Vorlesung Informatik 3 Einführung in die Theoretische Informatik (01 – Einleitung)

1. Vorlesung Informatik 3Einführung in die Theoretische Informatik(01 – Einleitung) Prof. Dr. Th. Ottmann

2. Organisatorisches Vorlesung: Jeweils montags, von 11 – 13 Uhr und mittwochs, von 9 – 11 Uhr Übungen: wöchentl. zu versch. Terminen (4 Gruppen), Assistent: Dr. W. Hürst Dienstags, 9 – 11 Uhr (2 Gruppen) Dienstags, 14 – 16 Uhr Freitags, 11 – 13 Uhr Anmeldung über Web-Formular (Link in CampusOnline unter „News“ auf der Startseite der Vorlesung) ab sofort bis spätestens Donnerstag, 29.10.05 Weitere Infos: Siehe • Infoblatt zu CampusOnline (Anmeldung etc.) und • Infoblatt zum Vorlesungs-/Übungsbetrieb (Termine, Prüfungsvorraussetzungen etc.) http://ad.informatik.uni-freiburg.de/lehre/ws0506/info3/

3. Die nächsten Termine Mo 24.10. 11 – 13 Uhr, 1. Vorlesung, HS 026 Mi 26.10. Keine Vorlesung (Eröffnung des akademischen Jahres) Mo 31.10. 11 – 13 Uhr, 2. Vorlesung, Wiedergabe der Aufzeichnung vom Mo 24.10., 16 – 18 Uhr, HS 106, MM-Raum Mi 2. 11. 9 – 11 Uhr, 3. Vorlesung, Wiedergabe der Aufzeichnung vom Do 27.10., 13 – 15 Uhr, HS 106 MM-Raum Mo 7.11. 11 – 13 Uhr 4. Vorlesung Mi 9.11. 9 – 11 Uhr 5. Vorlesung …..usw.

4. Literatur U. Schöning: Theoretische Informatik kurz gefasst, Spektrum Akademischer Verlag (März 2001) M. Sipser: Introduction to the Theory of Computation, Second Edition, Course Technology (2005) John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman: Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation, Addison Wesley Publishing Company (2001) Deutsche Übersetzung: Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie.  Pearson Studium (2002) Katrin Erk, Lutz Priese: Theoretische Informatik, Springer, Berlin (2001) Gottfried Vossen, Kurt-Ulrich Witt: Grundkurs Theoretische Informatik, 3. überarbeitete und erweiterte Auflage 2004XIV + 405 Seiten, € 29,90, ISBN 3-528-23147-5 Vieweg Verlag U.v.a

5. Themen der Vorlesung Antworten auf grundsätzliche Fragen, wie z.B. • Was kann man überhaupt (nicht) mit Computer lösen? • Wie groß ist der Aufwand zum Lösen von Problemen? Kann die Problemlösung am Aufwand scheitern? • Was sind sinnvolle mathematische Modelle von Automaten und Computern? Für welche Zwecke eignet sich welches Modell? • Welche Alternativen zur Modellierung von Rechenvorgängen gibt es?

6. Einige Antworten der Vorlesung Theorie der Berechenbarkeit: Es gibt nicht berechenbare Funktionen; es gibt überhaupt viel mehr Funktionen als Algorithmen Komplexitätstheorie: Es gibt Probleme, bei denen die Zeit zum Berechnen einer Lösung nur polynomiell von der Problemgröße abhängt und andere, zu deren Lösung (vermutlich) kein in Polynomzeit ausführbarer Algorithmus existiert Automatentheorie: Es gibt eine Hierarchie von immer leistungsfähigeren Automaten, endliche Automaten, Pushdown- Automaten, Register- und Turingmaschinen Theorie der formalen Sprachen: Es gibt eine Hierarchie Formaler Grammatiken, mit denen man immer größere Klassen von Sprachen erzeugen kann

7. Kurze Historie der Berechenbarkeitstheorie ~ 800 Ibn Musa Al-Chwarismi (persischer Mathematiker und Astronom) schreibt Lehrbuch über as Lösen von algebraischen Gleichungen ~ 1300 Raimundus Lullus (katalanischer Philosoph) sucht in Ars Magna Methode zur Lösung mathematischer Probleme 1888 Dedekind: primitiv rekursive Funktionen 1928 Ackermann: berechenbare, nicht primitiv rekursive Funktion Bis 1931 Allgemeine Ansicht: Jedes hinreichend genau formulierte mathematische Problem kann gelöst werden. Hilbert sucht nach allgemeinem Lösungsverfahren. 1931 Gödel: In jedem hinreichend ausdrucksfähigen formalen System gibt es wahre Sätze, die nicht mit Hilfe eines Algorithmus hergeleitet werden können (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Erste Algorithmenpräzisierung Um 1936 Verschiedene Präzisierungen des Algorithmenbegriffs. λ-Kalkül (Church), μ-rekursive Funktionen (Kleene), (allg.) rekursive Funktionen (Gödel, Herbrand), Turing-Maschinen (Turing)

8. Beispiel: Existenz nicht berechenbarer Funktionen Unabhängig vom Rechnermodell gilt: • Algorithmen werden durch Programme beschrieben • Programme sind Texte endlicher Länge über einem endlichen Alphabet • Alle gültigen Programme lassen sich abzählen (mit einer Nummer identifizieren): P0, P1, P2, P3, P4, P5, …. Satz: Es gibt mehr Funktionen f : N → N als berechnende Programme Beweis: Technik: Diagonalisierung

9. Diagonalisierung 0 1 2 3 4 5 6 …. n …. fP0 fP1 fP2 fP3 fP4 .. fd

10. Beweistechniken • Diagonal-/ Schubfachschluss • Direkter Beweis: Beweise die Aussage durch explizite Prüfung aller denkbaren Fälle • Indirekter Beweis: Nehme das Gegenteil der Behauptung an und zeige, dass das zu einem Widerspruch führt • Vollständige (strukturelle) Induktion: Zeige, dass Aussage • für gegebene Anfangs Strukturen gilt • sie richtig bleibt für (rekursiv aus einfacheren Bestandteilen) erzeugte Strukturen

11. Beispiel eines direkten Beweises Satz: In jeder binären 2x2 Matrix kommen höchstens 3 der 4 möglichen Bitvektoren der Länge 2 vor.

12. Beispiel eines indirekten Beweises Satz:  2 ist keine rationale Zahl, d.h.  2 kann man nicht als Bruch m/n darstellen.

13. Beispiel eines Induktionsbeweises Satz: Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 4 gilt: 2n ≥ n2

14. Beispiel für eine strukturelle Induktion Sei P die wie folgt definierte Teilmenge der natürlichen Zahlen • 3  P und 17  P • Wenn n  P, dann sind auch die Zahlen 2n + 1 und 3n + 2 in P. Satz: Alle Zahlen in P sind ungerade

15. Schubfachschluss - Zählargument Satz: Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gilt: Die Zeilen und Spaltenvektoren einer n x n Bit-Matrix schöpfen nicht alle möglichem n-Bit Vektoren aus

16. Diagonalschluss Satz: Für alle n ≥ 1 und jede beliebige n x n Bitmatrix M =(bij), 1 ≤ i, j ≤ n, gilt: Der n – Bit – Vektor V = (¬b11, ¬ b22, …, ¬ bnn) tritt weder als Zeilen- noch als Spaltenvektor in M auf. Dabei bezeichnet ¬b für ein Bit b  {0,1} das Bit: ¬b = 0, falls b = 1, ¬b = 1, falls b = 0

17. Wiederholung einiger Begriffe aus der diskreten Mathematik Mengen: • Teilmenge, Potenzmenge • Kartesisches Produkt • endliche, unendliche, abzählbare Menge

18. Relationen Äquivalenzrelationen: Eine zweistellige Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und symmetrisch ist

19. Grundbegriffe für Graphen Sei V eine Menge von Knoten, G = (V, E) mit E  V x V heißt Graph mit Knotenmenge V und Kantenmenge E. Gerichteter, ungerichteter Graph Pfad, Zyklus Zusammenhängender, zyklischer, azyklischer Graph Bäume, Wurzel, Blätter

20. Alphabete, Worte, Sprachen Alphabet: Endliche Menge von Symbolen  Beispiele:  = {0, 1},  = {a, b, c, …., x, y, z} Wort (Zeichenreihe): Jede endliche Aneinanderreihung von Symbolen des zugrunde liegenden Alphabets inklusive des leeren Wortes ε.