1 / 54

Modelowanie za pomocą więzów w dziedzinach skończonych

Modelowanie za pomocą więzów w dziedzinach skończonych. Modelling wth Finite Domains. Domains and Labelling Complex Constraints Labelling Different Problem Modellings Example: Scheduling. Dziedziny i wyliczanie. Musimy definiować dziedziny zmiennych

armani
Download Presentation

Modelowanie za pomocą więzów w dziedzinach skończonych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Modelowanie za pomocą więzów w dziedzinach skończonych

  2. Modelling wth Finite Domains • Domains and Labelling • Complex Constraints • Labelling • Different Problem Modellings • Example: Scheduling

  3. Dziedziny i wyliczanie • Musimy definiować dziedziny zmiennych • arytmetyczne X :: [1,2,3,4] or X :: [1..4] • niearytmetyczneX :: [red, blue, yellow] • wiele zmiennych[X,Y,Z] :: [0..10] • Gdy dziedzina nieokreślona wybieramy pewien zasięg (np [-10000..10000]

  4. Przykłady dziedzin Zapytanie dla problemu plecakowego: [W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9, 15*W + 10*P + 7*C >= 30. CLP(FD) odpowiada unknown. Jak znaleźć rozwiązanie? Utworzyć zupełny (nawracający) solwer

  5. Wyliczanie • Wbudowany predykat labelingdaje możliwość utworzenia zupełnego solwera • labeling(Vs) bierze listę zmiennych FD Vs i znajduje rozwiązanie [W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9, 15*W + 10*P + 7*C >= 30, labeling([W,P,C]). Ma rozwiązanie:

  6. Ogranicz i generuj • Typowa postać programu FD • defininiujemy zmienne i dziedziny • podane są więzy modelujące program • ,,uzupełnianie’’ za pomocą wyliczania • Można zastosować minimalizację do predykatu labelling [W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9, 15*W + 10*P + 7*C >= 30, minimize(labeling([W,P,C]), -15*W-10*P-7*C).

  7. Send+More=Money. Przykład Problem kryptoarytmetyczny, każda cyfra inna i zachodzi równanie smm(S,E,N,D,M,O,R,Y) :- [S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9], constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y), labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y]). constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y) :- S != 0, M != 0, alldifferent_neq([S,E,N,D,M,O,R,Y]), 1000*S + 100*E + 10*N + D + 1000*M + 100*O + 10*R + E = 10000*M + 1000*O + 100*R + 10*E + Y.

  8. Send+More=Money. Przykład Po deklaracji dziedzin: Po mamy alldifferent_neq dodaje nierówn. (bez zmian) ostatecznie: (jedna reguła propagacji) Dla bieżącej dziedziny:

  9. Send+More=Money. Przykład Zatem D(M) = [1..1] Propagacja trwa dalej dając 3 zmienne ustalone, wszyskie dziedziny zmniejszone labelling próbuje S=0, S=1, ..., S=8 (zawodzą) następnie S=9. Potem E=0, E=1, E=2, E=3 (zawodzą) i E=4 (w końcu też zawodzi), następnie E=5 daje

  10. Generuj i testuj Metodologia bez więzów: generuj rozwiązanie i sprawdź je smm(S,E,N,D,M,O,R,Y) :- [S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9], labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y]), constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y). Ten program wymaga 95671082 wyborów przed znalezieniem rozwiązania, poprzedni jedynie 35 (z tego dwa nie dawały bezpośredniego nawrotu)

  11. Złożone więzy • Złożone więzy: alldifferent, cumulative i element • Bardziej zwięzłe modele • Lepsza propagacja = większa efektywność • Zamieńmy w przykładzie • alldifferent_neq([S,E,N,D,M,O,R,Y]) • alldifferent([S,E,N,D,M,O,R,Y])

  12. Złożone więzy 10 stopowa huśtawka, Liz, Fi i Sarah chcą usiąść w równowadze, w odległości co najmniej 3 stóp. Ważą 9,8,4 czegoś tam. apart(X,Y,N) :- X >= Y + N. apart(X,Y,N) :- Y >= X + N. [L,F,S] :: [-5..5], 9*L + 8*F + 4*S = 0, apart(L,F,3), apart(L,S,3), apart(F,S,3), labeling([L,F,S)]

  13. Złożone więzy Każda dziewczynka to pudełko o szerokości 3 wkładana do pudełka o szer 13 Pasuje do więzu cumulative [L,F,S] :: [-5..5], 9*L + 8*F + 4*S = 0, cumulative([L,F,S],[3,3,3],[1,1,1],1) labeling([L,F,S)]

  14. Wyliczanie • Labelling może być zaprogramowany w CLP(FD) za pomocą wbudowanych predykatów • dom(V,D) lista wartości D w bieżącej dziedzinie V • maxdomain(V,M) maksymalna wartośćM zm V • mindomain(V,M) bieżca minimalna wartośćM zm V labeling([]). labeling([V|Vs]) :- indomain(V), labeling(Vs). indomain(V) :- dom(V,D), member(V,D).

  15. Wyliczanie • Wykorzystuje bierzące wartości dziedziny • Przykład (Send-More-Money) Labelling próbuje S=9. potem E=4 (zawodzi w końcu), potem E=5 co daje Labelling dodadje N=6, D=7, M=1, O=0, R=9 i Y=2, i kończy z sukcesem

  16. Wyliczanie • Dwa wybory w labelling • którą zmienną wyliczamy na początku • kolejność próbowanych wartości • Domyślny labelling • sprawdza zmienne w kolejności z listy • wartości od min do max • Możemy zaprogramować inne strategie

  17. Wybór zmiennych • Wybór zmiennych wpływa na wielkość drz. wypr. • Wybieramy zmienną o najmniejszej bieżącej dziedzinie • Przykład Labelling najpierw bierze S, M, O (nic nie trzeba robić), potem E lub N. Lepiej niż Y jako pierwsza

  18. Wyliczanie First-Fail labelingff([]). labelingff(Vs) :- deleteff(Vs,V,R), indomain(V), labelingff(R). deleteff([V0|Vs],V,R) :- getsize(V0,S), minsize(Vs,S,V0,V,R)). minsize([],_,V,V,[]). minsize([V1|Vs],S0,V0,V,[V0|R]) :- getsize(V1,S1), S1 < S0, minsize(Vs,S1,V1,V,R). minsize([V1|Vs],S0,V0,V,[V1|R]) :- getsize(V1,S1), S1 >= S0, minsize(Vs,S0,V0,V,R).

  19. Wyliczanie First-Fail • labellingffwylicza najpierw wartości zmiennej o najmniejszej dziedzinie • minsize(Vs,S0,V0,V,R) znajduje wśród zmiennych Vs zmiennąr V o mnajmniejszej dziedzinie z najmniejzzą var V0 i rozmiarzeS0, R to reszta zmiennych. • Zastosowanie zasady first-fail • Aby wygrać, próbuj najpierw to, gdzie najłatwiej przegrać”

  20. Wybór wartości zmiennych • Wybór wartości wpływa na porządek eksploracji gałęzi drzewa • Stosując wiedzę specyficzną problemowi można szybciej dojść do rozw. • Ważne dla optymalizacji • dobre rozwiązanie szybko redukuje potem przestrzeń przeszukiwań

  21. Q1 Q2 Q3 Q4 1 2 3 4 N-hetmanów Problem umieszczenia N hetmanów na szachownicy NxN Dla dużych N w rozwiązaniach wartości bardziej ,,środkowe’’

  22. Porządek Middle-Out indomain_mid(V) :- ordervalues(V,L), member(V,L). ordervalues(V,L) :- dom(V,D), length(D,N), H = N//2, halvelist(H,D,[],F,S), merge(S,F,L). halvelist(0,L2,L1,L1,L2). halvelist(N,[E|R],L0,L1,L2) :- N >= 1, N1 = N - 1, halvelist(N1,R,[E|L0],L1,L2). merge([],L,L). merge([X|L1],L2,[X|L3]) :- merge(L2,L1,L3).

  23. Porządek Middle-Out • indomain_mid(V) próbuje wartości z dziedziny poczynając od środka • ordervalues tworzy uporządkowaną listę wartości • halvelist dzieli listę na dwie części, pierwszą odwraca • merge(L1,L2,L3) przeplata listy L1, L2 aby otrzymać L3

  24. Efektywność wyliczania • Możemy jednocześnie użyć porządkowania zmiennych i wartości Rożna liczba wyborów w różnych zasięgach

  25. Dzielenie dziedzin • Labelling to nie musi być przypisywanie zmiennym wartości • Należy zmniejszać dziedziny zmiennych • Domain splitting rozdwaja dziedzinę bieżącej zmiennej

  26. Dzielenie dziedzin labelingsplt([]). labelingsplt([V|Vs]) :- mindomain(V,Min), maxdomain(V,Max), (Min = Max -> NVs = Vs ; Mid = (Min+Max)//2, labelsplt(V,Mid) append(Vs,[V],NVs) ), labelingsplt(NVs). labelsplt(V,M) :- V <= M,. labelsplt(V,M) :- V >= M+1.

  27. Dzielenie dziedzin • labelingsplt rekurencyjnie dzieli dziedziny zmiennych na połówki, aż każda stanie się jednopunktowa. Gdy Min=Max the zmienną usuwa się z listy, w przeciwnym wypadku dzieli się ją i daje na koniec listy zmiennych do podziałut. • labelsplt(V,M) zdecydyj, czy V ma bycr <= czy => od M

  28. Jeden problem - różne modele • Różne spojrzenia na problem dają różne modele • Inny modell = inne zbiory zmiennych • W zależności od właściwości solwera modele mogą dawać szybciej wynik • Być może trzeba sprawdzić empirycznie

  29. Rożne modele Problem optymalizacyjny: 4 robotników w1,w2,w3,w4 i 4 produkty p1,p2,p3,p4. Przypisz robotników produktom aby zysk był >= 19 Macierz zysków:

  30. Model z badań operacyjnych 16 zmiennych logicznych Bij, każda mówi, że robotnik i jest przypisany do produktu j B23 11 więzów baz. 28 wyborów, by znaleźć 4 rozwiązania

  31. Lepszy model 1 2 3 4 Używamy więzów złożonych. Zmienne W1,W2,W3,W4 odpowiadają robotnikom W1 W2 W3 W4 7 więzów bazowych 14 wyborów

  32. Inny model T1 T2 T3 T4 Zmienne T1,T2,T3,T4 odpowiadające produktom. 1 2 3 4 7 więzów bazowych 7 wyborów

  33. Porównywanie modeli • Różnice w efektywności pochodzą z • bardziej bezpośredniego użycia więzów bazowych • mniejszej ilości zmiennych • zwykle wymaga sprawdzenia • Inne kryteria: łatwość wprowadzania dod. ogr. • np.. Robotnik 3 pracuje nad produktem > niż rob. 2

  34. Łączenie modeli • Można łączyć modele wyrażając relację pomiędzy zmiennymi z różnych modeli • np. B13 = 1 oznacza W1 = 3, co oznacza T3 = 1 • potencjalnie lepsza propagacja dla łączonych modeli • założymy istnienie więzu bazowego iff(V1,D1,V2,D2), który oznacza V1=D1 iff V2=D2

  35. Modele łączone 39 prim. constraints. 5 choices to find all solutions

  36. Przykład: przydzielanie • Dany zbiór zadań • zależności czasowe (koniec jednego przed pocz. Innego) • i dzielone zasoby (zadania na tej samej maszynie) • zaplanuj zadania, aby • więzy były spełnione • czas pracy był minimalny • Na początku pytamy, czy się da w zadanym czasie

  37. Przykładowe dane Dane to lista zadań: task(name,duration,[names],machine) [task(j1,3,[],m1), task(j2,8,[],m1), task(j3,8,[j4,j5],m1), task(j4,6,[],m2), task(j5,3,[j1],m2), task(j6,4,[j1],m2)]

  38. Program • Plan programu • Definicja zmiennych: makejobs • Variables: początek każdego zadania • association list: job(name,duration,StartVar) • Zależności czasowe: precedences • Więzy maszynowe: machines • Wyliczanie: labeltasks • bierze zmienne z job list oraz label

  39. Program schedule(Data,End,Jobs) :- makejobs(Data, Jobs, End), precedences(Data, Jobs), machines(Data, Jobs), labeltasks(Jobs). makejobs([],[],_). makejobs([task(N,D,_,_)|Ts], [job(N,D,TS)|Js], End) :- TS :: [0..1000], TS + D <= End, makejobs(Ts,Js,End). getjob(JL,N,D,TS) :- member(job(N,D,TS),JL).

  40. Zależności czasowe precedences([],_). precedences([task(N,_,P,_)|Ts],JL) :- getjob(JL,N,_,TS), prectask(P,TS,JL), prececedences(Ts,JL). prectask([],_,_). prectask([N|Ns],TS0,JL), getjob(JL,N,D,TS1), TS1 + D <= TS0, prectask(Ns,TS0,JL).

  41. Maszyny machines([],_). machines([task(N,_,_,M)|Ts],JL) :- getjob(JL,N,D,TS), machtask(Ts,M,D,TS,JL), machines(Ts,JL). machtask([],_,_,_,_). machtask([task(N,_,_,M1)|Ts],M0,D0,TS0,JL):- (M1 = M0 -> getjob(JL,N,D1,TS1), exclude(D0,TS0,D1,TS1) ; true), machtask(Ts,M0,D0,TS0,JL). exclude(_,TS0,D1,TS1) :- D1 + TS1 <= TS0. exclude(D0,TS0,_,TS1) :- D0 + TS0 <= TS1.

  42. Wykonywanie programu End=20, schedule(problem, End, JL). makejobs: tworzy listę zadań i więzy [job(j1,3,TS1),job(j2,8,TS2),job(j3,8,TS3), job(j4,6,TS4),job(j5,3,TS5),job(j6,4,TS6)] Początkowe dziedziny:

  43. Wykonywanie programu precedences: dodaje więzy, zmienia dziedziny machines: dodaje punkty wyboru, zmienia dziedziny

  44. Wyliczanie Pierwsza z brzegu wartość dla każdej zmiennej. Znalezione rozwiązanie!

  45. Poprawianie programu • Informacja nadmiarowa • Przypuśćmy, że t1, ..., tn to zadania do wykonania na tej samej maszynie, które muszą być skończone przed t0 • t0 must start after the sum of the durations added to the earliest start time • Oblicz poprzedników każdego zadania i dodaj extra więzy • Zmniejszona przestrzeń poszukiwań

  46. Poprawianie programu • wiez cumulative może śłużyć do wyrażenia ograniczeń ,,maszynowych’’ • cumulative([TS1,TS2,TS3],[3,8,8],[1,1,1],1) • cumulative([TS4,TS5,TS6],[6,3,4],[1,1,1],1) • Nowa wersja machines • Nie ma punktów wyboru. Wynik:

  47. Metody wyliczania • Oryginalne sformułowanie: • Picking the minimum value for each value must be a solution. (default labelling is fine) • Dla cumulative • Znajdź zadanie z minimalnym czasem startu • albo umieść zadanie w tym momencie • albo zabroń umieszczać w tej pozycji • Powtarzaj (jakie zadanie teraz ma najmniejszy czas)

  48. Labelling the Earliest label_earliest([]). label_earliest([TS0|Ts]) :- mindomain(TS0,M0), find_min(Ts,TS0,M0,TS,M,RTs), (TS = M, Rs=RTs ; TS != M, Rs=[TS0|Ts]), label_earliest(Rs). find_min([],TS,M,TS,M,[]). find_min([TS1|Ts],TS0,M0,TS,M,RTs) :- mindomain(TS1,M1), (M1 < M0 -> M2=M1, TS2=TS1, RTs=[TS0|Rs] ; M2=M0, TS2=TS0, RTs=[TS1|Rs]), find_min(Ts,TS2,M2,TS,M,Rs).

  49. Labelling the Earliest Label TS1 = 0 Label TS4 = 0 Label TS2 = 3 Label TS5 = 6 Label TS6 = 9 Label TS3 = 11 Rozwiązanie (minimalne)

  50. Więzy reifikowane • Więz reifikowanyc <=> B zmienną boolowską B z więzem bazowym c • Jeśli c to B = 1 • Jeśli c nie zachodzi to B= 0 • Propagacja w obu kierunkach • Używane do budowania złożonych więzów

More Related