LE GRANDEZZE INCOMMENSURABILI I NUMERI IRRAZIONALI

1. LE GRANDEZZE INCOMMENSURABILI I NUMERI IRRAZIONALI

2. “Gli dei non hanno rivelato ogni cosafin dall’origine, ma l’uomo con la suaricerca paziente riesce a scoprireogni cosa” [Senofane, 540 a. C. ]

3. PITAGORA E LA STRANA CLASSE DI NUMERI Pitagora e la sua scuola di matematici pensavano che il mondo fosse fondato sui numeri, e che i numeri fossero lo specchio della perfezione. Poi un giorno si incontrarono con una classe di numeri decimali assolutamente strana, e Pitagora proibì ai suoi allievi, pena la morte, di divulgare al pubblico, come facevano solitamente per la geometria e l'aritmetica, quella orrenda scoperta. Per la cronaca uno degli allievi, Ippaso di Metaponto tradì confidando a Platone, il pettegolo dell’epoca, la tragica scoperta. La conseguenza fu che morì vittima di un naufragio. Come si chiama quella classe di numeri, e che cosa hanno di strano?

4. Cominciamo a spiegare la faccenda partendo dal concetto di classe di grandezze omogenee

5. Un insieme G di elementi costituisce una classe di grandezzeomogenee se hanno delle qualità per cui si può stabilire :una relazione di confronto, cioè, dati due qualsiasi elementi di G è sempre possibile stabilire fra loro una sola relazione a<b, a=b, a>bun’operazione di somma in modo che si può definire in G l’elemento c per cuiè valida la relazionec= a+b

6. I segmenti costituiscono una classe di grandezze omogenee.

7. Due segmenti si dicono COMMENSURABILI se esiste una misura comune che sia contenuta un numero intero di volte in entrambi. Ad es. due segmenti dei quali uno sia doppio dell’ altro,sono certamente commensurabili tra loro (il più piccolo funge da unità di misura u e ha misura 1 rispetto ad u, mentre l’altro ha misura 2). In generale, il rapporto tra le misure di due segmenti commensurabili dà luogo ad una frazione tra due numeri interi Ad es. ½, 2/3, ¾…. I NUMERI DETTI RAZIONALI SONO QUELLI CHE SI POSSONO RAPPRESENTARE CON LE FRAZIONI tra NUMERI INTERI.si possono scrivere senza virgola ,se sono numeri interi, con la virgola e possono avere un numero finito o infinito di cifre (ad es. 5, 1,5, 0,3333, 0,142857142857)

8. Data la lunghezza come qualità di due segmenti è sempre possibile stabilire se sono uguali, o al contrario, quale dei due è maggiore, La LUNGHEZZA,dunque, è una proprietà confrontabile, nel senso che si può decidere quale dei due segmenti è più lungo dell’altro, inoltre possiede la proprietà dell’additività, nel senso che i due segmenti si possono addizionare o sottrarre. La bontà di una persona non è una grandezza perché non è confrontabile con quella di un’altra persona. DEFINIZIONE:LE GRANDEZZE CHE SI POSSONO CONFRONTARE E SOMMARE SI DICONO OMOGENEE,quelle che non si possono confrontare tra di loro si dicono ETEROGENEE

9. Un’ altra importante proprietà delle grandezze è quella di avere una MISURA Definizione: SI DICE MISURA DI UNA GRANDEZZA IL NUMERO DI VOLTE CHE UN’ ALTRA GRANDEZZA, OMOGENEA ALLA PRIMA E PRESA COME UNITÀ DI MISURA E’ CONTENUTA IN ESSA. Quando ad essere sommata è la stessa grandezza presa più volte, si avrà un multiplo di tale grandezza. Così ad es. se riportiamo per tre volte un segmento a consecutivamente sulla stessa retta otterremo un segmento b triplo di a, e scriveremo: b= 3a. Analogamente diremo che a è un sottomultiplo di b secondo il fattore 3 e scriveremo: a = 1/3 b. Diremo anche che 3 è il rapporto tra b e a. Misurare una grandezza significa esprimerla mediante un numeroreale.

10. GRANDEZZE INCOMMENSURABILI DEFINIZIONE: Due grandezze omogenee si dicono INCOMMENSURABILI quando non esiste nessuna grandezza che è contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse. Segue che il rapporto tra le misure di due grandezze incommensurabili è un numero IRRAZIONALE .

11. Un esempio di grandezze incommensurabili • il lato e la diagonale di un quadrato • il lato e l’ altezza di un triangolo equilatero • il lato e l’ apotema dell’ esagono regolare • la circonferenza ed il suo raggio

12. Ragionamento per assurdo supponiamo che lato e diagonale siano commensurabili, cioè abbiano un sottomultiplo comune u AC =pu AB =qu AB²+BC²=AC² q²u²+q²u²=p²u² p²=2q² Possiamo supporre che p e q siano primi fra loro P² è pari, dunque p è pari, allora q deve essere dispari pongo p = 2s, allora 4s² = 2q² 2s² = q² q² pari, dunque q è pari q dovrebbe essere contemporaneamente pari e dispari, il che è assurdo. Dunque il lato e la diagonale del quadrato sono incommensurabili Teor.di Pitagora

13. « Esplorare il π è come esplorare l'Universo… » (David Chudnovsky)

14. Il simbolo π per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics, benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio.il simbolo π venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che, nel 1706 lo usò in onore di Pitagora

15. La costante matematica π è utilizzata moltissimo in matematica e fisica. Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio, o anche come l'area di un cerchio di raggio 1

16. π è conosciuto anche come la costante di Archimede (da non confondere con i numeri di Archimede), la costante di Ludolph o numero di Ludolph.

17. Contrariamente ad un'idea comune, π non è una costante fisica o naturale, quanto piuttosto una costante matematica definita in modo astratto, indipendente dalle misure di carattere fisico.

18. A causa della sua natura trascendente, non ci sono semplici espressioni finite che rappresentano π. Di conseguenza i calcoli numerici devono usare approssimazioni del numero. In molti casi, 3,14 è sufficiente

19. La conoscenza non lascia nulla di nascosto. Così nacquero i numeri irrazionali, che non sono esprimibili con un rapporto di interi, come le radici quadrate, il pi greco. Sono quei numeri il cui sviluppo decimale procede all’infinito. Fu così che l’infinito approdò sulle rive della matematica e del pensiero. Finisce così la teoria pitagorica che il NUMERO ha la facoltà di regolatore del mondo intero……