Prof. Rodrigo Fioravanti Pereira Orientador: Dr. Marcio Violante Ferreira

1. Título Introdução Montante Composto Taxas Sair ATIVIDADES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS Prof. Rodrigo Fioravanti Pereira Orientador: Dr. Marcio Violante Ferreira

2. Título Titulo Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Sair Sair Matemática financeira O que acontece Formam-se profissionais com características fortes do ponto de vista do conteúdo puramente matemático mas inexperientes quanto a aplicações deste conteúdo à realidade do mercado. A matemática financeira é amplamente trabalhada em diversos cursos de graduação por ser uma ferramenta adequada para a tomada de decisões relacionadas ao mercado financeiro. No ensino Proposta Entretanto, o ensino desta disciplina mostra-se alheio à realidade do mercado que deveria ter como fim. A percepção deste fato é clara se observados os livros didáticos de matemática financeira que trazem a disciplina de forma estanque, com os problemas previamente determinados, sem espaço para as novidades e imprevistos do mercado. A proposta deste trabalho é dar ferramentas para a contextualização da matemática financeira com o mercado financeiro no mesmo momento que constrói o conteúdo matemático de forma aplicada ao mercado que está se desenvolvendo contemporaneamente.

3. Título Título Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Sair Sair Seção A: Desenvolvimento da fórmula do Montante Compostos. Atividade 1: Na tabela abaixo obtida a partir de dados bancários analise o índice da poupança e faça o que se pede a seguir

4. Título Título Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Sair Sair Dica Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da tabela, considerando o índice da poupança a cada mês. FV (Future Value)  é o montante auferido a cada mês. 0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15 1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9 2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371 3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191 4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332 5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965 6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032 ... 12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092

5. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Atividade 2: Estime, mentalmente, um valor médio que poderia resumir todas as taxas da poupança constantes na tabela. 0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15 Pela tabela, percebe-se que uma estimativa para o valor procurado é de 0,6% a.m.

6. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Resposta 1° mês → 1000 x 1,006 2° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2 3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3 4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4 ... n° mês → 1000 x 1,006 x ...x 1,006 = 1000(1,006)n 1° mês → 10001,006 = 1006 2° mês → 1012,036 3° mês → 1018,1082 4° mês → 1024,2168 ... 12° mês → 1074,4241 Atividade 3: Calcular o montante ao final dos 12 meses, a partir do capital de R$ 1000,00 e da taxa estimada de 0,6% a.m. 1º mês (1+0,6 / 100) = 1,006 1000 X 1,006 =1006 Esta forma de resolução é comum entre os estudantes mas não permite a visualização da fórmula do montante composto.

7. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Modelo Atividade 3: Construir a fórmula do montante composto a partir das experiências anteriores 1° mês → 1000 x 1,006 2° mês →1000 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)2 3° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)3 4° mês →1000 x 1,006 x 1,006 x 1,006 x 1,006 = 1000(1,006)4 ... n° mês → 1000 x 1,006 x ... x 1,006 = 1000(1,006)n FV = 1000(1 + 0,006)n FVFuture Value - Montante PV present value i  taxa decimal n número de capitalizações FV = PV(1 + i)n

8. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Resposta Fórmula do montante composto Com a fórmula a disposição, é tempo de experimentá-la, a fim de surgir o convencimento com relação às suas vantagens além de permitir que os alunos desfrutem dos benefícios do seu próprio trabalho. FV = PV(1 + i)n Neste sentido, pede-se o montante de uma aplicação de longo prazo, como por exemplo 120 meses, mantendo a taxa de 0,6%a.m e o capital inicial de R$ 1000,00. FV = 2050,01

9. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Seção B: Taxas Proporcionais e Equivalentes Atividade 1: Procurar no extrato bancário a relação entre as taxas mensal e anual de cada tipo de crédito, supor um capital inicial de R$ 100,00 e calcular o montante, ao final de um ano, para a taxa mensal e anual.

10. Título Título Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Sair Sair Taxas CDC AUTOMOVEIS Taxa i: 1,80% mensal 23,87%, anual Para i = 1,80% a.m. Para i = 23,87% a.a. Percebe-se que os dois montantes são iguais e que a taxa anual aparece no extrato com duas casas depois da vírgula para fins de arredondamento.

11. Título Título Título Título Introdução Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Sair CRED. PESSOAL Taxa i: 3,85% mensal 57,35%, anual Para i = 3,85% a.m. Para i = 57,35% a.a. Novamente a igualdade foi comprovada

12. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Atividade 2: Com base nos procedimentos anteriores, construir uma fórmula para as taxas equivalentes Concluindo que os valores encontrados são iguais a busca da fórmula que relaciona a taxa mensalcom a anual passa por igualar as fórmulas dos montantes encontrados nos cálculos anteriores. Abaixo, segue o desenvolvimento feito para o CDC Automóveis: Mensal Anual Como o montante obtido pela taxa mensal é o mesmo da taxa anual podemos escrever o modelo abaixo Esta é a fórmula das taxas equivalentes para os juros compostos.

13. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Atividade 3: Ainda no extrato, temos uma taxa de i=7,95% a.m. que não possui a sua taxa anual equivalente. Propõe-se o cálculo da tal taxa utilizando a fórmula que foi desenvolvida. Logo, a taxa anual equivalente a 7,95%a.m. é 150,42% a.a.

14. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair CRÉDITO UM MINUTO A fórmula que desenvolvida anteriormente, foi utilizada nesta atividade. Nota-se que a taxa encontrada é menor do que a indicada no extrato. A discussão em aula desta disparidade é um ótimo exercício.

15. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Atividade 2: Utilizando o modelo encontrado, analisar a fatura do cartão de crédito mostrada abaixo procurando confirmar as taxas mensais e anuais cobradas pela operadora. Baseados nas informações que já temos sobre o mercado financeiro, o que podemos afirmar sobre estas taxas?

16. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Nele estão assinaladas a taxa mensal e anual de juros do cartão (11,50%a.m. e 269,23%a.a.). Verifica-se através de cálculos que estas taxas são equivalentes. A comparação entre as taxas dos dois exercícios é um importante fator de conhecimento crítico do mercado financeiro.

17. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Seção C: Taxa Nominal e Efetiva Quando se contrata um “Crédito Um Minuto”, do Banrisul, além dos juros de 4,80% a.m., segundo o extrato do Banrisul usado como exemplo, é cobrada uma taxa administrativa de R$ 8,50 devido à realização do empréstimo (taxa informada pela gerente de contas do banco). Atividade 1: A partir das informações acima, responda como esta taxa administrativa influi na taxa efetiva de juros. Será que a taxa de juros já considera esta cobrança? Proposta: Supor um empréstimo de R$ 1000,00 por 3 meses. Conhecendo as taxas (de juros e administrativa) do “Crédito Um Minuto”, quanto o tomador do empréstimo efetivamente levará para casa e quanto ele deverá pagar ao banco até o final do empréstimo?

18. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Cálculo dos juros sobre um empréstimo de R$1000,00 durante 3 meses: Como sobre os R$ 1000,00 incide uma taxa administrativa de R$ 8,50, o empréstimo será calculado sobre R$ 1008,5 e não sobre R$ 1000,00. Lembrar que o Crédito Um Minuto”, do Banrisul, os juros são de 4,80% a.m Obtem-se, sucessivamente,

19. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Sabendo que o tomador do crédito levou pra casa a quantia de R$ 1000,00 e pagará, após 3 meses, o montante de R$ 1160,80, podemos calcular de quanto será o juro efetivo a ser pago: Logo, a taxa de juros que incide efetivamente sobre a operação é de 5,096% a.m. e não apenas os 4,8% a.m. indicada no extrato

20. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Seção D: Desconto Composto OBS: Nesta seção pressupõe-se o conhecimento das diferentes regras dos descontos. Atividade 1: Vamos considerar um título tal como uma nota promissória, que tem um valor de face de R$1000,00 e é vencível em 40 dias, pergunta: Se este título for descontado antes dos 40 dias, o seu portador ainda ficará com os R$1000,00?

21. Título Título Título Introdução Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Taxas Sair Sair Sair Desconto racional: pela definição de desconto racional, o valor atual (Va) deve ser “levado”, por 3 meses, até a data do cheque pela taxa da operação, onde terá o mesmo valor do cheque Formalização: Desconto comercial: já no desconto comercial, o valor nominal (N) é descontado por 3 meses pela taxa de desconto até assumir o valor atual (Va). Formalização: N

22. Título Título Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Sair Sair Conclusão: Este trabalho buscou a mescla da realidade financeira com a construção do conteúdo matemático constante na maioria das ementas da disciplina de matemática financeira. Neste sentido, a proposta desenvolvida trabalhou o conteúdo dos juros compostos por estar presente, direta ou indiretamente, na maioria das situações do mercado financeiro e no conteúdo da matemática financeira.

23. Título Título Introdução Introdução Montante Composto Montante Composto Taxas Taxas Sair Sair Determine, a partir de um capital inicial de R$ 1000,00, o montante ao final dos 12 meses constantes da tabela, considerando o índice da poupança a cada mês. FV (Future Value)  é o montante auferido a cada mês. 0,59 0,63 0,67 0,60 0,65 0,65 0,54 0,61 0,56 0,56 0,60 0,52 1,12 7,53 16,46 27,15 1° mês → FV1 = 1000 (1,0059) = 1005,9 2° mês → FV2 = 1005,9 (1,0063) = 1012,2371 3° mês → FV3 = 1012,2371 (1,0067) = 1019,0191 4° mês → FV4 = 1019,0191 (1,0060) = 1025,1332 5° mês → FV5 = 1025,1332 (1,0065) = 1031,7965 6° mês → FV6 = 1031,7965 (1,0065) = 1038,5032 ... 12° mês → FV12 = 1068,6522 (1,0052) = 1074,2092 Para darmos um acréscimo a um valor inicial multiplicamos este valor por 1+ a taxa de acréscimo. Exemplificando: Se a taxa de acréscimo i =0,4% => 0,004 teremos = 1 + 0,004 =1,004 Fechar