Il problema: un percorso ad ostacoli

1. Il problema: un percorso ad ostacoli • Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 26 marzo 2013 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

2. Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) • Durante l’operato con l’uso contemporaneo di più unità di misura nelle misurazioni è opportuno chiedere agli alunni • come si può trasformare la misura ottenuta con una strategia in quella ottenuta con un’altra strategia? • dopo avere ottenuto la misura con una certa strategia, per esempio utilizzando solo l’unità minore, è possibile esprimere la misura rispetto alle altre unità, senza ripetere con esse la misurazione? Gli alunni avvertono l’esigenza di avere unità di misura “cambiabili” l’una nell’altra. Utilizziamo pezzi dei numeri in colore: si tratta di materiale facilmente reperibile, in gran quantità, anche se non è del tutto idoneo come campione in quanto lo spessore dei pezzi, soprattutto quelli di minore valore, non è trascurabile rispetto alla lunghezza. In ogni caso, con esso è particolarmente comodo per introdurre unità di misura di lunghezza in rapporto tra loro. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

3. Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) I REGOLI sono particolarmente comodi per introdurre unità di misura di lunghezza in rapporto tra loro. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

4. Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) Se si lascia ai bambini la scelta di tre pezzi come campioni di tre unità distinte, essi prendono un pezzo piccolo, solitamente il cubetto unitario, un pezzo di valore intermedio e il pezzo arancione che vale 10, per cui è possibile effettuare operazioni di cambio diretto tra l’unità minore e una qualunque delle altre due, ma non è detto che sia possibile quello fra l’unità intermedia e l’unità maggiore. Se, per esempio, vengono scelti il cubetto bianco, il pezzo ciclamino e il pezzo arancio e si indicano le rispettive lunghezze con i colori dei pezzi, si ha 1 ciclamino = 4 bianchi 1 arancione = 10 bianchi ma non c’è un operatore intero che trasforma l’unità ciclamino nell’unità arancione. Sono, dunque, possibili cambi solo riconducendo le lunghezze al pezzo bianco oppure per particolari gruppi di unità (per esempio, 10 ciclamini = 4 arancioni). Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

5. 1 bianco 1 giallo 1 arancione X 10 Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) È più comodo l’utilizzo di terne di regoli quali 1 bianco 1 giallo = 5 bianchi 1 arancione = 2 gialli = 10 bianchi per le quali esiste un operatore moltiplicativo intero che mette in relazione ogni coppia di unità X 5 X 2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

6. Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) È possibile effettuare conversioni, dato che sono noti i fattori di conversione. Per esempio 1 arancione e 3 bianchi = 2 gialli e 3 bianchi = 23 bianchi. Si suggerisce di esercitare le conversioni concretamente, ossia sostituendo realmente per esempio 1 campione arancione con 2 campioni gialli, … in modo che gli alunni possano richiamare le azioni già sperimentate con il materiale multibase di cambi tra le unità di ordine diverso, come unità, decine, centinaia. Si ritiene importante introdurre la dimensione storica anche in questo ambito, soprattutto per rendere consapevoli gli alunni del significato del termine “convenzionale” Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

7. Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) Sia i regoli precedentemente considerati sia le unità di misure storiche hanno un limite: la molteplicità di operatori con i quali si effettuano le conversioni, per cui ogni volta che si vuole fare un cambio è necessario ricordare il fattore che lega le due unità in questione. Se si scelgono, però, opportunamente i regoli è possibile costruire un sistema di unità in cui vi è un solo operatore fondamentale; per esempio, se si prendono 1 bianco 1 rosso = 2 bianchi 1 ciclamino = 2 rossi = 4 bianchi l’operatore, che può essere applicato anche due volte consecutivamente, è “ 2”; si ritrova così una struttura simile a quella della scrittura dei numeri in base 2. Se si scelgono come unità 1 bianco 1 verde chiaro = 3 bianchi 1 blu = 3 verdi chiaro = 9 bianchi l’operatore fondamentale è “ 3” e si ritrova una struttura simile a quella della scrittura dei numeri in base 3. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

8. Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) UN SISTEMA DI MISURA PER LA CLASSE Giulia e Alessandra devono portare a scuola i nastri per decorare i costumi di carnevale. Per misurare la lunghezza dei vari nastri usano i regoli sotto disegnati. • Confronta i regoli e completa le frasi. • Il regolo ciclamino è lungo come 2 regoli rossi • Il regolo marrone è lungo come …….. regoli ciclamino • Il regolo marrone è lungo come …….. regoli rossi Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

9. x 2 … R C M … Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) Completa il seguente schema scrivendo, in corrispondenza di ogni freccia, l'operatore giusto. Ogni regolo è indicato con l’iniziale del suo colore. • Rispondi alle seguenti domande. • Ci sono unità di misura che non sono collegate a nessuna delle altre da un operatore? …… • Hai inserito nello schema operatori uguali? ………………………… Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

10. Unità di misura M C R nastro a b c d e f Utilizzo contemporaneo di più unità di misura(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 1071 a pag. 109) Osserva i nastri e misurane la lunghezza, usando ogni volta il minor numero possibile di regoli tra quelli scelti da Giulia e Alessandra a b c d e f Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

11. Sistema Internazionale • Rimane per questi sistemi di unità un limite grave: il ristretto ambito in cui essi sono noti e applicati, per cui è difficoltosa la comunicazione con chi è esterno alla classe in cui le unità sono state scelte. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

12. UTILIZZO DEL METRO UN’UNITÀ PER TUTTI Per allestire una rappresentazione teatrale, i bambini delle classi terze hanno bisogno di varie strisce di stoffa. La mamma di Gualtiero ha un negozio di tessuti e si offre di fornire le strisce necessarie, delle quali vuole sapere le misure. Per fornire le informazioni necessarie, Gualtiero e i suoi compagni utilizzano lo strumento costruito durante le lezioni di matematica: una striscia di carta lunga come il regolo marrone, sulla quale sono state riportate le lunghezze dei regoli ciclamino, rosso e bianco. Ecco riprodotto lo strumento della classe: Ogni striscia di stoffa deve essere alta 1 marrone e 1 ciclamino. La mamma legge la misura, ma non capisce quanto devono essere alte le varie strisce di stoffa. Perché? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

13. Rispondi mettendo una crocetta sulle risposte che ritieni più adatte. La mamma chiede allora a Gualtiero di misurare di nuovo l’altezza delle strisce, ma con una unità di misura conosciuta da tutti. Quando Gualtiero riferisce in classe della difficoltà avuta dalla mamma, la maestra spiega che anche gli uomini del passato avevano avuto gli stessi problemi. Infatti, ogni popolo utilizzava una propria unità di misura di lunghezza; addirittura comuni vicini potevano avere unità diverse: che grande confusione nello scambio delle misure! Dopo molto decenni di studio da parte degli scienziati, nel 1875 a Parigi venne firmato l’accordo tra 17 Stati per utilizzare il nuovo sistema metrico. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

14. d c a e b Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176 Esempi 1) Per ciascuno dei seguenti poligoni, si dà agli alunni la consegna di disegnare sul quaderno un segmento uguale al perimetro del poligono. Affinché il disegno sia informativo sul confronto delle lunghezze, senza ricorrere alla loro misura, si pone il vincolo che i segmenti siano incolonnati e con il primo estremo alla stessa distanza dal margine. Accanto ad ogni segmento si segna la lettera del poligono a cui si riferisce. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

15. a b c d e … ha il perimetro minore di quello di … Poligono a Poligono b Poligono c Poligono d Poligono e Poligono a Poligono b Poligono c Poligono d Poligono e Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176 Risulta: Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

16. Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag. 170 e pg.176 • Si sollecitano le riflessioni degli alunni con domande quali • Qual è il poligono con il perimetro maggiore? Quanti lati ha? • Qual è il poligono con il perimetro minore? Quanti lati ha? • Vi sono poligoni che hanno lo stesso numero di lati? Essi hanno uguale perimetro? • Qual è la successione dei poligoni posti in ordine crescente di perimetro? • Successivamente si fa quantificare, in lati quadretto, il perimetro di • ogni poligono e si rileva che i numeri che esprimono le misure sono • nella stessa relazione delle corrispondenti lunghezze. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

17. a b c Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176 2) Rispetto all’attività precedente è più problematica quella inversa, ossia il passaggio, non univoco, dal segmento che rettifica una poligonale al poligono che ha perimetro uguale alla lunghezza del segmento. Si può graduare il lavoro segnando inizialmente sul segmento dato le lunghezze, quindi assegnando anche il numero, dei lati del poligono. Per esempio: Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

18. Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176 Il lavoro sulla quadrettatura può essere considerato banale, ma in realtà se opportunamente predisposto permette di tornare a riflettere sulla diversità di lunghezza tra il lato quadretto e la diagonale quadretto. A tal fine può essere stimolante una situazione problematica come quella proposte negli esempi seguenti. Luca, Alì e Sara devono disegnare un poligono che ha il perimetro uguale alla lunghezza del segmento: Ai tre amici il lavoro sembra molto facile. Ecco come ognuno di loro ha risolto il problema. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

19. Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176 Io ho visto che il segmento è lungo 8 lati quadretto e ho disegnato questo poligono. LUCA Anche io ho contato 8 lati quadretto e ho disegnato questo poligono. SARA Io ho disposto gli 8 lati quadretto in modo da formare questo poligono. ALÌ Chi ha risposto in modo corretto al problema? Perché? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

20. a b d f e Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176 2) Si fanno osservare poligoni disegnati su carta quadrettata, come i seguenti: 2pa = 10 ℓq e 2dq 2pb = 12 ℓq 2pd = 8 ℓq e 4dq 2pf = 8 ℓq e 4dq 2pe = 12 ℓq Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

21. Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Ericksonda da pag. 170 a pag.176 NIENTE FORMULE!!!!!! Non si ritiene opportuno parlare con gli alunni di “formule” per il calcolo della misura del perimetro, in quanto le cosiddette formule non sono altro che scritture aritmetiche, formalizzazioni diverse della stessa operazione di somma delle misure dei lati. Si considera didatticamente più formativo fare riflettere gli alunni proprio sulla varietà di modi aritmetici per giungere alla misura del perimetro di un poligono, tutti ugualmente corretti, e di lasciare a ciascun alunno la scelta della strategia di calcolo da adottare. Ogni alunno, infatti, posto di fronte alla richiesta di calcolare la misura del perimetro di un poligono, usa il procedimento che “vede” più facilmente. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

22. Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag.176 NIENTE FORMULE!!!!!! ESEMPIO • Calcolo la misura del perimetro in centimetri • usando tre espressioni diverse • a) 5 + 3 + 5 + 3 = 16 • b) ( 5 x 2 ) + ( 3 x 2 ) = 16 • ( 5 + 3 ) x 2 = 16 • Il perimetro del rettangolo è di 16cm . 3cm 5cm C’è un’espressione che vale per qualunque poligono? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

23. UN PERIMETRO … TANTE ESPRESSIONI(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 187) Per ogni poligono segna con una crocetta l’espressione che corrisponde alla richiesta. • La misura in metri del perimetro del parallelogramma PQRS si può calcolare con • 5 + 2,4 • (2  5) + 2,4 • (3 x 5) + 2,4 • 3 x (5 + 2,4) PQ = 5m PQ = QR = RS PS = 2,4m Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

24. UN’ESPRESSIONE … TANTI PROBLEMI(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 188) Valeria, Antonella, Michele e Riccardo sono impegnati nei compiti. Sembra tutto molto semplice, perché i quattro amici non devono risolvere problemi, ma … inventarne. Possono liberare la loro fantasia, ma devono solo rispettare la consegna: “Per ogni espressione data scrivi il testo di un problema in cui viene richiesto il perimetro di un poligono”. Ecco cosa hanno scritto i bambini per l’espressione: 3 + 8 + 3 + 8. Un romboide ha i lati lunghi 3dm e 8dm. Quanti decimetri misura il suo perimetro? Un rettangolo ha i lati lunghi 3cm e 8cm. Determina la misura del perimetro del rettangolo in centimetri. VALERIA ANTONELLA Quanto misura il perimetro in metri di un quadrilatero che ha due lati lunghi 3m e due lati lunghi 8m? Calcola la misura del perimetro in centimetri di un rombo che ha i lati lunghi 3cm e 8cm. RICCARDO MICHELE Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

25. Perimetro – area - volume di una figura: definizioni(di Clara Colombo Bozzolo) • Perimetro- area- volume: • Sono un ente geometrico, cioè una linea, una superficie, un solido? sì no • Sono una misura di tale ente geometrico, cioè un numero? sì no • Sono una grandezza sì no • Perimetro di una figura piana: • è il contorno della figura sì no • è la misura del contorno sì no • è la lunghezza del contorno sì no • Il termine “perimetro” vale solo per i poligoni? sì no • Il cerchio ha un perimetro? sì no • In un poligono il perimetro: • è la somma dei lati sì no • è la somma delle misure dei lati sì no • è la somma delle lunghezze dei lati sì no Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

26. Il perimetro(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati: contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata chiusa e semplice; lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza; misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero reale non negativo. L’accezione con cui viene utilizzato la parola perimetro condiziona la correttezza o meno di espressioni ad esso relative. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

27. Il perimetro(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati: contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata chiusa e semplice; lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza; misura della lunghezza del contorno di un poligoni, pertanto è un numero reale non negativo. “un poligono di perimetro ABCD” presuppone il significato a), in quanto ABCD è la denominazione della poligonale • “il perimetro di un poligono è di 13cm” è coerente solo con l’accezione b), dato che 13cm è una lunghezza; • in centimetri, il perimetro di un poligono è 13” comporta l’assunzione dell’accezione c), poiché il perimetro viene identificato con un numero, ossia una misura. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

28. Il perimetro(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 55 NOSTRA SCELTA Con il termine perimetro intendiamo la lunghezza del contorno di una figura piana. Il perimetro essendo una lunghezza è, quindi, una grandezza. In base a ciò, non solo si parla di perimetro di un poligono, ma anche di perimetro di un cerchio, inteso come la lunghezza della circonferenza che delimita il cerchio, di perimetro di una figura piana delimitata da una linea mista chiusa, … Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

29. Perimetro – area - volume di una figura: definizioni. • Area di una figura piana: • è “lo spazio piano” occupato dalla figura sì no • è la misura di tale parte di piano sì no • è una grandezza relativa all’equiestensione • di figure piane sì no • Volume di un solido: • è la parte di spazio occupato dal solido sì no • è la misura di tale parte di spazio sì no • è una grandezza relativa all’equiestensione • di figure solide sì no Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013