UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA

1. UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Pós-Graduação em Educação Matemática Curso de Matemática Discreta – parte 1 Prof. Ilydio Pereira de Sá Material Disponível em: www.magiadamatematica.com

2. “Se teus projetos têm prazo de um ano, semeia trigo. Se teus projetos têm prazo de dez anos, planta árvores frutíferas. Se teus projetos têm prazo de um século, então educa o povo”. Kuan Tseu

3. 1) Introdução: O que é Matemática Discreta? A matemática discreta, também chamada matemática finita, é o estudo das estruturas matemáticas que são fundamentalmente discretas, ou sejam, não são compatíveis com a noção de continuidade. A maior parte dos objetos estudados na matemática discreta são conjuntos contáveis, como o conjunto dos números inteiros. A matemática discreta tornou-se popular nas últimas décadas devido às suas aplicações na ciência da computação. Conceitos e notações da matemática discreta são úteis para o estudo ou a expressão de objetos ou problemas com algoritmos e linguagens de programação.

4. Vejamos alguns dos tópicos da área da matemática discreta: A lógica e o estudo do raciocínio lógico; Técnicas de demonstração; Indução matemática; Teoria dos Conjuntos; Funções geradoras; Relações de Recorrência; Teoria dos Números e Criptografia; Matemática Combinatória; Teoria dos grafos; Números Binomiais e Binômio de Newton Cálculo de probabilidades; Algoritmos; Ao longo de nosso curso, vários desses tópicos serão abordados com prioridade para os mais importantes na área de licenciatura, como: técnicas de demonstração, teoria dos números (aplicações da modularidade e criptografia), matemática combinatória e cálculo de probabilidades.

5. Podemos ainda destacar como modernas aplicações da Matemática Discreta: • Teoria dos jogos; • Teoria das filas; • Teoria dos grafos; • Programação linear; • Criptografia.

6. 2)Elementos Básicos de Teoria da Dedução 2.1) Introdução: A Matemática divide-se geralmente em partes chamadas teorias matemáticas. O desenvolvimento de uma qualquer daquelas teorias é constituído por três etapas fundamentais: (1) a construção dos objetos matemáticos da teoria; (2) a formação de relações entre esses objetos; (3) a pesquisa daquelas relações que são verdadeiras, ou seja, a demonstração de teoremas. Objetos matemáticos são, por exemplo, os números, as funções ou as figuras geométricas; a Teoria dos Números, a Análise Matemática e a Geometria são, respectivamente, as teorias matemáticas que os estudam.

7. As relações entre os objetos matemáticos são afirmações (ou proposições ou sentenças), verdadeiras ou falsas, que podem enunciar-se a seu respeito e que, de algum modo, correspondem a propriedades hipotéticas dos objetos reais que eles modelam. Para provar os seus resultados a matemática usa um determinado processo de raciocínio que se baseia na Lógica; existe uma interligação profunda entre a Matemática e a Lógica. Deve observar-se desde já que, embora existam outros tipos de Lógica, em nosso curso o termo deve entender-se no sentido da chamada Lógica bivalente que adota como regras fundamentais de pensamento os dois princípios seguintes: Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa (ao mesmo tempo). Princípio do terceiro excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa (isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro).

8. A matemática, como qualquer outra ciência, utiliza a sua linguagem própria constituída por termos – palavras ou símbolos – e proposições que são combinações de termos de acordo com determinadas regras. Numa teoria matemática qualquer podem distinguir-se dois tipos de termos: (1) termos lógicos, que não são específicos daquela teoria e fazem parte da linguagem matemática geral; (2) termos específicos da teoria que se está sendo considerada. Termos lógicos como, por exemplo, “variável”, “relação”, etc. são comuns a todas as teorias matemáticas. Pelo contrário, “ponto”, “reta” e “ângulo”, por exemplo, são termos específicos da geometria, enquanto que “número”, “<”, “adição” são termos da teoria dos números, etc. Uma relação entre objetos pode enunciar-se, por exemplo, sob a forma de uma implicação “p  q”, tanto em geometria como em teoria dos números; os termos específicos que aparecem em “p” e “q” são, no entanto, distintos quando os objetos pertencem à geometria ou à teoria dos números. Assim, por exemplo, se tivermos as proposições:

9. p: “A,B,C são três pontos não colineares” q: “existe um e um só plano que passa por A,B e C” É claro que, nesse caso, a implicação “p  q” terá um sentido geométrico, mas, se tivermos: p: “2 ´e primo” q: “22 − 1 ´e primo” a implicação “p  q” tem significado em teoria dos números. Os termos lógicos dão a forma a uma teoria matemática; os termos específicos dão-lhe o conteúdo. O papel principal da lógica em matemática é o de comunicar as idéias de forma precisa evitando erros de raciocínio.

10. 2.2) Conjecturas e Teoremas Uma das etapas fundamentais no desenvolvimento de uma teoria matemática é a pesquisa de relações verdadeiras entre os objetos da teoria. Ou seja, dada uma afirmação relativa aos objetos da teoria, é necessário demonstrar a sua veracidade ou falsidade; só depois deste processo é que tal afirmação, sendo demonstrada a sua veracidade, adquire o “status” de teorema. Chama-se demonstração formal a uma seqüência finita p1, p2, . . . , pn de proposições cada uma das quais ou é um axioma (proposição cuja veracidade se admite à priori) ou resulta de proposições anteriores por regras de inferência (que são formas muito simples e freqüentes de argumentações válidas, tradicionalmente designadas por silogismos). Cada uma das proposições pj , 1 ≤ j ≤ n, é designada por passo da demonstração. Neste sentido, teorema será o último passo de uma dada demonstração, isto é, demonstrar um teorema consiste na realização de uma demonstração cujo último passo é o teorema em questão.

11. (adaptado de: Tópicos de Matemática Discreta - Texto de Apoio - 2005/2006 – José de Souza Pinto – Universidade de Aveiro – Apostila) As demonstrações formais raramente são praticadas fora dos livros de Lógica. Como uma demonstração formal inclui todos os passos possíveis (nada é deixado por conta da imaginação) então a demonstração formal de um teorema, ainda que simples, é normalmente longa (e cansativa). Assim, fora da Lógica raramente se fazem demonstração formais rigorosas: o que em geral se faz é estabelecer os passos fundamentais da demonstração suprimindo todos os detalhes lógicos que, muitas vezes, não ajudam a esclarecer a verdadeira natureza da proposição que está sendo estudada. Estes procedimentos designar-se-ão simplesmente por demonstrações (ou demonstrações matemáticas) por contraposição a demonstrações formais. Uma afirmação ainda não demonstrada é o que denominamos de conjectura.

12. Recomendamos a leitura do interessante livro “Tio Petros e a Conjectura de Goldbach”, de Apóstolos Doxiadis. Exemplo 1: Uma conjectura famosa, ainda não demonstrada até hoje, é a conjectura de Goldbach. Goldbach conjecturou – o que ainda não foi demonstrado se falso ou verdadeiro – que qualquer número par superior a 2 é a soma de dois números primos. Este é um dos famosos problemas de matemática, propostos por Hilbert e, até hoje, sem solução. Existe um prêmio de US$ 1 000 000, para quem resolvê-lo. Exemplificando a Conjectura de Goldbach: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 5 + 5 12 = 5 + 7 e assim por diante. No link http://nautilus.fis.uc.pt/mn/goldbach/ você vai encontrar um interessante jogo sobre essa conjectura

13. Essa conjectura foi sugerida por Goldbach numa carta que escreveu a Euler, datada de 7 de junho de 1742. E desde então inúmeros matemáticos tentam demonstrá-la, mas ainda sem êxito até os dias de hoje. Atividade 1. Na tabela que se segue, para cada número natural n de 2 a 10, calculou-se o número 2n − 1 obtendo-se os seguintes resultados:

14. Conjectura : Dado um número inteiro n superior a 1, se n for primo então o número 2n − 1 é primo. Será tal conjectura verdadeira? Essa conjectura pode ser refutada imediatamente: para tal é suficiente continuar a desenvolver a tabela para valores de n superiores a 10. Assim, para n = 11 teremos 211 − 1 = 2047 = 23 × 89, ou seja, um número composto. Assim, conseguimos um chamado contra-exemplo, que derruba a conjectura (11 é primo e o resultado de 211 − 1 é composto). Um simples contra-exemplo é suficiente para mostrar que a conjectura é falsa. Se continuássemos a completar a tabela, outros contra-exemplos apareceriam, é claro. Caso não encontrássemos logo o contra-exemplo poderíamos ser levados a pensar que a conjectura seria verdadeira e, nesse caso, teríamos que fazer, de alguma forma, a sua demonstração.

15. Conjectura : Dado um número inteiro n superior a 1, se n for composto, então o número 2n − 1 é composto. Será tal conjectura verdadeira? Resposta: Sim Vejamos a demonstração: Já que n é composto, então existem inteiros positivos a e b, maiores que 1, tais que a e b são menores que n e n = a.b. Façamos então: Vejamos o que gera o produto x.y

16. A decomposição que fizemos nos mostra que 2n − 1 pode ser decomposto num produto de dois números inteiros e positivos, x e y, maiores que 1, provando que 2n − 1 é um número composto. Assim sento, a conjectura provada adquire “status” de Teorema, que pode ser enunciado: “Dado um número inteiro n, superior a 1, se n é composto, então 2n − 1 é também um número composto.” OBSERVAÇÃO: Pelo que vimos na primeira conjectura, o fato de n ser um número primo não garante que 2n − 1 seja também primo. Mas existem alguns casos, como vimos, que n primo pode gerar um resultado de 2n − 1 que também seja primo. Nesse caso, os números primos assim obtidos são denominados “primos de Mersenne”. Assim: 3, 7, 31, ....são primos de Mersenne, mas 5, por exemplo não é um número primo de Mersenne.

17. Marin Mersenne (1588 – 1648) foi um frei franciscano francês que dedicou boa parte de sua vida ao estudo da Matemática, escrevendo livros e contribuindo para o desenvolvimento de teorias através com matemáticos da época, como Fermat. Até 23 de agosto de 2008 eram conhecidos 46 números primos de Mersenne e o maior deles era constituído de 12 978 189 algarismos. E qual a importância desse tema? É que atualmente, para as mensagens da Internet e para a segurança e sigilo dos dados transmitidos é usada a criptografia onde, muitas vezes, usa-se chaves constituídas de números primos de Mersenne com milhares de algarismos.

18. Um exemplo interessante envolvendo números primos é a demonstração criativa e simples encontrada por Euclides de Alexandria (século II a.C), em um de seus 13 volumes de sua famosa obra “Os Elementos” para demonstrar que o conjunto dos números primos era INFINITO. Euclides usou o método de “redução ao absurdo” e sua demonstração é considerada uma das mais belas de todos os tempos. Vejamos como foi esta demonstração: Vamos partir da suposição de que existe um número finito de números primos. Se isso for verdade, então deve existir um último número primo. Seja x este número. A seqüência de números primos até o x é a seguinte:

19. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... x (SUPOSTO ÚLTIMO) Depois disto Euclides imaginou um número composto muito grande formado pelo produto de todos os números primos, do primeiro ao “último”, ou seja: Verificamos que tal número, assim construído, seria um número composto, já que seria divisível por 2, por 3, por 5, por 7, ... Euclides imaginou ainda um outro número, maior do que N, e é claro que maior do que x, definido por M = N + 1. É claro que este número M não é divisível por qualquer dos números primos de 1 até x, pois deixaria resto 1 ao ser dividido por 2, por 3, por 5, por 7, .....por x (que supostamente seria o “último” primo). Temos então aqui duas possibilidades: ou M é primo (e maior que x) ou é composto e seus fatores primos são maiores que x. Em ambos os casos temos uma contradição com o fato de x ser o último número primo, o que comprova a nossa hipótese.

20. Assim, de forma relativamente simples e bastante criativa, Euclides provou, por redução ao absurdo, que o conjunto dos números primos é infinito. Para alunos do Ensino Fundamental ou Médio, seria interessante completar a demonstração com alguns exemplos: Para x = 7, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 + 1 = 211 (primo) Para x = 11, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 + 1 = 2311 (primo) Para x = 13, teríamos: M = 2 . 3. 5. 7 . 11 . 13 + 1 = 30031 (composto). Veja, 59 x 509 = 30031. Com esses exemplos, o aluno perceberia que a expressão criada por Euclides pode gerar números primos (maiores que x) ou números compostos que possuem fatores primos também maiores que x.

21. Se p é par, então p = 2 k, com k inteiro. Logo, como p2 = 2. q2, teremos: 4 k2 = 2 q2 ou q2 = 2 k2 ou ainda que q é também par. Aqui temos uma contradição pois como podemos ter p par e também q par, se pela hipótese eram números primos entre si? Dessa forma, temos provado que é um número irracional. Outro exemplo clássico, de demonstração por redução ao absurdo é a demonstração de queé um número irracional. Vamos admitir que seja um número racional. Assim, será um número da forma p/q, com q  0 e p,q primos entre si. Se = p/q, temos que 2 = p2 / q2 ou seja, p2 = 2 . q2 ou ainda p2 é par o que acarreta que p é par.

22. 2.3) Método de Indução Matemática Nas ciências em geral é bastante comum tirarmos conclusões de caráter mais geral a partir da observação de alguns casos particulares. Na matemática esse tipo de indução se mostra falho e até perigoso. Podemos ter uma propriedade que é válida para diversos valores de uma variável, mas que não vale para algum outro valor. Veja, por exemplo, a função f(n) = n² - n + 41, com domínio natural. Se calcularmos alguns valores numéricos, teremos: f(0) = 41 (número primo); f(1) = 41 (primo); f(2) = 43 (primo); f(3) = 47 (primo); ....f(40) = 1601 (primo) Aqui alguém poderia inferir que tal função só gera números primos, o que seria precipitado, pois f(41) = 412 que é um número composto. Para evitar tal tipo de erro é que usamos o método da indução matemática.

23. O Método de Indução Matemática é um método de demonstração elaborado com base no Princípio de Indução Finita, freqüentemente utilizado para provar que certas propriedades são verdadeiras para todos os números naturais. Se queremos demonstrar que uma determinada propriedade é valida em algum subconjunto do conjunto dos números naturais, podemos começar mostrando que a propriedade é válida para o primeiro elemento do conjunto. Em seguida admitimos que a regra é válida para um determinado valor n = k e, a partir desse fato, temos que mostrar que será também válida para o elemento k + 1. Logo, se vale para n = 1, valerá para n = 2, se vale para n = 2, valerá para n = 3....e assim sucessivamente, cobrindo todos os elementos do conjunto considerado.

24. Designando por P(n) a propriedade em questão, significa isto que para demonstrarmos que P(n) é verdadeira n N, podemos fazê-lo mostrando que: P (1) é verdadeira; P (n) P (n + 1). Podemos fazer uma analogia do princípio da indução com as peças enfileiradas de um dominó. Se uma peça cai, a seguinte também cairá. Como a primeira caiu, isso gera que todas as peças cairão. Exemplo 1: • Prove que 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ (2.n – 1) = n2 • Vale para n = 1, pois 1 = 12 • Supondo que vale para n = k, vejamos se valeria para n = k + 1 • 1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 + (2.(k + 1) – 1) = 1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 + + 2k + 2 – 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 Logo, verificamos que a propriedade é válida para todos os números naturais.

25. 12 22 32 42 52 O teorema visto anteriormente era visto pelos Pitagóricos como uma seqüência de quadrados. O número de pontos desses quadrados era a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Veja na figura abaixo. Esses tipos de números representados por formas geométricas são denominados números figurados.

26. Exemplo 2: Prove, por indução finita, que: SOLUÇÃO: 1) Fazendo n = 1, teremos: 2) Supondo válido para n = k, teremos:

27. 3) Temos agora que, usando o fato admitido no item anterior, provar que vale para n = k + 1. O que completa a demonstração, ou seja, mostra que a propriedade é válida para n = k, também será válida para n = k + 1. Com já era válida para n =1, podemos inferir que é válida para todos os números naturais.

28. Princípio da Indução O que vimos no exemplo anterior garante que se uma propriedade é atendida pelo princípio da indução para um subconjunto S, dos números naturais, será atendida para todo o conjunto N.

29. Exercício Resolvido: 1) Prove que, para todo a, real, e positivo e para todo n natural, temos: 1) Vale para n = 0, ou seja, log 1 = 0 . log a = 0 Supondo válido para n = k, temos que verificar se a propriedade é válida para n = k + 1. O que mostra que a propriedade também vale para k + 1, logo, está provada.

30. Recomendamos o livro “ARGUMENTAÇÕES E PROVAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA”, do Projeto Fundão (UFRJ). 2.4) Argumentações e Provas no Ensino Fundamental Normalmente, quando se fala em demonstrações e provas, os alunos e professores são levados a pensar em Geometria. A Escola em geral vem abandonando as demonstrações e, quando o faz, preocupa-se apenas com os famosos teoremas de Geometria. Agora vamos apresentar algumas sugestões de atividades, que podem ser desenvolvidas à partir da 4ª série do Ensino Fundamental, e que têm sido aplicadas com muito sucesso no desenvolvimento da capacidade de representação e demonstração dos nossos alunos. Para algumas delas mostraremos os encaminhamentos e questões surgidas na sua aplicação em classes do Ensino Fundamental.

31. ATIVIDADE 1: CONTEÚDO ENVOLVIDO: Conceito e representação de número par. SÉRIES INDICADAS: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental. “A soma de dois números pares é um número par.” Diga se esta afirmação é verdadeira ou falsa, justificando. Normalmente todos os alunos acertam essa questão mas justificam através de alguns exemplos e com números iguais, como: 6 + 6, 30 + 30, etc. Isso talvez se justifique pelo uso comum da palavra par em nosso cotidiano. Raramente algum aluno faz uma demonstração mais rigorosa, envolvendo a representação algébrica de número par. Isso pode ser provocado pelos professores lembrando aos alunos que um número par é igual ao produto de 2 por algum número natural. Demonstração: 2k + 2k’, k e k’ números naturais. = 2.(k + k’) e, como o conjunto dos naturais é fechado para a adição, estamos diante de 2q, com q também natural, o que é um número par.

32. ATIVIDADE 2: Como você demonstraria, formalmente, que a soma de dois números ímpares é um número par? Solução: Um número ímpar pode ser representado por 2k + 1 ou 2k – 1, com k e k’ naturais, logo, a soma de dois ímpares será do tipo: 2k + 1 + 2k’ + 1, ou 2(k + k’) + 2 ou ainda 2 q + 2 = 2.(q + 1) que é um número par. ATIVIDADE 3: CONTEÚDO ENVOLVIDO: Conceito e representação de múltiplo de um número. SÉRIES INDICADAS: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental. “A soma de três números naturais consecutivos é um múltiplo de três.” Diga se esta afirmação é verdadeira ou falsa, justificando. Também nessa atividade o que ocorre normalmente é que os alunos vão tentar fazer através de alguns exemplos particulares. Se a turma estiver sendo habituada à representação algébrica, poderá chegar à demonstração.

33. Solução: Podemos representar três números naturais consecutivos por k – 1, k e k + 1, com k natural e maior do que zero. A soma dos três números será igual a 3k, o que é um múltiplo de três. Comentário: É comum nessa atividade os alunos usarem representações do tipo 1x, 2x, 3x ou 3x, 4x, 5x e cabe alertar que, nesses casos, só formarão naturais consecutivos no caso particular de x ser igual a 1. ATIVIDADE 4: CONTEÚDO ENVOLVIDO: Múltiplos e Divisores de um natural. SÉRIES INDICADAS: A partir do 6º ano do Ensino Fundamental. Seja “ABC” um número natural de três algarismos. Prove que a diferença “ABC” – “CBA”, se A > C, é sempre um múltiplo de 9 e também de 11.

34. Mais atividades em www.magiadamatematica.com Solução: Para atividades desse tipo o aluno deverá estar dominando a representação de um número natural no sistema de numeração decimal, ou seja, o número “ABC” é igual a 100A + 10B + C. Logo, a subtração proposta é igual a: “ABC” – “CBA” = (100A + 10B + C) – (100C + 10B +A) = 99A – 99C = = 99. (A – C) = 9 . 11. k (k natural), ou seja, é sempre um resultado múltiplo de 9 e também de 11.

35. Exercícios – Lista 1 • Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas. Para as falsas apresente um contra-exemplo e para as verdadeiras faça uma demonstração. • a) Se p e q são números irracionais, então p + q é um número irracional. • Solução: Falsa, contra-exemplo: -e; +e, que são irracionais, mas a soma é zero, um número racional. • b) Se p e q são números irracionais, então p.q é um número irracional. • Solução: Falsa, contra-exemplo: 1/e; e, são irracionais, mas o produto é igual a 1, que é um número racional.

36. c) Se p é racional e q é irracional, então p + q é um número irracional. Solução: Verdadeira, vejamos a demonstração por redução ao absurdo: p  racional q  irracional p + q = S  racional Se p + q = S, teremos que q = S – p, o que é um absurdo, já que q é irracional e S e p são racionais. O conjunto dos racionais é fechado em relação à subtração.

37. PAR PAR • 2) Demonstre, por indução finita, que o produto de dois números naturais consecutivos é par. • Solução: • Hipótese: n . (n + 1) é par. • 1) Vale para n = 1, pois 1 x 2 = 2 ( é par) • 2) Supondo que vale para n = k, teremos que k . (k + 1) é par. • Vamos verificar se vale para n = k + 1. • (k + 1). (k + 2) = (k + 1). k + (k + 1). 2 • Logo, está provado o teorema. • 3) Demonstre, por indução, que para todo natural n, temos que 11n – 4n é múltiplo de 7.

38. 7 M 7 N • Solução: • Vejamos se vale para n = 0. 110 – 40=1 – 1 = 0, que é divisível por 7. • Supondo válido para n = k, teremos que 11k – 4ké múltiplo de 7. • Vejamos agora se é válido para n = k + 1 • 11k + 1 – 4k + 1 = 11.11k – 4.4k = 7.11k + 4.11k - 4. 4k = 7.11k + 4.(11k – 4k) Como obtivemos uma soma de duas parcelas, ambas múltiplas de 7, temos que o resultado é múltiplo de 7. Dessa forma, está provado por indução finita que a propriedade é válida para todos os números naturais.

39. A MAGIA DA MATEMÁTICA: ATIVIDADES INVESTIGATIVAS, CURIOSIDADES E HISTÓRIAS DA MATEMÁTICA ILYDIO P. DE SÁ – ED. CIÊNCIA MODERNA Mais atividades com números, demonstrações e curiosidades matemática em nosso novo livro: 2ª. EDIÇÃO