המחלקה למתמטיקה Department of Mathematics

המחלקה למתמטיקה Department of Mathematics שימוש בהמרות מחסום משופרות לפתרון בעיות אופטימיזציה מאולצת לא לינארית שם הסטודנט: מריה צ'ברקוב מנחה: ד"ר פיאנהיעקובזון

שימוש בהמרות מחסום משופרות לפתרון בעיות אופטימיזציה מאולצת לא לינארית • תיאור הבעיה • גישת המרות מחסום לבעיות אופטימיזציה מאולצת • מחלקה B של המרות מחסום משופרות • תיאור שיטת הפתרון האיטרטיבית • דוגמאות

תיאור הבעיה: כאן: – היא פונקציית מטרה (פונקציה נתונה) , – הן פונקציות אילוצים,

דוגמא - עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת נרצה לנתח תעבורה במערכת כבישים נסתכל על מערכת כבישים פשוטה המתוארת ע"י גרף הבא: המטרה היא: בהינתן מספר רכבים העוברים במערכת בכל דקה, מצא מספר הרכבים העוברים בכל כביש בדקה כך שעיכוב כללי של רכבים במערכת הכבישים יהיה מינימאלי. 2 4 1 3

דוגמא - עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת 2 נסמן: F מספר הרכבים במערכת כבישים (נתון) i=1,2,3 צומת כניסה לכביש j =2,3,4 צומת יציאה מהכביש xij מספר הרכבים בכביש המחבר בין צומתi לצומת j tij זמן להגיע מצומת i לצומת j(פונקציה של xij) cij מספר הרכבים בכביש המחבר בין צומתi לצומתj(נתונים) 4 1 3

דוגמא - עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת בעיית המודל הינה: 2 4 1 כאשר: 3

המרות מחסום ושיטה מבוססת המרות מחסום (ה"מ) שיטת מחסום מציעה כאלטרנטיבה לבעיה מקורית את הבעיה האחרת : כאשר היא המרת המחסום שמקיימת: והפונקציה לכל

המרות מחסום ושיטת ה"מ: למת המחסום: משפט ההתכנסות של שיטות המתבססות על המרות מחסום:

המרות מחסום ושיטת ה"מ: מסקנות: • אם נתחיל מנקודה פנימית של התחום , אז • אם ל-(*) קיים פתרון, אז תהליך חיפוש שבו בכל צעד מוצאים את המינימום • לבעיה לא מאולצת יוצר סדרה המתכנסת • לפתרון הבעיה (*) בתחום . • אם המרת מחסום גזירה ברציפות, אז התנאי • שקול לתנאי • ווקטור , הוא למעשה ווקטור כופלי לאגראנז'

המרות מחסום ושיטת ה"מ: דוגמאות להמרות מחסום: המרת מחסום של Frish: המרת מחסום של Carrol: כאשר * Fו- * Cהן פונקציות מטרה המתאימות לבעיה .

המרות מחסום ושיטת ה"מ: חסרונות של המרות מחסום ושיטת ה"מ: • המרות מחסום לא מוגדרות בפתרון לבעיית אופטימיזציה באם הוא נמצא על שפת התחום האפשרי. • מספר ספקטראלי של מטריצת הסיאן עבור הבעיה גדל מאוד ככל ש- קטן (מספר ספקטרלי קובע את הדיוק והתכנסות לפתרון). *המספר הספקטרלי של מטריצה מוגדר ע"י יחס בין ערך עצמי מקסימאלי ומינימאלי שלה.

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ :R. Polyakשל המרות מחסום משופרות: המרות מחסום משופרות הן פונקציות אי-שליליות, רציפות מונוטוניות וקמורות/קעורות במשתנה שני פונקציות המטרה המתאימות: • פונקציות מטרה המבוססות על המרות מחסום משופרות הן: • תחליף ללגרנז'יאןהקלאסי השומרות על כל התכונות החשובות שלו • חלקות מאותו סדר כמו פונקציה מקורית • מוגדרות וחלקות בנקודת האופטימום

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ: מחלקת המרות B: יהיהכלשהו. B היא קבוצת כל הפונקציות , אשר מקיימות: (1) (2) (3) (4) - יורדת וקמורה/עולה וקעורה עבור יורדת: עבור עולה: (5) אם אז אם אזי: (6) (7) (8) (9) קיים כך ש- ו-

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ: נגדיר בעית אופטימיזציה חדשה: עבור יורדת וקמורה: עבור עולה וקעורה: לאגראנז'יאן של בעיה(**): • למה: • אם (*) היאבעייתאופטימיזציהקמורה, אז גם (**) היא בעיית אופטימיזציהקמורה • אם (*) מקיימת תנאים הכרחיים ומספיקים לקיום הפתרון, אז גם (**) מקיימת • אותם התנאים ובאותה נקודה

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ: • נתבונן בבעיה: • אם קומפקטית, אז גם קומפקטית • נניח כי ב- מתקיימים תנאים אופטימאליים של (*), יהיו • נגדיר תחום: • משפט הבא מראה כי עבור פרמטרים מתאימים שיטת המרות • מחסום משופרות המופעלת על מתכנסת לפתרון של (*)

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ: משפט התכנסות של שיטת המ"מ: • נניח כי קמורות בבעיה (*), וכי בנקודה מתקיימים תנאים הכרחיים ומספיקים לבעיה (*). תהיה המרה נתונה • ו- , נגדיר: אז קיימים , מספיק קטנים, כך שלכל ו- • קיים ווקטור כך ש- • לכל מתקיים ו- • לזוג ווקטורים: ו- כך ש- קיים שלא תלוי ב- ו- • הפונקציה קמורה ממש בסביבת

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ: מסקנה: עבור בכל איטרציה נוכל לחשב השאלה היא איך בוחרים את ? הרעיון: נציב בפונקציה ונגדיר פונקציה: הבעיה מתקבלת מגישה קלאסית של שיטת מחסום וניתן להוכיח כי פתרונה של (*) מתלכד עם הפתרון של

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ: משפט אתחול של שיטת המ"מ: • נניח כי קמורות בבעיה (*), בעיה (*) מקיימת תנאיי Slater, וכי בנקודה מתקיימים תנאים הכרחיים ומספיקים לאופטימום של (*). תהיה המרה נתונה ו- נגדיר: אם קיים עבורו קבוצה קומפקטית, אז לכל • קיים ווקטור כך ש- ו- • לזוג ווקטורים: ו- כך ש- קיים שלא תלוי ב- ו- • הפונקציה קמורה ממש בסביבת

המרות מחסום משופרות ושיטת המ"מ: שיטת הפתרון של Polyak לכל קיים שאינו תלוי ב- כך שמתקיים: • כתוצאה מתהליך איטרטיבי נוצרת סידרה • בכל איטרציה מתקרבים לפתרון • קצב התכנסות לפתרון הינו לינארי

הדגמת פתרון עבור דוגמא עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת: נחזור לבעית תעבורה ברשת: נציב את בפונקצית מטרה: ואת: בפונקציות אילוצים:

הדגמת פתרון עבור דוגמא עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת: • פתרון מדויק לבעיה מתקבל בנקודה(2.5 2.5 0 2.5 2.5)x*= • ערך של הפונקציה בנקודה זאת 40.3030f (x*) = • נבחר: • תוצאות שהתקבלו ע"י שימוש בשיטת המ"מ:

הדגמת פתרון עבור דוגמא עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת: השוואת תוצאות שקיבלנו מול פתרון מדויק:

הדגמת פתרון עבור דוגמא עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת: גרפים התכנסות בנורמה:

הדגמת פתרון עבור דוגמא עיכוב כללי מינימאלי של תעבורה ברשת: התכנסות לערך מינימאלי של הפונקציה:

דוגמה 2: :תהי נתונה בעיית אופטימיזציה מאולצת קמורה (לא ליניארית) • פתרון מדויק לבעיה מתקבל בנקודה(5,0)x*= • ערך של הפונקציה בנקודה זאת f (x*) = 26

דוגמה 2: תוצאות שהתקבלו ע"י שימוש בשיטת המ"מ: נבחר השוואת תוצאות שקיבלנו מול פתרון מדויק:

דוגמה 2: גרפים התכנסות בנורמה:

דוגמה 3: התכנסות לערך מינימאלי של הפונקציה:

דוגמה 3: :תהי נתונה בעיית אופטימיזציה מאולצת קמורה (לא ליניארית) • פתרון מדויק לבעיה מתקבל בנקודה • ערך של הפונקציה בנקודה זאת f(x*) = 3

דוגמה 4: :תהי נתונה בעיית אופטימיזציה מאולצת קמורה (לא ליניארית) • פתרון מדויק לבעיה מתקבל בנקודה • ערך של הפונקציה בנקודה זאת f (x*) = -24

המחלקה למתמטיקה Department of Mathematics