TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Homología y Afinidad

1. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Homología y Afinidad

2. Ejercicio Nº 41Dada una par de segmentos homológicos AB y A'B' y el punto doble P, hallar el homológico del punto C

3. 1º Unimos A y B así como A' y B' el punto de corte es un punto del eje.2º Unimos el punto anterior 1 con el punto dado P = P' y tenemos el eje.

4. 3º Unimos A' y A así como B' y B y obtenemos el punto O centro de Homología.4º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje, si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el punto solicitado

5. 4º Unimos el punto C con O.

6. 5º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje, si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el punto solicitado

7. Ejercicio Nº 42De una homología se conocen el centro, O, el eje, e, y la pareja de puntos homólogos A-A'. Hallar el homólogo del punto B.

8. 1º Tomamos un punto cualquiera C y hallamos el homólogo C' por medio del punto A-A', Unimos C con O, unimos C con A y prolongamos C-A hasta que corte el eje en el punto 1, unimos 1 con A' y determinamos el punto C' al cortarse con la recta C-O

9. 2º Unimos B con C y nos da el punto 2 al cortarse con el eje, si unimos el punto C' con el punto 2 y determinamos el punto B' solicitado.

10. Ejercicio Nº 43En una homología se conocen el centro, O, el eje, e y la recta limite RL, hallar la figura homológíca del triángulo ABC

11. 1º El punto C es un punto doble por estar situado en el eje por lo tanto C=C'.

12. 2º Prolongamos el lado A-C hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1.Unimos el punto anterior 1 con el centro de homología O.

13. 3º Por el punto C trazamos una paralela a la recta anterior O1, unimos O con A y el punto de corte con la recta anterior nos determina el punto A' homologo del A .

14. 4º Unimos el punto A' con el punto 2 que corta en B' a la recta O-B y tenemos resuelto el problema

15. Ejercicio Nº 44Hallar la figura homológica del paralelogramo ABCD conociendo el centro, O, el eje, e, y la recta limite RL‘

16. 1º El punto A es un punto doble por encontrarse en el eje por lo tanto A=A'.

17. 2º Trazamos la recta límite RL sabiendo que la distancia entre el eje, el centro de homología y las rectas límites RL y RL' es como se acota en la figura.

18. 3º Prolongamos el lado CD hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1, unimos el punto 1 con el centro O y por el punto 2 trazamos una paralela a O1 que corta a la recta CO en el punto C' homologo del C.

19. 4º Prolongamos el lado CB hasta que corte al eje en el punto 3 unimos 3 con C' que corta al lado AB en el punto B' que es el punto que nos falta.

20. 5º Unimos D con O y obtenemos el vértice D’ homologo del D

21. 6º Unimos los vértices A’, B’, C’ y D’ y tenemos la figura homologa buscada

22. Ejercicio Nº 45Transformación homológica de un cuadrilátero en un cuadradoSea el cuadrilátero ABCD y queremos que su transformada sea un cuadrado.

23. 1º Se determina la recta Limite y el Centro de homología. Si Prolongamos los lados opuestos AB y CD, su punto de intersección 1 es un punto de la RL, si prolongamos BC y AD obtenemos el punto 2 que es otro punto de RL, Se traza RL.

24. 2º Prolongamos las diagonales que cortan a RL en los puntos 3 y 4.El centro de homología debe ser un punto en que se vean los segmentos 1-2 y 3-4 bajo un ángulo recto trazamos dos lugares geométricos que son dos semicircunferencia de diámetros 1-2 y 3-4 que se cortan en el punto C, Centro de homología.

25. 3º El eje se coloca a cualquier distancia solamente influye para la longitud del lado del cuadrado. Unimos el centro de homología con los puntos 1, 2, 3 y 4. Los lados del cuadrado serán paralelos a la dirección C-1 y C-2 como se ve en la figura. Por el eje se trazan paralelas a C-1 y a C-2 tal como vemos y ya tenemos el cuadrado, las diagonales no hace falta trazarlas.

26. Como se ve no hace falta tampoco unir el centro de homología con los puntos A, B, C y D para determinar los homólogos pero se hace para que se vea que cumple la homología

27. Ejercicio Nº 46Transformación homológica de la circunferencia en una elipseDatos centro C, eje e y la recta limite RL, así como la circunferencia de centro O que corta el eje en los puntos J y K.

28. Por C trazamos una recta cualquiera CN, por el punto N se trazan las tangentes a la circunferencia t1 y t2, cuyos puntos de tangencia son T1 y T2, centro

29. Prolongamos la recta T1-T2 se obtiene el punto M desde el que se trazan las otras dos tangentes t3 y t4 cuyos puntos de tangencia son T3 y T4

30. Si unimos T3 y T4 dan otra cuerda que pasa por N . Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse

31. Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse de centro Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4Hallamos los puntos de tangencia de T1, T2, T3 y T4, puntos T'1, T'2, T'3 y T'4.

32. Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4

33. Hallamos los homólogos de los puntos de T1, T2, T3 y T4, uniendo estos con el centro de homología y donde corte a las rectas anteriores determinan los punto homólogos T'1, T'2, T'3 y T'4.

34. Trazamos la elipse

35. Ejercicio Nº 47En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L / AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF

36. 1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje

37. 2º Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm.) punto s y trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm.) punto t, unimos s y t.

38. 3º Llevamos la distancia B-3 sobre la recta rpunto 3' por este trazamos la paralela a s-t que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada en la razón de afinidad 3/4.

39. 3º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la razón de 3/4.

40. 4º Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto con B' y determinamos el vértice A'.

41. 5º Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice D'.

42. 6º Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos lo unimos con D' y obtenemos el vértice F'.

43. 7º Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'

44. Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afin del exágono dado.

45. Ejercicio Nº 48Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'

46. 1º Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos paralelas al eje.

47. 2º Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el eje con B' y obtenemos el vértice A'.

48. 3º Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con B' y obtenemos el vértice C'.

49. 4º Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y obtenemos el vértice que nos falta D'

50. Ejercicio Nº 49En una homología se da el centro O, la recta limite RL y el eje e. Hallar la figura homóloga del polígono ABCDEF.