Meccanica Quantistica

1. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Meccanica Quantistica Ingredienti per una nuova meccanica quantistica – ondulatoria • Nuove costanti universali: velocità della luce c e costante di Plank h • Quantizzazione; relazione tra energia e frequenza: E = hn • Relazione tra quantità di moto e lunghezza d’onda: p = h/l • Dualismo onda – particella • Onda di materia associata alla probabilità di presenza di una particella in un punto dello spazio (tempo) • Interazione tra stato osservato ed apparato di osservazione • Osservabili collegate da un principio di indeterminazione • Bontà della Fisica Classica quando v << c e h ® 0

2. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Velocità di Gruppo • la velocità di propagazione dipende solo dalle caratteristiche del mezzo: elasticità, densità ... (NB.: vero, a rigore, per mezzi non dispersivi) • il mezzo, però, può reagire con diverse caratteristiche alle diverse frequenze con cui viene sollecitato: mezzo dispersivo. diverse per diverse • in tal caso si avranno velocità di fase frequenze, perché la relazione di dispersione • non - è lineare il che pone il problema se abbia senso chiedersi quale sia la velocità di un “gruppo” o “pacchetto” di onde in un mezzo dispersivo la risposta e’ si’, almeno in alcune situazioni

3. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Battimenti esempio: somma di due onde armoniche piane progressive con la stessa ampiezza e con fase iniziale nulla e si ha sfruttando l’ identita’ trigonometrica: ponendo: e riesce ovvero si e’ ottenuta un’onda la cui ampiezza non e’ piu’ costante ma “modulata in ampiezza”

4. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli la modulazione dell’ampiezza si propaga con la velocita’ o, passando agli infinitesimi, contemporaneamente, si ha la propagazione di un’onda armonica, detta “portante” che si propaga con velocita’ di fase alla somma di un gran numero di onde si da’ il nome di “ pacchetto d’onda” Vg e’ detta velocita’ di gruppo ed e’ la velocita’ con cui si propaga l’ inviluppo delle onde o “pacchetto d’onda” vale la relazione

5. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli onde armoniche di diversa ampiezza espressione che si riduce alla nel caso in cui le due onde armoniche abbiano uguale ampiezza l’equazione si può interpretare come un’onda sinusoidale progressiva, che si propaga con velocità di fase e la cui ampiezza varia da punto a punto ed istante per istante secondo la legge in particolare, se e v1 = v2 (wi = v ki,)mezzo non dispersivo vg= velocita’ di gruppo invece se v1¹v2 (wi = vi ki,)mezzo dispersivo vg= velocità della modulazione dell’ampiezza

6. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli la velocità di gruppo è la velocità del punto in cui tutte le differenze di fase delle singole onde che lo compongono si mantengono nulle. consideriamo ora n onde monocromatiche con pulsazioni equidistanziate traw1 e w2, fase iniziale nulla e uguale ampiezza, che si propagano nella stessa direzione relativamente ad un punto x0 fissato, che supponiamo per semplicità coincidente con l'origine, tali onde possono essere rappresentate nel piano complesso da n vettori ruotanti con pulsazioni distanziatedw:

7. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli all‘ istante iniziale gli n vettori saranno tutti sovrapposti e, quindi, l'ampiezza del risultanteY sarà la massima possibile. Col passare del tempo i vettori si apriranno a ventaglio così cheY ruoterà e diminuirà in lunghezza. Esempio: n = 4 si giungerà così all'istante tm,1 nel quale le punte degli n vettori occuperanno ciascuna uno dei vertici di un poligono regolare di n lati, così che l'angolo fra un vettore e il successivo sarà dato da … e saràY = 0.

8. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli e' a questo punto facile rendersi conto che si avrà un risultante nullo in tutti gli istanti di tempo t m,l tali che l =1, 2, 3,…,n-1 la prima volta, dopo l'istante iniziale, che l'ampiezza di Y tornerà ad essere massima sarà nell'istante nel quale gli n vettori saranno di nuovo sovrapposti; ciò capiterà quando l'angolo fra due vettori consecutivi sarà 2p, e cioè al tempo tM,1 tale che in funzione del tempo l’andamento diYapparirà circa come nel grafico, dove il parametroDt = tm,1caratterizza la “larghezza” temporale del pacchetto etM,1la distanza temporale tra due pacchetti.

9. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Principio di indeterminazione conclusione dalla precedente analisi: in modo del tutto analogo si può analizzare l’evoluzione diYnello spazio (in ogni dimensione) in un istante t = t0fissato e, con ovvio significato dei simboli, si arriva alla conclusione: Velocità di gruppo si arriva inoltre alle importanti relazioni di indeterminazione tempo – energia e posizione – impulso.

10. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Onde di materia proprietà delle Onde di Materia anche la materia è caratterizzata da una funzione d’onda con lunghezza d’onda, frequenza, velocità, ampiezza. la funzione d’onda è chiamata ampiezza di probabilità la funzione d’onda dovrà soddisfare l’equazione di D’Alembert: con soluzione, ad esempio, di onda piana monocromatica:

11. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli quali relazioni tra le grandezze caratteristiche di onde e particelle? partiamo dall’energia di un fotone, e proviamo a generalizzarla per l’energia di una particella di massa m, tenendo conto della relatività ristretta: NB.: assumere la costante h dei fotoni è una ipotesi, poi suffragata dagli esperimenti. identifichiamovcon la velocità di gruppo del pacchetto d’onde associato alla particella:

12. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli due equazioni fondamentali: alcuni modi di esprimere l in funzione delle grandezze della particella in moto:

13. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Meccanica Quantistica proprietà delle Onde di Materia Riassumendo: • ha energia concentrata ®particella • Un oggetto massivo: • è diffratto® onda • Le sue interazioni possono essere caratterizzate da entrambi gli aspetti (diffrazione e impatti localizzati). • L’onda associata ha un significato probabilistico: • La rappresentazione ondulatoria è inconciliabile con la individuazione di una traiettoria. • Stato dinamico di una particella ® • Stato dinamico di un’onda ® • Relazioni frequenza – energia, numero d’onda – impulso:

14. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli • Il problema fisico • In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario: • 1) identificare le grandezze che lo descrivono • 2) determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze (ivi compresa la loro evoluzione temporale) • L’impostazione “classica”: • posizione, momento (quantità di moto), momento angolare (momento della quantità di moto), energia cinetica e potenziale … • F= m a, equazioni cardinali, ecc. Approfondimenti da questa slide in poi: Corso di Sistemi Quantistici – Enrico Silva – Università Roma 3 http://webusers.fis.uniroma3.it/~silva/sisquant.html

15. esista una funzione , detta funzione d’onda, che contiene tutta l’informazione sul sistema in esame A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli L’approccio della Meccanica Quantistica secondo le indicazioni degli esperimenti e le interpretazioni date, si postula che: • tale funzione d’onda deve render conto dei dati sperimentali, e quindi deve poter: • • rappresentare enti dotati di lunghezza d’onda e frequenza • • soddisfare una equazione d’onda • • rappresentare una (densità di) probabilità • • rappresentare “particelle” il primo passo è quindi determinare le equazioni cui la funzione d’onda deve sottostare

16. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Equazione di Schrödinger, 1925 la funzione d’onda dovrà soddisfare l’equazione di D’Alembert: • da notare che : • la derivata seconda spaziale assicura la simmetria “onda progressiva – onda regressiva” • la derivata seconda temporale fa si che non si mescolino parte reale e parte immaginaria, come richiesto se la grandezza fisica è data dalla parte reale diY dato che la grandezza fisica direttamente rappresentata da Y è la densità di probabilità , possiamo rinunciare al secondo dei due requisiti consideriamo ancora come funzione di base ortonormale l’onda piana complessa: De Broglie

17. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli meccanica NON relativistica Equazione di Schrödinger … indipendente dal tempo … dipendente dal tempo notare la corrispondenza notare la linearità: seY1 eY2sono soluzioni, lo è ancheY= aY1 + bY2 da notare come E giochi il ruolo dell’ energia meccanica classica

18. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Interpretazione statistica Nella fisica classica la“misura” ha senso come operazione che rivela (per una certa grandezza), in un certo istante, lo stato preesistente di un sistema. La misura è ripetibile , e subito prima della stessa lo stato del sistema è sostanzialmente uguale. In meccanica quantistica la “misura” descrive uno dei tanti stati possibili. Non si può dire nulla dello stato del sistema nell’istante immediatamente precedente. Domanda: all’istante t si misura la posizione di una particella, che risulta essere x0 . Dove si trovava la particella immediatamente prima? La visione realistica(Einstein): Sicuramente si trova vicinissima a x0, ma la meccanica quantistica non è in grado di dimostrarlo: esistono “variabili nascoste” nella teoria, che quindi è incompleta. La visione agnostica: Non ha senso chiedersi cosa succede “prima”, visto che non si è in grado di misurarlo. La visione ortodossa(Bohr): La particella non era in alcun punto particolare finché l’operazione di misura l’ha costretta a presentarsi in un punto preciso. ma allora, cos’è una misura e che ruolo hanno l’osservatore e l’apparato?

19. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli La natura degli oggetti quantistici secondo il principio di indeterminazione di Heisemberg non possiamo misurare con infinita precisione e simultaneamente alcune proprieta’ correlate di una entita’ quantistica, ad esempio di un elettrone E’ tuttavia e’ legittimo domandarsi che cosa sia un elettrone prima della misura: è una particella localizzata, o un' onda distribuita nello spazio ? l'atto di misurazione induce un disturbo nelle proprietà dell'oggetto osservato, disturbo che renderebbe impossibile la determinazione simultanea di proprietà correlate Heisenberg a questo riguardo formulo’ la cosiddetta "interpretazione a disturbo“ : per esempio, l'atto di misurazione della posizione di un elettrone genererebbe un disturbo incontrollabile della sua velocità e quindi della sua quantita’ di moto nella fisica classica questi effetti di disturbo sarebberotrascurabili perché gli oggetti soggetti a misura sono macroscopici, e il disturbo causato dallo strumento di misura può essere trascurato ad esempio, l’impulso trasferito dai fotoni con cui illuminiamo un oggetto macroscopico soggetto a misurazione con una lente d'ingrandimento può essere trascurato ma nella fisica quantistica abbiamo a che fare con oggetti microscopici e secondo Heisenberg l'interazione fra strumento di misura ed oggetto non può essere trascurata e sarebbe proprio questa interazione a rendere impossibile la determinazione simultanea di proprieta’ correlate dal principio di indeterminazione l'interpretazione a disturbo del principio di indeterminazione è epistemica : ha a che fare con le limitazioni cui sono soggette le nostre misurazioni delle proprietà degli oggetti microfisici Epistematico dal greco epistéme (conoscenza), epistematico significa deduttivo: scienza epistematica è quella che procede per deduzioni, in antitesi alla scienza sperimentale o induttiva

20. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli l’ interpretazione epistemica di Heisemberg vieta solamente che sia possibile conoscere simultaneamente le proprietà correlate dal principio di indeterminazione conprecisione arbitraria nulla vieta nel contesto di questa interpretazione che questi oggetti possano possedere simultaneamente le proprietà correlateal principio di indeterminazione, per esempio che una particella possegga oggettivamente una posizione ed una velocità ben determinate a un istante dato a questa interpretazione si contrappone I ‘interpretazione ontologica del principio di indeterminazione In filosofia l'ontologia, branca fondamentale della metafisica, è lo studio dell'essere in quanto tale, nonché delle sue categorie fondamentali. secondo questa interpretazione, sostenuta dai seguaci dell’ interpretazione ortodossa della meccanica quantistica, la cosiddetta Scuola di Copenhagen, le particellenon possono possedere simultaneamente proprietà correlate dal principio di indeterminazione il mondo microfisico sarebbe costituito da micro-oggetti che non possono possedere simultaneamente e in modo perfettamente definito tali proprieta’ possiamo prendere come esempio il comportamento degli elettroni nell’esperienza della doppia fenditura: il fatto è che gli elettroni vengono rivelati come particelle all'atto della misurazione sullo schermo, ma non sembra possibile attribuirgli caratteristiche particellari prima della misura non sembra infatti possibile affermare che essi percorrano traiettorie continue nello spazio fra la sorgente e il rivelatore

21. 1 ? A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli se gli elettroni percorressero delle traiettorie e si avessero due fenditure ciascun elettrone passerebbe o dalla fenditura 1 o dalla fenditura 2 con due fenditure uguali avremmo che il 50% degli elettroni passerebbero dalla fenditura 1 (generando la curva di conteggio 1), e il 50% passerebbe dalla fenditura 2 (generando la curva di conteggio 2) il conteggio finale dovrebbe quindi dare la distribuzione 1 + 2 il che è confutato dall'esperienza la situazione bizzarra e’ che : • non è vero che ciascunelettrone passa dalla fenditura 1 o dalla • fenditura 2 (in questo caso avremmo la curva 1 + 2, e non la • curva 21); 2 2 1 • non è vero che ciascun elettrone non passa ne’ dalla fenditura 1 • ne’ dalla fenditura 2 (in questo caso tutti gli elettroni sarebbero • schermati) NO ! • non è vero che ciascun elettrone passa sia dallafenditura 1 sia • dalla fenditura 2 (un elettrone è sempre rivelato come una • particella concentrata nello spazio e non può trovarsi • contemporaneamentein due punti distinti). in conclusione : non è possibile attribuire all‘ elettrone ad ogni istante una posizione e una velocità ben definite e simultanee, non perché nel processo di misura disturbiamo il micro-oggetto, ma perché una tale attribuzione è in contrasto con l'esperienza le esperienze relative ad effetti di interferenza sarebbero in contrasto con l'affermazione che gli elettroni percorrono traiettorie continue nello spazio quindi secondo i fautori dell’interpretazione ontologica l'interpretazione a disturbo del principio di indeterminazione non può essere considerata valida

22. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli secondo questa interpretazione la dinamica dell'equazione di Schródinger deve essere sospesa all'atto della misura, atto in cui si ha la cosiddetta "riduzione del vettore di stato", o "collasso del pacchetto d'onde". l'equazione di Schroedinger che regola l'evoluzione nel tempodel vettore di stato non consente, infatti, cambiamenti discontinui nell'evoluzione del vettore tecnicamente si usa dire che l'elettrone, prima della misura che avviene sullo schermo, si trova in uno stato di sovrapposizione secondo il gergo della scuola di Copenhagen, all'atto della misura il vettore di stato subisce un "collasso" ; ossia viene "ridotto" da uno stato di sovrapposizione di stati ad un singolo stato ben definito anche questa interpretazione pone pero’ questioni profonde ad esempio : l'evoluzione temporale dell'elettrone è data dalla y che e’ soluzione dell'equazione di Schroedinger inoltre sappiamo che la ypuò essere rappresentata come combinazione lineare di onde, ciascuna delle quali rappresenta un possible stato dell'elettrone lo si e’ visto per esempio quando si e’ costruito un pacchetto d'onde. Si era in quel caso prodotto una y ben localizzata nello spazio sommando onde sinusoidali che rappresentavano la particella in uno stato di momento ben definito

23. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli si diceche la particella si trova in una sovrapposizione di questi stati puri ma la particella non si trova in nessuno di questi stati la meccanica quantistica ci dice solo qual è la probabilità che la particella si trovi - all'atto della misurazione - in uno stato invece che in un altro. il caso dello spin puo’ chiarire meglio il discorso : si può dimostrare che una particella preparata con spin verticale Sz = +1 si trova in uno stato di sovrapposizione degli spin orizzontali, in modo tale che si ha il 50% di probabiltà che venga misurato spin Sx = +1 e 50% di probabiltà che venga misurato spin Sx = -1 la particella non ha spin orizzontale a destra, non ha spin orizzontale a sinistra, non lo ha sia a destra che a sinistra, e non lo ha ne’ a destra ne’ a sinistra ma se misuriamo il suo spin orizzontale essa si rivelarà con uno spin ben definito (o a destra o a sinistra) l'atto della misurazione fa quindi "precipitare" la particella da uno stato di sovrapposizione di più stati puri in un ben preciso stato puro si dice che l'atto di misurazione fa collassare, o riduce, il pacchetto d’onde da notare come l'atto di misurazione abbia un carattere discontinuo ed irreversibile

24. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli la misura interrompe bruscamente lo sviluppo continuo e deterministico dellay, sviluppo che è regolato dalla equazione di Schroedinger in altre parole, all'atto della misurazione la dinamica regolata dall'equazione di Schroedinger è interrotta queste assunzioni costituiscono un problema legato alla misurazione e fanno sorgere spontanee una serie di questioni fondamentali : • che cos'è una particella quantistica prima della sua misurazione (ovvero che cosa è uno stato di sovrapposizione)? • in che senso possiamo attribuire a una particella quantistica prima della sua misurazione delle proprietà (per esempio, quella di passare o non passare dalla fenditura 1, o quella di avere, o non avere, spin orientato a destra) ? • che cosa avviene all'atto della misura ? • l'equazione di Schroedinger vale universalmente, o i processi di misurasfuggono alla sua applicazione ?

25. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Einstein critico’ decisamente l’interpretazione di Copenhagen non accettava in particolare l’idea che la realta’ fisica microscopica fosse intrinsecamente probabilistica propendeva piuttosto per una visione del mondo microfisico regolato dal determinismo dalla continuita’ spazio-temporale , dalla visuabilizzabilita’, dalla separabilita’ e dalla localita’ e soprattutto voleva opporsi ad una concezione fisica secondo la quale non e’ permesso di parlare di proprieta’ possedute dagli oggetti quantistici indipendentemente dalle procedure di misura ( contestualita’ ) infine per Einstein era problematica l’idea della discontinuita’ indotta nella funzione d’onda dall’atto della misurazione infatti nel collasso della funzione d’onda sembrava avvenire una interazione istantanea a distanza, cosa questa negata dalla teoria della relativita’ nel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen allo scopo di dimostrare l’incompletezza della meccanica quantistica evidenziarono una condizione paradossale della interpretazione ortodossa della meccanica quantistica, il cosiddetto paradosso EPR Incompletezza della teoria quantistica significa che vi sono elementi di realta’ che il formalismo della meccanica quantistica non e’ in grado di descrivere questo dette origine alle teorie delle cosiddete “ variabili nascoste “ sviluppate negli anni ’60 da Bohm il paradosso EPR prende le sue mosse partendo da stati quantici “ entangled

26. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli È stata proposta una interpretazione dell'entanglement conosciuta come teoria delle variabili nascoste ( Bohm et al. ) nella quale gradi di libertà sconosciuti causerebbero le correlazioni, ma è stato mostrato nel 1964 da Bell che è comunque possibile distinguere la teoria quantistica da una teoria di variabili nascoste locale, essendo in quest'ultimo caso le correlazioni presenti più deboli. in termini del tutto generali Bell fu in grado di dimostrare che nessuna teoria fisica a variabili locali nascoste puo’ riprodurre le predizioni della meccnica quantistica l’assunzione che le grandezze fisiche abbiano valori definiti indipendentemente dall’atto dell’osservazione e che gli effetti fisici abbiano una velocita’ di propagazione finita impone restrizioni dette disuguaglianze di Bell su determinati fenomeni che non sono richieste dalla meccanica quantistica ortodossa dal 1972 ad oggi una serie di osservazioni sperimentali dimostra la violazione delle disuguaglianze di Bell in completo accordo con l’interpretazione ortodossa della meccanica quantistica

27. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli conseguenze : dobbiamo assumere che la funzione d’onda evolve secondo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo. l’atto della misura “crea” la particella nella posizione x0 si dice che la funzione è collassata in x0in seguito all’operazione di misura (con i vincoli dati dalla funzione d’onda e dal soddisfacimento dell’equazione di Schrödinger) Il sistema è cambiato in maniera irreversibile: una seconda misura dopo un brevissimo intervallo deve dare un risultato molto vicino al primo. La funzione d’onda è divenuta un pacchetto d’onde molto piccato a x0 (che naturalmente evolve secondo l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo). L’atto della misura cambia radicalmente le condizioni al contorno.

28. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli assumendo valida l’ interpretazione statistica di Born diremo che la probabilità di trovare la particella rappresentata da Y(r,t) in un volume dV intorno al punto r, all’istante t, è data da: Onda di probabilità Densità di probabilità Ricordare: Y(r,t) è complessa Proprietà di normalizzazione Le uniche funzioni d’onda che hanno un significato fisico sono le funzioni normalizzabili. Y(r,t) deve annullarsi all’¥ più velocemente di 1/Ö r . NB: Y(r,t) = cost; Y(r,t) = 1/r, non sono normalizzabili Þ non sono funzioni d’onda fisiche!

29. e e’ l’operatore divergenza dove e’ l’operatore gradiente A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Interpretazione statistica conservazione della proprietà di normalizzazione,nel tempo: deve essere = 0 quindi ma e quindi applicando il teorema della divergenza notare che occorre cheY(r,t) si annulli abbastanza velocemente all’infinito affinche’ l’integrale converga

30. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli in una dimensione in analogia con la conservazione della carica elettrica in elettromagnetismo , le equazioni … rappresentano una legge di conservazione della (densità di) probabilità. se si definisce la densità di “corrente di probabilità”: legge di conservazione della probabilità in conclusione nell’equazione di Shroedinger e’ implicitamente contenuta la legge di conservazione della probabilita’ (equazione di continuita’) associata al moto del sistema quantistico

31. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli il valore “aspettato” o “di aspettazione” della posizionedi una particella nello statoY(x,t) rappresenta il valore medio di numerose misure effettuate su altrettanti sistemi tutti preparati allo stesso modo ossia tutti nello stesso statoY ma se si effettua una singola misura la funzione d’onda “collassa” su una certa posizione in modo del tutto casuale e non prevedibile ( esattamente come per il lancio di un dado) postuliamo che la velocità della particella sia data dalla derivata di <x>: sfruttando l’ equazione di Shroedinger e le relazioni ricavate in precedenza si ottiene: se ne deduce che la funzione d’onda in effetti “contiene” la velocità

32. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli l’ “impulso” sara’ dato dalla espressione l’operatore momento agisce sulla funzione d’onda ed e’ l’operatore che fornisce la quantità di moto dello statoY nella Meccanica Quantistica le grandezze della dinamica sono rappresentate daoperatori. ogni grandezza fisica può essere espressa come combinazione dei due operatori: Posizione Momento

33. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli La dinamica Grandezza Fisica Operatore Valore aspettato Posizione Momento Energia cinetica Energia totale Hamiltoniana

34. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli come si ottiene la funzione d’onda di un sistema? supponiamo che: • V sia indipendente dal tempo; • si possa scrivereY(x,t) = f(t)y(x) Þseparazione delle variabili • (notare l’uso diY maiuscola e y minuscola) sotto queste ipotesi l’equazione diviene Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo l’evoluzione temporale non dipende da V, se V non dipende da t hanno energia ben definita stati stazionari:

35. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Proprietà delle soluzioni separabili: Densità di probabilità indipendente dal tempo Posizione indipendente dal tempo (Þ momento = 0) Energia definita non ha energia definita univocamente la soluzione generale:

36. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Equazioni agli autovalori • le funzioni Y che soddisfano l’equazione per un dato operatore si chiamano autofunzioni o autostati di Q • i valori q possono essere discreti o continui, finiti o infiniti: si chiamano autovalori di Q. • l’equazione di Schrödinger è l’equazione agli autovalori dell’operatore Hamiltoniano o dell’energia totale • si conosce un sistema quando si conoscono autofunzioni ed autovalori di un insieme completo di operatori (Þ insieme completo di autofunzioni). • la funzione d’onda più generale del sistema sarà allora una combinazione lineare (sommatoria o integrale, finita o infinita) di tali autofunzioni. • se V è costante, il problema si riduce a trovare un insieme completo di autofunzioni – autovalori per l’E. di S. indipendente dal tempo.

37. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli soluzione generale: • dato un certo sistema (ovvero data una hamiltoniana): • si trovano gli stati stazionari (autofunzioni dell’energia); • si trovano i valori permessi dell’energia (autovalori); • si costruisce la soluzione generica come combinazione lineare, ed infine • si cercano i valori di cn che soddisfano le condizioni al contorno. tutto ciò comporta risolvere solo l’equazione non dipendente dal tempo: la soluzione generale viene costruita dalle proprietà generali “appendendo” a ciascuna autofunzione dell’energia il termine esponenziale.

38. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Riepilogo Soddisfa l’Equazione di Schroedinger Esiste una funzione , detta funzione d’onda, che contiene tutta l’informazione sul sistema in esame. La grandezza fisica direttamente rappresentata da Y è la densità di probabilità SeV è indipendente dal tempo Equazione di Schrodinger indipendente dal tempo. Soluzione generale: Stati stazionari Sovrapposizione di autofunzioni dell’energia hanno energia ben definita

39. A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Appendice – altre proprietà della funzione d’onda • Le y(x) possono essere scelte reali • Si hanno soluzioni normalizzabili della equazione di Shroedinger indipendente dal tempo solo se E – V(x) > 0 . • Se V(x) è “pari” [V(x) = V(-x)], allora le y(x) possono essere scelte pari o dispari.

40. Backup Slides

41. l’ entanglement (intreccio) o correlazione quantistica è un fenomeno quantistico in cui ogni stato quantico di un insieme di due o più sistemi fisici dipende dagli stati di ciascuno dei sistemi che compongono l'insieme, anche se questi sistemi sono separati spazialmente in italiano si puo’ tradurre con 'non-separabilità', in quanto uno stato entangled implica la presenza di correlazioni tra le quantità fisiche osservabili dei sistemi coinvolti l’ entanglement è un fenomeno prettamente quantistico , privo di analogo classico per esempio, è possibile realizzare un sistema costituito da due particelle il cui stato quantico sia tale che - qualunque sia il valore di una certa proprietà osservabile assunto da una delle due particelle - il corrispondente valore assunto dall'altra particella sarà opposto al primo, nonostante i postulati dell meccanica quantistica, secondo cui predire il risultato di queste misure sia impossibile in presenza di entanglement la misura effettuata su un sistema sembra influenzare istantaneamente lo stato di un altro sistema: in realtà, è facile mostrare che la misurazione non c'entra niente; quanto detto ha significato solamente in relazione al risultato della misurazione, non all'atto del misurare

42. Entanglement due stati puri, inizialmente separati, che vengano ad interagire per un periodo di tempo, anche breve, e vengano poi nuovamente separati conservano una forte correlazione quantistica che non ha analogia in meccanica classica tratto da : http://plato.stanford.edu/entries/qt-entangle/ “ John Bell, who devised a lot of the theory for testing the existence of entanglement, covered it in a paper called “Bertlmann’s Socks and the Nature of Reality.” Reinhold Bertlmann, a colleague of Bell’s, always wore socks of different colors. Bell pointed out that, if you saw one of Bertlmann’s feet coming around the corner of a building and it had a pink sock on, you would instantly know the other sock wasn’t pink, even though you had never seen it. The color difference was programmed in when Bertlmann put his socks on “ l'entanglement quantistico è alla base di tecnologie emergenti come i computer quantistici e la crittografia quantistica, ed ha permesso esperimenti relativi al teletrasporto quantistico. Teletrasporto vedi il sito : http://plato.stanford.edu/entries/qt-entangle/ sito di Stanford su quantum computing etc. Crittografia quantistica vedi il sitohttp://www.everything2.com/index.pl?node=quantum%20cryptography Computer quantico vedi il sitohttp://www.everything2.com/index.pl?node=quantum%20computer 42 Qubit vedi il sito http://www.everything2.com/index.pl?node_id=160492

43. L'entanglement è una delle proprietà della meccanica quantistica che portarono Einstein e altri a essere insoddisfatti della teoria. Nel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen formularono il paradosso EPR dimostrando, facendo uso dell'entanglement, che la meccanica quantistica è una teoria non locale. È comunque vero che la meccanica quantistica si è dimostrata in grado di produrre corrette previsioni sperimentali fino ad una precisione mai raggiunta prima e che le correlazioni associate al fenomeno dell'entanglement quantistico sono state osservate. È stata proposta una interpretazione dell'entanglement conosciuta come teoria delle variabili nascoste ( Bohm et al. ) nella quale gradi di libertà sconosciuti causerebbero le correlazioni, ma è stato mostrato nel 1964 da Bell che è comunque possibile distinguere la teoria quantistica da una teoria di variabili nascoste locale, essendo in quest'ultimo caso le correlazioni presenti più deboli. Nel 1999 una serie di esperimenti, svolti da Alain Aspect e altri, hanno provato che le correlazioni misurate seguono le previsioni della meccanica quantistica. Sebbene non si possa trasmettere informazione attraverso il solo entanglement, l'utilizzo di un canale di comunicazione classico in congiunzione con uno stato entangled permette il teletrasporto di uno stato quantistico, il quale sarebbe impossibile con il solo canale classico, dato che uno stato quantistico richiede una infinita quantità di informazione per essere determinato. All'atto pratico, come conseguenza del teorema di no-cloning quantistico, questa informazione non può comunque essere letta integralmente. Tuttavia questa ricchezza di informazione può essere comunque messa a frutto

44. L'entanglement quantistico costituisce una difficoltà, dal punto di vista epistemologico, per la teoria quantistica, in quanto è incompatibile con il principio apparentemente ovvio e realistico della località, per il quale il passaggio di informazione tra diversi elementi di un sistema può avvenire soltanto tramite interazioni causali successive, che agiscano spazialmente dall'inizio alla fine. ad esempio, secondo il principio di località, il mio pugno può colpire il tuo naso solo se io sono abbastanza vicino a te, o se sono in grado di mettere in moto meccanismi che, passo dopo passo, giungano fino al tuo naso. Differenti interpretazioni del fenomeno dell'entanglement portano a differenti interpretazioni della meccanica quantistica. recentemente si e’ iniziato ad analizzare la meccanica quantistica nei termini dell'informazione quantistica contenuta in un sistema con questo approccio, l'entanglement e altri comportamenti tipici dei sistemi quantistici sono derivazioni di teoremi sull'informazione contenuta nei sistemi stessi

45. Inizialmente si abbiano due sistemi quantistici separati tra loro e di cui si conoscano separatamente gli stati quantistici, successivamente si facciano interagire fisicamente tra loro i due sistemi quantistici, anche per un periodo di tempo breve, ossia si eserciti tra i due sistemi una forza dovuta ad un potenziale noto. Infine si separino di nuovo i due sistemi quantistici dopo la separazione i due sistemi non possono piu’ essere descritti come due entita’ separati ed indipendenti come era prima della mutua interazione: i due sistemi hanno acquisito una ( forte ) correlazione quantistica a causa della mutua interazione i due stati quantici sono diventati indissolubilmente intrecciati tra loro non c’e’ equivalente nella meccanica classica a questa correlazione quantistica detta “entanglement”

46. per una certa scelta dei coefficienti complessi aiandbj. Questo non è lo stato più generale di                           il quale ha la forma Supponiamo di avere due sistemi quantistici se il primo sistema è nello stato              e il secondo è nello stato                lo stato del sistema composto è stati di questo tipo vengono detti separabili date due basi e associate alle osservabili ΩA e ΩB è possibile scrivere gli stati puri di cui sopra come se questo statonon è separabileè dettoentangled