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复变函数论多媒体教学课件. 嘉应学院数学系. Department of Mathematics. 第一章 复数与复变函数. 第二章 解析函数. 第三章 复变函数的积分. 第四章 解析函数的幂级数表示法. 第五章 解析函数的罗朗展示与孤立奇点. 第六章 残数理论及其应用. 第七章 保形变换. Department of Mathematics. 第一章 复数与复变函数. 第一节 复数. 第二节 复平面上的点集. 第三节 复变函数. 第四节 复球面与无穷远点. Department of Mathematics. 第一节 复数.

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  1. 复变函数论多媒体教学课件 嘉应学院数学系 Department of Mathematics

  2. 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 解析函数的幂级数表示法 第五章 解析函数的罗朗展示与孤立奇点 第六章 残数理论及其应用 第七章 保形变换 Department of Mathematics

  3. 第一章 复数与复变函数 第一节 复数 第二节 复平面上的点集 第三节 复变函数 第四节 复球面与无穷远点 Department of Mathematics

  4. 第一节 复数

  5. 1、复数域 （1）复数形如 ，其中x和y是实数，i是虚数单位(-1的平方根),称为复数。其中x和y分别称为复数Z的实部和虚部，分别记作： 两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数

  6. (2)复数的四则运算 ---相当于代数中多项运算 复数的四则运算定义为： 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张。

  7. （3）共轭复数

  8. 例1: 试确定等式 的实数 原式化简为 解: 故 解得

  9. 例2: 设 试证 证明: 由 得 所以

  10. 2、复平面 复数域C也可以理解成平面RxR，我们称C为复平面.作映射： 则在复数集C与平面RxR之 建立了一个1-1对应（双射）。 平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

  11. 3、复数的模与辐角 复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=x+yi所引向量oz）。向量的长度称为复数的模，定义为： 模: 即 性质: (三角不等式) 推广

  12. 例3: 设 ,试证 证明:

  13. 求复数 的实部,虚部和模. 例4: 解:

  14. 例5: 设 ,试证 证明:

  15. 例 设 、 是两个复数，求证：

  16. 辐角: 向量z与实轴正向之间的夹角称为复数z的辐角， 定义为： ------主值 主辐角: 注:

  17. 例6: 求 解: 非零复数的三角形式与指数形式为： ------代数形式 -----三角形式 ------指数形式

  18. 例7: 把复数 例8: 将复数 解: 由于 解:

  19. 所以 利用复数的指数形式作乘除法： 则 注:

  20. 4、复数的乘幂与方根 乘幂

  21. 方根 k=0,1,2,…,n-1

  22. 可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上。 注1: 注2:

  23. 例9 解方程 解：

  24. 5、复数在几何上的应用 (1) 曲线的复数方程

  25. 例10试用复数表示圆的方程: 其中，a,b,c,d是实常数。 解：利用

  26. 例11证明三角形内角和等于 (2) 利用复数证明几何问题 证明 设三角形三个顶点分别为 对应的三个角分别为 于是 由于

  27. 所以

  28. 作业 P42习题(一)2,3,4, P45习题(二)1,2,

  29. 本节结束 谢谢！ Complex Function Theory Department of Mathematics

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