Folytonos jelek Fourier transzformációja

1. Folytonos jelek Fourier transzformációja • Milyen jelekre alkalmazható a Fourier transzformáció? • Nem csak véges időtartamú jelekre alkalmazható, a feltétel: • Véges energia van a rendszerben • Ebben az esetben a hibajel energiatartalma nulla

2. Folytonos jelek Fourier transzformációja • Dirichlet feltételek • A folytonos helyeken: • Szakadási-helyeken: • A szakadási-helyeken a Fourier transzformáció sem konvergál a függvényhez (Gibbs jelenség) a jobb és baloldali határérték átlagértéket adja

3. Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Dirac delta függvény Szintetizáló egyenlet d(t)-re

4. Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Exponenciális függvény Szimmetrikus aszimmetrikus

5. Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Négyszög impulzus az időtérben A két szélesség szorzata állandó  határozatlansági reláció!!! Itt Itt

6. Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Gauss függvény A két szélesség szorzata állandó  határozatlansági reláció!!!

7. Periodikus jelek Fourier transzformáltja Tegyük fel Periodikus jel Általánosabban

8. Periodikus jelek Fourier transzformáltja „vonalas spektrum”

9. Periodikus jelek Fourier transzformáltja Mintavevő periodikus jelsorozat t –ben periodikus jelnek a frekvenciában periodikus jel felel meg. Inverz összefüggés a periódikusokban

10. A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai 1) Linearitás 2) Időbeli eltolás Az amplitúdó nem változik Fázis: lineáris eltolás

11. A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai Konjugált szimmetria páros páratlan páros páratlan

12. A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai Időskála megváltoztatása Időbeni összenyomás frekvenciában széthúzás x(t) valós és páros Valós és páros x(t) valós és páratlan Képzetes és páratlan

13. A FT konvolúciós tulajdonság Inverz Fourier transzformáció Y(jw)-ra

14. A FT konvolúciós tulajdonság Következmények a frekvencia válaszra h(t) Frekvencia válasz Impulzus válasz Egy folytonos lineáris invariáns rendszer frekvencia válasza az impulzus válasz Fourier transzformáltja

15. A FT konvolúciós tulajdonság Példa: H(jw) Az előzőek szerint

16. A folytonos Fourier transzformáció tulajdonságai Differenciál operátor Lineáris invariáns rendszerek esetében Erősíti a magas-frekvenciájú jeleket, p/2 fáziseltolás

17. Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válasza Def. Nem kauzális rendszer!

18. Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus válasza Mi a rendszer válasza az egységugrás függvényre tvégtelen

19. Sorbakapcsolt szűrők Élesebb frekvencia szelektivitás

20. Az ideális aluláteresztő szűrő impulzus alkalmazása és a konvolúció konvolúció szorzás

21. Konvolúció alkalmazása Gauss fv. konvolúciója Gauss fv=Gauss fv Gauss fv. szorozva Gauss fv=Gauss fv

22. Példák a Fourier transzformáció alkalmazására Exponenciális függvény Szimmetrikus aszimmetrikus

23. Konvolúció alkalmazása racionális törtfüggvények felbontása Inverz Fourier transzformáció

24. Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris invariáns rendszerek Differenciálási szabály alkalmazásának Mindkét oldal Fourier transzformációja

25. Lineáris konstans együtthatós differenciálegyenlettel leírható lineáris invariáns rendszerek racionális törtfüggvény a jw-nak parciális törtekre való bontás után meg lehet határozni Ha X(jw) is racionális, akkor Y(jw) is racionális lesz

26. Parseval tétel A teljes energia az időtartományban A teljes energia a frekvencia tartományban spektrális energia sűrűség