DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: GIMNAZJUM W WIERZBNIE • ID grupy: 98/29_MF_G2 • Opiekun: Sławomira Woźny – nauczyciel matematyki • Kompetencja: matematyka i fizyka • Temat projektowy: • „POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH” • Semestr: IV • rok szkolny: 2011/2012

3. SPIS TREŚCI, czyli nad czym pracowaliśmy ... ROZWIĄZYWALIŚMY ZADANIA DOTYCZĄCE DZIAŁAŃ NA POTĘGACH ROZWIĄZYWALIŚMYDZIAŁANIA NA LICZBACH DUŻYCH I MAŁYCH SZUKALIŚMY ROŚLIN, ZWIERZĄT, CZĘŚCI MATERII Z OKREŚLONYMI ROZMIARAMI, MASĄ ORAZ PRZEKSZTAŁCALIŚMY W CELU PORÓWNYWANIA ODPOWIEDNYCH WIELKOŚCI POZNALIŚMY ZASADY SYSTEMU RZYMSKIEGO I SYSTEMÓW NIEADDYTYWNYCH – DWÓJKOWEGO I SZESNASTKOWEGO SZUKALIŚMY INFORMACJI O ZASTOSOWANIU SYSTEMÓW NIEDZIESIĄTKOWYCH W INFORMATYCE ZAPISYWALIŚMY LICZBY I WYKONYWALIŚMY DZIAŁANIA W SYSTEMACH POZYCYJNYCH SZUKALIŚMY ANEGDOT, CIEKAWOSTEK I OPOWIADAŃ HISTORYCZNYCH

4. CELE PROJEKTU KSZTAŁCENIE UMIEJĘTNOŚCI SAMODZIELNEGO KORZYSTANIA Z RÓŻNYCH ŹRÓDEŁ INFORMACJI; GROMADZENIE, SELEKCJONOWANIE I PRZETWARZANIE ZGROMADZONYCH INFORMACJI; ROZWIJANIE WŁASNYCH ZAINTERESOWAŃ; WYRABIANIE ODPOWIEDZIALNOŚCI ZA PRACĘ WŁASNĄ I GRUPOWĄ; KSZTAŁCENIE BIEGŁOŚCI W WYKONYWANIU OBLICZEŃ Z ZASTOSOWANIEM POTĘG; KSZTAŁCENIE BIEGŁOŚCI W ZAPISYWANIU LICZB W RÓŻNYCH SYSTEMACH;

5. CO TO JEST POTĘGOWANIE ? Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n większym od 1 nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a. Symbolicznie możemy zapisać:

6. O TYM NALEŻY PAMIETAĆ ! 00 - tego symbolu nie definiujemy

7. WŁASNOŚCI POTĘGOWANIA Mnożenie potęg o tych samych podstawach Iloczynpotęg o jednakowych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników tych potęg. Dzielenie potęg o tych samych podstawach Iloraz potęg o jednakowych podstawach jest potęgą o tej samej podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników Potęga potęgi Potęga potęgi jest potęgą o tej samej podstawie i wykładniku równym iloczynowi obu wykładników.

8. WŁASNOŚCI POTĘGOWANIA – C.D. Mnożenie potęg o tych samych wykładnikach Iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach jest równy potędze o tym samym wykładniku i podstawie równej iloczynowi podstaw Dzielenie potęg o tych samych wykładnikach Iloraz potęg o jednakowych wykładnikach równy jest potędze o tym samym wykładniku i podstawie równej ilorazowi podstaw.

9. POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM Potęga o wykładniku ujemnym liczby różnej od zera jest odwrotnością potęgi o tej samej podstawie i przeciwnym wykładniku.

10. ZADANKA Z WYKORZYSTANIEM WŁASNOŚCI POTĘG 1. Rozwiąż zadanie wykorzystując własności potęg

11. ZADANKA – C.D. 2. Ile jest równa suma cyfr liczby Rozwiązanie: Liczba to jedynka i 100 zer, a liczba to jedynka i 20 zer. Dwadzieścia ostatnich cyfr w wyniku odejmowania to zera. Zatem liczba ma sto cyfr: 20 zer i 80 dziewiątek. Suma cyfr jest równa jest równa

12. ZADANKA – C.D. 3. Oblicz wartość wyrażenia: Rozwiązanie:

13. PORÓWNYWANIE POTĘGAby ustalić, która z podanych potęg jest większa: porównujemy wykładniki przy takich samych podstawach Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie większe od 1 to większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik; np. Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie i mniejsze od 1 to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik, np. porównujemy podstawy przy takich samych wykładnikach Jeżeli dwie potęgi o dodatnich podstawach mają jednakowe wykładniki to większa jest ta potęga, która ma większą podstawę, np.

14. NOTACJA WYKŁADNICZA LICZBY Notacja wykładnicza, (naukowa) to uproszczony sposób zapisywania liczb, które są bardzo duże lub bardzo małe. Polega ona na zapisywaniu liczb w postaci iloczynu, w którym pierwszy czynnik jest liczbą większą lub równą 1 i mniejszą od 10, a drugi jest potęgą liczby 10. Symbolicznie zapisujemy: a – liczba całkowita

15. PRZYKŁADY ZAPISU LICZB W NOTACJI WYKŁADNICZEJ Podane liczby zapisz w postaci wykładniczej a) b) Podane liczby zapisz w postaci dziesiętnej a) b)

16. ZASTOSOWANIE NOTACJI WYKŁADNICZEJ - PLANETY

17. NOTACJA WYKŁADNICZA - ZADANKA 1. Podczas głębokiego oddechu wydychamy powietrza. Zbadaj, ile oddechów robisz w ciągu minuty. Oszacuj, ile metrów sześciennych powietrza przechodzi w ciągu życia przez płuca człowieka. Przyjmij, że średnia długość życia człowieka wynosi około 72 lat. Rozwiązanie: W ciągu minuty robimy około 20 oddechów, czyli wydychamy około - ilość wydychanego powietrza w ciągu 1 min. - ilość wydychanego powietrza w ciągu 1 h. - ilość powietrza w ciągu 1 doby - ilość powietrza w ciągu roku Ilość wydychanego powietrza w ciągu 72 lat to około m3.

18. ZADANKA – C.D. 2. Na głowie jest około 120 tys. włosów. Włos rośnie z prędkością metra w ciągu roku. Zsumuj przyrosty wszystkich włosów w ciągu roku. Ile to metrów? Rozwiązanie: Na głowie mamy około120 tys. włosów. W ciągu roku włos rośnie z prędkością W ciągu roku na naszej głowie urośnie włosów.

19. LICZBY „OLBRZYMY” I „LILIPUTY” Z liczbami „olbrzymami” spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania pewnej wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

20. LICZBY „OLBRZYMY” - NAZEWNICTWO

21. LICZBY „OLBRZYMY” W PRZYRODZIE Waga około U mężczyzn liczba krwinek czerwonych w 1 mm3 krwi wynosi około

22. LICZBY „OLBRZYMY” W KOSMOSIE

23. CIEKAWOSTKI ... Jaką grubość osiągnąłby włos ludzki powiększony milion razy? Jaką wielkość osiągnie komar, zwykły komar brzęczący, dokuczliwy — powiększony milion razy? Włos ludzki, powiększony na grubość milion razy, będzie miał w średnicy 70 metrów! Komar będzie miał 5 kilometrów długości! • Książka o milionie stronic miałaby grubość równą 50 m. • Ciało ludzkie składa się z atomów;

24. LICZBY „LILIPUTY” – NAZEWNICTWO

25. LICZBY „LILIPUTY” W PRZYRODZIE waga 15g waga 0,5g waga 2g

26. LICZBY „LILIPUTY” - CIEKAWOSTKI

27. PRZYKŁADOWE ZADANIE – LICZBY „LILIPUTY” Masa protonu wynosi około 1,7 ∙ 10-27 kg, a masa elektronu 9,1 ∙ 10-31 kg. Ile razy proton jest cięższy od elektronu? Żeby odpowiedzieć na pytanie wystarczy podzielić masę protonu przez masę elektronu : Odpowiedź: Proton jest ok. 1868 razy cięższy od elektronu.

28. SYSTEMY LICZBOWE – CO TO JEST? Zbiór reguł jednolitego zapisu i nazewnictwa liczb. Do zapisywania liczb używa się skończonego zbioru znaków, zwanych cyframi, które można łączyć w dowolnie długie ciągi, otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

29. SYSTEM ADDYTYWNY Liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa. Przykładami takiego systemu są: system egipski • system rzymski I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Zaletą systemów addytywnych jest możliwość zapisu nawet dużych liczb (pod warunkiem, że są okrągłe) za pomocą jednego znaku, a wadą złożoność, kłopoty interpretacyjne i zbyt wielka liczba cyfr przy mało okrągłych liczbach, oraz bardzo skomplikowany sposób dokonywania za ich pomocą prostych operacji arytmetycznych, wymagający zapamiętywania długich tabel.

30. SYSTEM RZYMSKI Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: • obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M; • obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D; • nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejszej bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą; • znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

31. PRZYKŁADY ZAPISU LICZB W SYSTEMACH ADDYTYWNYCH System egipski System rzymski 78=LXXVIII 94=XCIV 116=CXVI 465=CDLXV 999=CMXCIX 3987=MMMCMLXXXVII

32. SYSTEM POZYCYJNY System pozycyjny to metoda zapisywania liczb w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Liczby zapisujemy przy pomocy cyfr od strony lewej do prawej. W takiej konwencji zapisu, każda pozycja ma ściśle określoną i niezmienną wagę liczbową. Systemy pozycyjne posiadają pojedyncze symbole dla kilku pierwszych liczb. Przykładami systemów pozycyjnych są: babiloński system pozycyjny pozycyjny system Majów system dwójkowy system dziesiątkowy system szesnastkowy

33. SYSTEM DWÓJKOWY - BINARNY Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać: PRZYKŁAD: ai-1ai-2...a2 a1a0 = ai-1· 2i-1 + ai-2· 2i-2 +... + a2· 22 + a1· 21 + a0· 20

34. ZAMIANA Z SYSTEMU DZIESIĘTNEGO NA DWÓJKOWY Aby przedstawić liczbę dziesiętną w postaci dwójkowej, należy wykonać dzielenie całkowite tej liczby przez dwa. Postać dwójkową otrzymamy, zapisując resztę z dzielenia począwszy od ostatniej reszty. Przykład: Liczbę 678 zapisz w systemie dwójkowym. 678/2 = 339 + 0 reszty 339/2 =169 + 1 reszty 169/2 = 84 + 1 reszty 84/2 = 42 + 0 reszty 42/2 = 21 + 0 reszty 21/2 = 10 + 1 reszty 10/2 = 5 + 0 reszty 5/2 = 2 + 1 reszty 2/2 = 1 + 0 reszty 1/2 = 0 + 1 reszty Postać dwójkową liczby otrzymamy, zapisując wartości reszty w odwrotnej kolejności, czyli 10101001102.

35. SYSTEM DZIESIĄTKOWY Pozycyjny, dziesiątkowy system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Dziesiętny system liczbowy, zwany też systemem decymalnym lub arabskim, w którym podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc w nim 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu.

36. ZASTOSOWANIE SYSTEMÓW LICZBOWYCH Największe zastosowanie mają w informatyce, mianowicie: Używając komputera na co dzień zasadniczo spotykamy się tylko z jednym z systemów liczbowych mianowicie systemem dziesiętnym. Użytkownicy komputerów może czasem nieświadomie korzystają także jeszcze z systemu binarnego i systemu szesnastkowego. • pierwszy z nich jest systemem w jakim pracuje komputer tzw. system zero-jedynkowy – tzn. komputerowe reprezentacje liczb wykorzystujące dwie cyfry: 0 i 1 oznaczają w praktyce, że informacje są przedstawiane jako ciągi zer i jedynek, a komputer rejestruje dwa stany: istnienie informacji (1) lub brak informacji (0). • drugi także ma szerokie zastosowanie w informatyce. System heksadecymalny (szesnastkowy) używany jest np. przy ustalaniu kolorów w kodzie HTML, albo tworzeniu hashowych funkcji skrótu (np. MD5).

37. JEDNOSTKI PAMIĘCI

38. CIEKAWOSTKI ... ZEGAREK DWÓJKOWY POKAZUJĄCY GODZINĘ 3:25 Ojciec systemu binarnego: John Napier

39. SŁYNNA LEGENDA SISSA BEN DAHIRA Pewien bogaty wschodni władca niezmiernie się nudził. Wszelkie przygotowywane przez dworzan rozrywki znał już na wylot. Ogłosił więc, że każdy, kto zdoła go rozbawić i zainteresować, otrzyma wspaniałą nagrodę. Wielu śmiałków próbowało ją zdobyć, ale bezskutecznie. Aż wreszcie na dworze pojawił się ubogi mędrzec dziwną, pokratkowaną deską pod pachą zaproponował królowi nową grę � my znamy ją jako szachy. Gra wciągnęła władcę i przerwała pasmo nudy. Król postanowił więc wspaniale nagrodzić mędrca. Poprosił go, by zażądał, czego chce. Mędrzec rzekł: Cóż, królu. Wystarczy jeśli na pierwszym polu szachownicy położysz jedno ziarenko pszenicy, na drugim polu dwa, na trzecim cztery, potem osiem .. .i tak dalej aż do końca szachownicy. Oczywiście, jeśli Cię na to stać Król uznał tę odpowiedź za obraźliwą, więc rozkazał dworzanom, aby dali mędrcowi, czego żąda i wyrzucili go pałacu. Dworzanom jednak nie udało się spełnić tej prośby. Dlaczego? ROZWIĄZANIE: Możemy obliczyć, że To w przybliżeniu ziaren Zakładając, że kilogramie jest 80 000 ziaren, otrzymujemy wynik: ziaren , to

40. PONADTO ZAJMOWALIŚMY SIĘ ... ROZWIĄZYWALIŚMY SZTUCZKI I ŁAMIGŁÓWKI Z POTĘGOWANIEM „MIRIADA MIRIAD” – SZACOWNIE ILOŚCI PIASKU – WG ARCHIMEDESA SZUKALIŚMY INFORMACJI CO TO JEST NANOTECHNOLOGIA I JEJ ZASTOSOWANIE WŁASNOŚCI LICZBY 11 I KWADRARÓW LICZB „JEDYNKOWYCH” – WŁASNOŚCI ODKRYTE PRZEZ IBN-AL-BANNA

41. BIBLIOGRAFIA: LITERATURA: ZASOBY INTERNETOWE: http://www.wckp.lodz.pl/ http://www.math.edu.pl, http://www.wikipedia.pl http://www.edu.godula.com • „Matematyka 2001. Podręcznik dla klasy 2 gimnazjum.”, A. Bazyluk, A. Dubiecka, B. Dubiecka-Kruk, Z. Góralewicz, T. Malicki, P. Piskorski, H. Sienkiewicz, A. Ziemińczuk; • „Matematyka 2001. Podręcznik dla klasy 3 gimnazjum.”, A. Dubiecka, B. Dubiecka-Kruk, Z. Góralewicz, T. Malicki, P. Piskorski, W. Zawadowski A. Ziemińczuk; • „Informatyka Europejczyka” – Jolanta Pańczyk • „Matematyka – kalendarz gimnazjalisty” – M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech; • „Zbiór zadań konkursowych” – Jerzy Janowicz

42. PREZENTACJĘ PRZYGOTOWAŁA GRUPA: 98/29_MF_G2 AGNIESZKA BANAŚ KAROLINA CHLEBOWSKA ALICJA DUCZMAL AGNIESZKA KOŚCIELNA KATARZYNA PAWLAK KARINA TOPOLAN KLAUDIA TOPOLAN ADAM GÓRSKI KONRAD GRZESIAK TOMASZ KRZYWDA BARTŁOMIEJ ŚNIOTAŁA POD OPIEKĄ: p. SŁAWOMIRY WOŹNY

43. DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ !!!!