Modele dynamiczne

1. Modele dynamiczne Przykłady podejść do modelowania systemów różnych kategorii rozpoczniemy od: Modeli dynamicznych typu white – box, czyli modeli fenomenologicznych Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym • Przypadki, kiedy cele modelowania wymagają budowy modeli dynamicznych: • chcemy badać w oparciu o model stany przejściowe (nieustalone) systemu; • chcemy przeprowadzać w oparciu o model analizę stabilności, obserwowalności, sterowalności; • chcemy generować sterowania systemem w oparciu o predykcję wyjść systemu (sterowanie predykcyjne) • ………

2. Propozycja kroków budowy modelu dynamicznego • Krok I: Dokładne określenie systemu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia • Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji systemu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami systemu rzeczywistego • Krok III: Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację systemu

3. Krok I Wyodrębnienie obiektu Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych – tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych – tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie

4. Krok II Idealizowana reprezentacja Pod pojęciem idealizowanej reprezentacji rozumiemy utworzony w myśli system, który odpowiada rzeczywistemu pod względem jego istotnych cech wynikających z celów modelowania, ale jest prostszy (idealniejszy) i dlatego łatwiej poddający się analizie Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu

5. Lista często zakładanych przybliżeń: pominięcie małych wpływów; założenie, że modelowany system nie powoduje zmian w swoim otoczeniu; zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione; przyjmowanie zależności liniowych pomiędzy wielkościami opisującymi przyczyny i skutki; założenie, że parametry elementów systemu nie zmieniają się w czasie; pomijanie szumów i nieokreśloności

6. Skutki zakładania przybliżeń pominięcie małych wpływów Pomijanie małych wpływów w modelu idealizowanym zmniejsza liczbę zmiennych modelu, a przez to liczbę i stopień skomplikowania relacji modelu matematycznego Przykład: Schemat elektryczny przedstawiony na rysunku • pominięto małą wartość indukcyjności i pojemności jaką wykazują rzeczywiste rezystory R2 i R3 • pominięto małą wartość rezystancji upływnościowej kondensatora C5 • .....

7. (b)założenie, że modelowany system nie powoduje zmian w swoim otoczeniu Przyjmowanie, że otoczenie jest niezależne od modelowanego systemu zmniejsza liczbę zmiennych modelu, a przez to liczbę i stopień skomplikowania relacji modelu matematycznego Przykład: 1) Wartość napięcia źródła napięciowego, wartość prądu źródła prądowego nie zależy odpowiednio od prądu płynącego przez źródło napięciowe, napięcia na źródle prądowym

8. (c) zastąpienie parametrów rozłożonych przez parametry skupione Zastąpienie parametrów rozłożonych parametrami skupionymi prowadzi do zastąpienia opisu równaniami różniczkowymi cząstkowymi, opisem równaniami różniczkowymi zwyczajnymi • Przykłady: • Zastąpienie temperatury ciała temperaturą średnią; • Założenie jednolitego wymieszania w całej objętości mieszaniny; • Zastąpienie linii przesyłowej elektrycznej szeregowo połączonymi czwórnikami RLC; • Zastąpienie masy belki zginanej masą punktową; • ......

9. (d) przyjmowanie zależności liniowych między wielkościami opisującymi przyczyny i skutki Przyjmowanie zależności liniowych prowadzi do zastąpienia opisu równaniami różniczkowymi nieliniowymi, opisem równaniami różniczkowymi liniowymi • Możliwość skorzystania z właściwości: • Proporcjonalności • Addytywności • czyli superpozycji • Przykłady: • Przyjęcie, że rezystancja nie zależy od płynącego przez rezystor prądu; • Przyjęcie, że zależność między wydłużeniem sprężyny a siłą rozciągającą jest proporcjonalna; • ......

10. (e) założenie, że parametry elementów systemu nie zmieniają się w czasie (są stałe w czasie) Przyjęcie założenia o stałości parametrów modelu prowadzi do zastąpienia opisu równaniami niestacjonarnymi (o zmiennych w czasie współczynnikach), opisem równaniami różniczkowymi stacjonarnymi (o stałych współczynnikach) • Przykłady: • Przyjęcie, że współczynnik chropowatości rurociągu sieci wodociągowej nie zmienia się w ciągu tygodnia; • Przyjęcie, że upływność izolacji nie zmienia się w ciągu miesiąca; • ......

11. (f) pomijanie szumów i nieokreśloności Pomijanie szumów i nieokreśloności i przyjęcie, że wszystkie wielkości i parametry mają określone i dokładnie znane wartości, usuwa potrzebę podejścia do modelowania na gruncie stochastycznym • Przykłady: • Przyjęcie, że współczynnik ma wartość średnią ze zbioru pewnych wartości; • Przyjęcie, że zakłócenia mają określony przebieg w czasie • ......

12. Krok III • Budowa modelu (struktury) w oparciu o: • Wykorzystanie praw zachowania lub innych podstawowych praw o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoff’a, Newtona, zachowania masy, itd..) • zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona

13. Od idealizowanej reprezentacji systemu do modelu matematycznego Wyprowadzenie równań modelu poprzedzamy: właściwym wyborem zmiennych, które będą opisywać chwilowy stan systemu

14. Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne:  przepływu, naporu Zmienne przepływu są zmiennymi systemu, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – prędkość liniowa wyrażona np. w metrach/sekundę lub prędkość kątowa wyrażona np. w radianach/sekundę; 2) W systemach elektrycznych – natężenie prądu wyrażone np. w amperach (kulombach/sekundę); 3) W systemach płynowych – objętościowe natężenie przepływu wyrażone np. w metrach sześciennych/sekundę, lub masowe natężenie przepływu wyrażone w np. w kilogramach/sekundę; 4) W systemach cieplnych – natężenie przepływu ciepła wyrażone np. w joulach/sekundę

15. Zmienne naporu są zmiennymi systemu, które są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu systemu, wyrażają „napór” jakiemu poddany jest element Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – siła działająca na element wyrażona np. w niutonach; 2) W systemach elektrycznych – napięcie wyrażone np. w woltach; 3) W systemach płynowych – spadek ciśnienia wyrażony np. w pascalach 4) W systemach cieplnych – temperatura wyrażona np. w stopniach Celsjusza

16. Centralne zagadnienie wyprowadzenia równań dynamiki Sformułowanie zależności (równań) wyrażających warunki równowagi , poprzez podanie bilansów wielkości właściwych dla rozważanego systemu, które muszą zachodzić dla całego systemu i jego podsystemów lub zależności (równań) wyrażających warunki spójnościdynamiki, które muszą zachodzić pomiędzy elementami systemu ze względu na sposób w jaki elementy te łączą się ze sobą

17. Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoff’a, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle, ...) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi naporu (II prawo Kirchhoff’a, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu, ...)

18. Po wyprowadzeniu równań wynikających z praw zachowania rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących wielkości związane z poszczególnymi elementami systemu Uwzględniamy również - przyjęte założenia - występujące w systemie tożsamości • Systematyczny porządek: • wybór zmiennych; • zestawienie równań równowagi lub spójności; • uwzględnienie zależności wiążących, założeń, tożsamości • a wynikowe równania zestawiamy w układ, w którym pozostawiamy jedynie wybrane przez nas zmienne niezależne i zależne

19. Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i spadku dla każdego poszczególnego elementu systemu (np. , ...)

20. Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu