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Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica. Sommario. Richiami di Meccanica Quantistica Evoluzione temporale Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg Serie di Dyson Matrice S Probabilita ’ di transizione Regola d’oro Fattore di spazio delle fasi.
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Sommario • RichiamidiMeccanicaQuantistica • Evoluzionetemporale • RappresentazionidiSchroedinger e di Heisenberg • Seriedi Dyson • Matrice S • Probabilita’ ditransizione • Regolad’oro • Fattoredispaziodellefasi F. Bianchi
Ket, Bra, Operatori (1) • |a> ket, vettoredistato in spaziovettorialecomplesso. • |a> + |b> = |c> sommadiket e’ un ket • c|a> =|a>c cnumerocomplesso • |a> e c|a> rappresentano lo stessostatofisico • Un’osservabile A puo’ essererappresentatada un operatore. • In generaleA|a> e’ diversodac|a> • Per gliautoketdi A vale la proprieta’ A|a1> = c1|a1>, A|a2>=c2|a2>,… • L’insiemedeinumerici e’ l’insiemedegliautovaloridi A • Glistatifisicicorrispondentiagliautoket |ai> sonochiamatiautostatidi A • Gliautoketdiun’osservabile A costituisconouna base in unospaziovettoriale: • Un genericoketpuo’ esserescritto come |b> = Sici|ai> F. Bianchi
Ket, Bra, Operatori (2) • Spaziodei bra <a|, spaziovettorialedualedellospaziodeiket • ca|a> + cb|b> c*a<a| + c*b<b| • Prodottointerno: <b|a> • <b|a> = <a|b>* • <a|a> >= 0 • |a> e |b> ortogonali se <a|b> = 0 • X|a> <a|X+ • X+ e’ operatoreaggiuntodi X (in rappresentazionematriciale, l’aggiuntodi X siottienesostituendoXij con X*ji) • OperatoriHermitiani: X=X+ • (XY)+ = Y+X+ • Autovaloridi un operatoreHermitianosonoreali • Autoketdi un operatorehermitianosonoortogonali e possonoesserenormalizzati: <ai|aj> = dij. Formanouna base • Relazionedicompletezza: Si|ai><ai| = 1 Operatoreidentita’ F. Bianchi
RappresentazioneMatriciale • X=SiSj|ai><ai| X|aj><aj| • Cisono N2numeridella forma <ai| X|aj> • Possonoesseredisposti in unamatricequadrata (iindicediriga, j di colonna) • Gli |ai> sianouna base. Allora: F. Bianchi
Misura in MQ • “Unamisurafasempresaltareilsistema in un autostatodellavariabiledinamicachesimisura” (P.A.M. Dirac) • Prima dellamisura: |b> = Sici|ai> • La misuradell’osservabile A fasaltareilsistema in |ai> unodegliautostatidi A • Eccezione: quandoilsistemasitrovagia’ in un autostatodi A • Il risultatodiunamisura e’ unodegliautovaloridi A. • Probabilita’ cheilsistemasaltinell’autostato |ai> e’ |<ai|b>|2 • Valorediaspettazionedi A in unostato |b>: <b| X|b>=<A> • Se ai e’ l’autovaloredell’autostato|ai> <A> = Siai|<ai|b>|2 F. Bianchi
OsservabiliCompatibili, OperatoriUnitari • Quandoicorrispondentioperatoricommutano: [A,B] = 0 • Sonodiagonalizzabilicontemporaneamente • Hanno autostaticomuni: |ai,bi> • A|ai,bi> = ai|ai,bi> • B|ai,bi> = bi|ai,bi> • Autovaloredegenere: quando a diversiautostatidi un operatorecorrisponde lo stessoautovalore. • Date due basidiketortonormali e complete |ai> e |bi>, esiste un operatoreunitario U (UU+=U+U=1) tale che: • |bi> = U|ai> • Uij=<ai|U|aj> = <ai|bj> • X’ =U+XU dove X e’ la rappresentazionematricialedi un operatorenella base |ai> e X’ e’ la suarappresentazionenella base |bi>, F. Bianchi
EvoluzioneTemporale in MQ (1) • Tempo e’ parametro (e non un operatore) • A t= t0stato del sistema e’ |a> • Ad un tempo t>t0 lo stato del sistema e’|a,t0;t> • limt->t0 |a,t0;t> = |a,t0;t0>=|a>=|a,t0> • Vogliamostudiarel’evoluzionetemporale |a> |a,t0;t> • Introduciamol’operatoredievoluzionetemporale U(t,t0) • |a,t0;t> = U(t,t0) |a,t0> • U+U=1 • U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0) proprieta’ dicomposizione • Operatoreinfinitesimodievoluzionetemporale: • |a,t0;t0+dt> = U(t0+dt,t0) |a,t0> • limdt->0 U(t0+dt,t0) = 1 • Tutterichiestesonosoddisfatte con U(t0+dt,t0) = 1-iWdt; W+=W • Identificando W con l’Hamiltoniana H: W=H/h: • U(t0+dt,t0) = 1-i(Hdt)/h F. Bianchi
EvoluzioneTemporale in MQ (2) • Usando la proprieta’ dicomposizione: • Questa e’ l’equazionediSchroedinger per l’operatoredievoluzionetemporaleMoltiplicando ambo imembri per ilketdistato |a,t0>: • Che e’ l’equazionediSchroedinger per un ketdistato. • Se vienedato U(t,t0) e sappiamo come agiscesu |a,t0>, non abbiamobisognodioccuparcidell’equazionediSchroedinger per iketdistato, bastaapplicare U(t,t0) a |a,t0> per ottenere |a,t0;t>. Dobbiamotrovaresoluzionidell’equazionediSchroedinger per U(t,t0) con la condizioneiniziale U(t0,t0)=1 F. Bianchi
EvoluzioneTemporale in MQ (3) • Equazionedarisolvere: • Trecasi: F. Bianchi
EvoluzioneTemporale in MQ (4) • Occupiamoci del caso 1 (H non dipendedal tempo). Per sapere come agisce U(t,t=0) su un genericoket, dobbiamocapire come agisce sui ketdiuna base. • Scegliamo come base gliautoketdi un operatore A tale che [A,H]=0 • autoketdi A sonoautoketdi H: H|a’>=Ea’|a’> • Se e’ nota l’espansione del ketiniziale |b>: N.B.: Le fasi relative delle diverse componenti Cambianonel tempo perche’ le frequenzedi oscillazionisono diverse F. Bianchi
EvoluzioneTemporale in MQ (5) • Casospeciale: • Se ilsistema e’ in un autostatodi A ed H rimane in tale autostato • Se [A,H]=0 allora A e’ unacostante del moto • Si puo’ facilmentegeneralizzare al casodi diverse osservabilicompatibilitradiloro e con H. • E’ fondamentaletrovare un insiemediosservabilicompatibilifraloro e con H F. Bianchi
EvoluzioneTemporale in MQ (6) • Consideriamooraunaosservabile B che non commutanecessariamente con A od H e calcoliamoneil valor medio in un autostatodi A • <B> e’ indipendentedal tempo autostatidell’energiasonostazionari • Calcoliamo <B> in unostato non stazionario. Se lo stato non e’ stazionario, lo sipuo’ esprimere come unasovrapposizionediautostatidell’energia. F. Bianchi
RappresentazionediSchroedinger • Quella vista finora: • Glistatievolvononel tempo, glioperatorisonostazionari Valorediaspettazione F. Bianchi
Rappresentazionedi Heisenberg • Glistatirestanocostanti • Le osservabili (glioperatori) evolvononel tempo Equazione del motodiHeisemberg Valorediaspettazione Identiconelle due rappresentazioni F. Bianchi
MomentoMagnetico in Campo Costante(1) F. Bianchi
MomentoMagnetico in Campo Costante(2) F. Bianchi
MomentoMagnetico in Campo Costante(3) F. Bianchi
Rappresentazioned’Interazione(1) • Dovuta a Dirac • Utile quando H =H0 + H’(t) • H0terminelibero • V(t) termined’interazioneeventualmentedipendentedal tempo • Intermediatra la rappresentazionedi Heisenberg e quelladiSchroedinger • Osservabilivarianonel tempo: evoluzionedeterminatada H0 • Stativarianonel tempo: evoluzionedeterminatadaltermined’interazione F. Bianchi
Rappresentazioned’Interazione(2) • Supponiamoche: H =H0 + H’(t) H0|n> = En|n> • Consideriamo un ketarbitrario, cheall’istante t=0 e’ datoda: |a> = Sncn(0)|n> • Il nostroproblema e’ determinareicn(t) taliche: |a,t=0;t>= Sncn(t)exp(-iEnt/h)|n> • Attenzioneallafattorizzazionedelladipendenzatemporale: • Il fattore exp(-iEnt/h) sarebbepresenteanche in assenzadi H’(t) • La dipendenzadal tempo dicn(t) e’ dovuta a H’(t). In assenzadi H’(t) cn(t)= cn(0) F. Bianchi
Rappresentazioned’Interazione(3) Sviluppodi un ketgenerico nella base diautostatidi H0 Moltiplichiamo ambo imembri dell’equaz. di Sch. per iket per <n| edusando la relazionedicompletezza Definizionedeicn(t) Equazionematriciale !!! F. Bianchi
Seriedi Dyson(1) • Soluzionediequazionedifferenziale per cn(t) in generalecomplicata approccioperturbativo • Lavoriamo con l’operatoredievoluzionetemporale UI(t,t0) definitoda: |a,t0;t>I=UI(t,t0)|a,t0;t0>I • Chequindisoddisfaall’equaz: • Con la condizioneinizialeU(t0,t0)=1 F. Bianchi
Seriedi Dyson(2) • Equazdifferenziale + condizinizialeequivalente a equazioneintegrale: • Soluzioneiterativa: F. Bianchi
Probabilita’ diTransizione (1) • Relazionetra UI(t,t0) ed U(t,t0) (nellarappdiSchroedinger) • Elementodimatricedi UI(t,t0) traautostatidi H0: • Ampiezzaditransizione: diversanellarappdiInterazioneed in quelladiSchroedinger • Ma la probabilita’ ditransizione: • E’ la stessa ! (N.B.: solo traautostatidi H0) F. Bianchi
Probabilita’ diTransizione (2) • Supponiamoche a t =0 ilsistemasia in un autostatodi H0, |i>: • Confrontando con: • Si vedeche: • Ancheicn(t) possonoesseresviluppati in modoperturbativo: F. Bianchi
Probabilita’ diTransizione (3) • Confrontando con lo sviluppoperturbativodi UI(t,0): • Ampiezzaditransizioneall’ordine j da|i> ad|n>: cn(j)(t) • Terminediordine 0: nessunainterazione • La Smnelterminediordine 2 ha ilsensodisomma sui possibilistatiintermedi • Probabilita’ ditransizioneda |i> ad |n> ( statidiversifraloro!): F. Bianchi
Intuitivamente…. F. Bianchi
PerturbazioneCostante (1) H’ = costante Sviluppodell’ampiezzaditransizione |i> |f>: F. Bianchi
PerturbazioneCostante (2) • Termineordine zero: evoluzioneliberadellostatoinizialeda t0 a t senzascambioenergia con interazione • Termine primo ordine:evoluzioneliberadellostatoinizialeda t0 a t1 in cui avvienescambioenergia con interazionechelasciailsistemanellostato finale che evolve liberamenteda t1 a t • Terminesecondoordine: evoluzioneliberadellostatoinizialeda t0 a t1 in cui avvienescambioenergia con interazionechelasciailsistema in unostatointermedio |a> che evolve liberamenteda t1 a t2. Nell’istante t2c’e’ un ulteriorescambioenergia con interazionechelasciailsistemanellostato finale che evolve liberamenteda t2 a t. • Oltre ad integraresututtiipossibiliistanti t1 e t2occorreanchesommaresututtiipossibilistatiintermedi. • E cosi’ via per tuittiglialtriordiniperturbativi…. • Ad ogniordineilsistema evolve liberamente con H0fraivertici dove interagisce con la perturbazione H’ F. Bianchi
Matrice S (1) • Finora: ampiezzaditransizione per intervallodi tempo finito • Per studio diproblemidi scattering e’ piu’ interessantel’estensione ad intervallodi tempo infinito. Introduciamo la matricedi Scattering: • Scambiodisommatoria e limiteforza un po’ la matematica…. • Il sistemasiconsidera non interagente con la perturbazione a tempi lunghinelpassato e nelfuturo. • Glistatiasintotici |i> ed |f> sonoautostatidi H0 F. Bianchi
Matrice S (2) Sommasustatiintermedi include integrazionesugradidiliberta’ continui F. Bianchi
Matrice T • Se la seriesisapessesommare, sipotrebbescrivere: • Dove T e’ la matriceditransizione, il cui sviluppoperturbativo e’: • Glielementidi T, trastatiimperturbati, rappresentano la somma (in principio infinita) delleampiezze per lo scambiodi 1,2,..n quantifrasistemaimperturbato e perturbazione • Interpretazione:negliordinisuperiori al primo compaionostatiintermedi (virtuali), checorrispondono a transizioni interne al processo in cui ilsistemascambiaenergia con la perturbazione • N.B: nelleinterazioniintermedieilsistema non conserval’energiachevieneinvececonservataglobalmente grazie aallad • Si puo’ far risalireallarelazionediindeterminazione tempo-energia. F. Bianchi
Probabilita’ diTransizione (1) F. Bianchi
Probabilita’ diTransizione (2) • Probabilita’ ditransizione al primo ordinetragliautostati |i> ed |f> di H0: • Probabilita’ ditransizione per unita’ di tempo: F. Bianchi
Probabilita’ diTransizione (3) • Prob. di transizione per unita’ di tempo, al II ordine perturbativo: • Quando e’ importante considerare ordini perturbativi > 1 ? • Quando l’elemento di matrice al I ordine e’ = 0 • (P.es. per motivi di simmetria) • Quando e’ necessaria elevata accuratezza • N.B: Tutti gli elementi di matrice di processi relativistici fra particelle reali sono come minimo del II ordine; quelli del I ordine non conservano E,p F. Bianchi
UnaRappresentazionedellad F. Bianchi
LimitiSbarazzini F. Bianchi
CommentisulleProbabilita’ diTransizione • Finora: transizionetrastati |i> ed |f> specificati solo dalleenergie • In generalefissareEf non fissaunivocamente lo stato finale: esisteunamolteplicita’ distatifinali (degeneri) corrispondenti ad una data energia • Questa molteplicita’ e’ funzionedell’energia. • Per una data Efsipuo’ determinare la densita’ deglistatifinali per intervallodienergia • In praticasiamointeressatiallaprobabilita’ ditransizione verso un gruppodistatituttiallaenergiaEf • Occorresommarewfisututtiglistatifinalichesiconsiderano. • Normalmentesipuo’ approssimare la somma con un integrale. F. Bianchi
Regolad’Oro N. 2 • Se gli stati finali costituiscono un continuo: • Prob. (infinitesima) di transizione verso un “intervallo (infinitesimo) di stati” • Al I ordine: regola d’oro n. 2 (Dirac, Fermi): • Nel caso di transizioni verso lo spettro continuo la d di fatto scompare • dn/dEf :densita' di stati finali/Intervallo di energia; Fattore di spazio delle fasi • Fattore puramente cinematico (non dinamico) caratteristico dello stato finale • Incremento del numero di stati finali accessibili al sistema per incremento unitariodell’energiadisponibile F. Bianchi
FattorediSpaziodelleFasi(1) Esempio 1: F. Bianchi
FattorediSpaziodelleFasi(2) Esempio 2: F. Bianchi
FattorediSpaziodelleFasi(3) • Esempio 3: • Due particelleliberesenzavincolitragliimpulsi • Quindi: F. Bianchi
Atomod’Idrogeno in Condensatore (1) • Atomodi H, nellostatofondamentale in condensatore piano collegato a generatoredicorrentealternatadifrequenzaw • Generatoreacceso a t= 0 e spento a t=t0 • EI (energiaionizzazione) • Hamiltonianod’interazione: • Due casi: hw<EI e hw>EI F. Bianchi
Atomod’Idrogeno in Condensatore (2) • Primo caso: hw<EI • Atomo non vieneionizzato, possiamocalcolareampiezzaditransizionefrastatofondamentaleedunodeglistatieccitati (insiemediscreto): • Da cui: F. Bianchi
Atomod’Idrogeno in Condensatore (3) • Se Ef>Ei, solo ilsecondotermine e’ importante e la probabilita’ ditransizionediventa: • La probabilita’ ditransizioneoscillanel tempo in funzionedelladuratadellaperturbazione con la frequenzadibattimento (differenzafrafrequenzadellaperturbazione e frequenzanaturaledellatransizione) F. Bianchi
Atomod’Idrogeno in Condensatore (4) • Secondocaso: hw>EI • L’atomosiionizza e lo stato finale appartiene al continuo. • Probabilita’ ditransizione verso un gruppodistati: • Poiche’ (slide 40): • Ne segue: F. Bianchi
Atomod’Idrogeno in Condensatore (5) • Alcuneconsiderazioni: • Il volume diquantizzazione L3sicancella con ifattoridinormalizzazione L3/2dellefunzionid’onda • Per avereprobabilita’ ditransizionefinitaoccorreintegraresu range finitodienergiaedangolosolidodell’elettrone • Trattiamol’elementodimatrice come costante: F. Bianchi