El centro de gravedad de un cuerpo rígido es el punto G en

1. Capítulo 5 FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD El centro de gravedad de un cuerpo rígido es el punto G en donde puede aplicarse una sola fuerza W, llamada peso del cuerpo, para representar el efecto de la atracción de la Tierra sobre ese cuerpo. Considérense cuerpos bidimensionales, como placas planas y alambres contenidos en el plano xy. Al sumar las fuerzas en la dirección z vertical y los momentos alrededor de los ejes horizontales y y x, se obtienen las siguientes relaciones: W = dWxW = x dWyW = y dW las cuales definen el peso del cuerpo y las coordenadas x y y de su centro de gravedad.

2. xA = x dAyA = y dA Para una placa planahomogénea de espesor uniforme, el centro de gravedad G de la misma coincide con el centroide C del área A de la placa, las coordenadas del cual se definen por las relaciones Estas integrales se conocen como los primeros momentos del área Acon respecto a los ejes yy x, y se denotan por Qy y Qx , respectivamente: Qy = xA Qx = yA

3. De modo análogo, la determinación del centro de gravedad de un alambrehomogéneo de sección transversal uniforme contenido en un plano se reduce a la determinación del centroide C de la línea L que representa el alambre; se tiene xL = x dLyL = y dL y C x L y O x

4. X Y X SW = S xW Y SW = S yW W3 z y y z W1 W2 SW G3 G G2 O O G1 x x Existen tablas de las áreas y los centroides de diversas formas comunes. Cuando una placa plana se puede dividir en varias de estas formas, se pueden determinar las coordenadas X y Y de su centro de gravedad G a partir de las coordenadas x1, x2. . . y y1, y2. . . de los centros de gravedad de las diversas partes, usando

5. y z G O x Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, su centro de gravedad coincide con el centroide C del área de la misma y los primeros momentos del área compuesta son Qy = X SA = S xA Qx = Y SA = S yA

6. Cuando el área está limitada por curvas analíticas, se pueden determinar por integración las coordenadas de su centroide. Esto se puede hacer al evaluar integrales dobles o una sola integral en la cual se use un elemento de área, rectangular delgado o con forma de pastel. Denotando por xely yel las coordenadas del centroide del elemento dA, se tiene Qy = xA = xel dAQx = yA = yel dA

7. L Los teoremas de Pappo-Guldino relacionan la determinación del área de una superficie de revolución o del volumen de un cuerpo de revolución con la determinación del centroide de la curva o área generadoras. El área Ade la superficie generada al hacer girar una curva de longitud L alrededor de un eje fijo es C y x 2py A = 2pyL en donde y representa la distancia del centroide C de la curva al eje fijo.

8. C A y x 2py El volumen V del cuerpo generado al hacer girar un áreaA alrededor de un eje fijo es V = 2pyA en donde y representa la distancia del centroide C del área al eje fijo.

9. dW W w x w W = A w C x B O B x O P dx x L L También se puede usar el concepto de centroide de un área para resolver problemas diferentes a los de tratar con el peso de placas planas. Por ejemplo, para determinar las reacciones en los apoyos de una viga, se reemplaza una cargadistribuida wpor una carga concentrada W con magnitud igual al área A debajo de la curva de carga y que pase a través del centroide C de esa área. Se puede usar el mismo enfoque para determinar la resultante de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre una placarectangular sumergida en un líquido.

10. Las coordenadas del centro de gravedad Gde un cuerpo tridimensional se determinan a partir de xW = xdWyW = y dWzW = z dW Para un cuerpohomogéneo, el centro de gravedad G coincide con el centroideCdel volumen V del mismo; las coordenadas de C se definen por las relaciones xV = xdVyV = y dVzV = z dV Si el volumen posee un plano de simetría, su centroide C estará en ese plano; si posee dos planos de simetría, C estará localizado sobre la recta de intersección de los dos planos; si posee tres planos de simetría que se intersequen en un solo punto, C coincidirá con ese punto.

11. Existen tablas de volúmenes y centroides de diversas formas tridimensionales comunes. Cuando un cuerpo se puede dividir en varias de estas formas, se pueden determinar las coordenadas X, Y, Zde su centro de gravedad G a partir de las coordenadas correspondientes de los centros de gravedad de las diversas partes, usando X SW = S xW Y SW = S yW Z SW = S zW Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo, su centro de gravedad coincide con el centroide Cde su volumen y se escribe X SV = S xV Y SV = S yV Z SV = S zV

12. 1 2 zel z xel = x Cuando un volumen está limitado por superficies analíticas, se pueden determinar por integración las coordenadas de su centroide. Para evitar el cálculo de integrales triples, se pueden usar elementos de volumen con la forma de filamentos delgados P(x,y,z) yel = y zel = z z dV = z dx dy y xel dx yel x dy (como se muestra). Denotando por xel, yel y zel las coordenadas del centroide del elemento dV, se escribe xV = xel dVyV = yel dVzV = zel dV Si el volumen posee dos planos de simetría, su centroide C está ubicado sobre su recta de intersección.

13. xel y xel= x dV= pr 2dx x z dx Si el volumen posee dos planos de simetría, su centroide C está ubicado sobre su recta de intersección. Si se hace que el eje x esté a lo largo de esa recta y divida el volumen en planchas delgadas paralelas al plano xz, se puede determinar el centroide C a partir de xV = xel dV Para un cuerpo de revolución, estas planchas son circulares.