão (a força é tangencial): • E o momento resultante sobre um volume de controlo tem que ser nulo (caso contrário teria aceleração angular).

15. Caso geral O sistema de tensões segundo x criaria um binário. Para o equilibrar tem que haver outro binário equilibrado por tensões iguais segundo y.

16. Expressão geral da Tensão de corte Quando i=j esta expressão dá a divergência da velocidade, que se o fluido for compressível tem que ser anulada. A expressão geral fica: