Metodi di Ricostruzione in fisica Subnucleare

1. Metodi di Ricostruzione in fisica Subnucleare Corso di Metodologie Informatiche Per la Fisica Nucleare e Subnucleare A.A. 2009/2010 II Lezione, 9/11/09 S.Arcelli

2. Sommario della scorsa lezione • Concetti introduttivi: • Cosa si intende in generale per ricostruzione • Ricostruzione di tracce cariche: track finding e fitting • Come si qualifica una procedura di ricostruzione: • (efficienza, frazione di fakes, qualità della stima dei parametri...)

3. In questa lezione: • Metodi di riconoscimento di traccia: • Metodi Globali → Template Matching, MST, Fuzzy Radon & Hough Transform, Neural Networks • Metodi Locali: il track following

4. Fuzzy Radon Transform Basato sul fatto che la densità ρ(x)della popolazione nel Pattern Space può essere espressa come il seguente integrale: Densità di popolazione nel Feature Space,(delta- functions in corrispondenza dei parametri p della traccia) Funzione di “risposta” nel Pattern Space (x) per una traccia descritta da un set p di parametri (equazioni del moto + risoluzione)

5. Fuzzy Radon Transform Ovvero: 0

6. Fuzzy Radon Transform Il metodo consiste nel calcolare la trasformazione inversa, che fornisce la densità di popolazione nello spazio delle Feature, in base alla densità osservata nel pattern space e al modello di traccia+ evenuali effetti di risoluzione, che fissano = Fuzzy Radon Transform Ci si aspetta che i candidati di traccia generino nello spazio delle Feature dei massimi locali nella trasformata.

7. Fuzzy Radon Transform Esempio: una traccia in un semplice sistema di tracking con 10 layer equidistanti, in assenza di campo magnetico: La generica retta che passa dal punto misurato (xi,yi) è scrivibile come: y  Questa è una retta nello spazio dei parametri (k,d)=(tan,y0), le Featureche descrivono le possibili tracce nel rivelatore, con: y0 x Ordinata all’origine Coefficiente angolare

8. Fuzzy Radon Transform Ogni punto misurato dà origine ad una retta nello spazio delle Features. Se i punti misurati appartengono ad una stessa traccia (sono collineari), le corrispondenti rette nello spazio (k,d) si incontreranno in un punto. Si ha un massimo nella Fuzzy Radon Transform: esempio di una traccia dritta (B=0): tan y0

9. Fuzzy Radon Transform Tre tracce dritte (B=0) nel sistema di tracking: Massimi ancora ben distinguibili, ma sviluppo di massimi locali... occorre rifinire il criterio di selezione dei picchi. tan y0

10. Fuzzy RadonTransform-(parametrizzazione alternativa) • Parametrizzazione alternativa dell’equazione della retta, per evitare valori divergenti per angoli prossimi a 90°: • r=distanza minima tra origine e retta • =angolo polare del vettore origine-punto • di minima distanza y r  x

11. Fuzzy Radon Transform Applicazioni anche a situazioni più complesse: due tracce molto vicine, in rivelatore a geometria cilindrica e campo magnetico assiale (piccola differenza in impulso, stesso punto di produzione) J. Blom et al, “A fuzzy Radon Transform for track Recognition”, Proc. CHEP 94, San Francisco) Tracce ancora facilmente distinguibili nello spazio (,),se l’effetto di risoluzione è adeguatamente descritto (qui  legato alla curvatura della traccia,  angolo azimutale di produzione,  angolo polare della traccia, =risoluzione rivelatore)

12. Hough Transform • Caso “semplificato” della Fuzzy Radon Transform in cui non si tiene conto esplicitamente degli effetti di risoluzione. Molto più popolare...Utilizzato per la prima volta in esperimenti in Camere a Bolle (Hough, 1959). • La ricerca di massimi nella distribuzione trasformata nel Feature space si fa analizzando istogrammi (dati binnati). Ogni punto misurato incrementa una serie di celle nell’istogramma sullo spazio dei parametri (la scelta del binning e del “range” dell’istogramma deve essere fatta secondo criteri appropriati...).

13. Hough Transform-Esempio Tracce cariche in un sistema di tracciamento nella proiezione trasversa xy, campo magnetico uniforme lungo z (traiettorie=archi di circonferenza passanti per l’origine, tracce primarie ) Applicando la trasformazione: E tenendo presente che le tracce sono archi di circonferenza:

14. Hough Transform-spazio trasformato Si ottengono delle rette: N.B. quanto minore è l’impulso, tanto meno le tracce trasformate puntano verso la nuova origine

15. Hough Transform-Esempio Analisi della distribuzione in angolo nello spazio trasformato (1-D Hough Transform) Entries Larghezza dei picchi dipende dalla risoluzione e dall’impulso Tracce di basso momento più difficilmenteindividuabili 

16. Hough Transform-Esempio Equazioni parametriche dei punti misurati (x,y)(r,): Archi di cerchio descritti in termini dei parametri(1/R,): 1/R Istogramma 2D: 

17. Hough Transform • In questo modo (versione “2-D”), si riesce a recuperare la sensibilità a tracce di basso momento, utilizzando anche l’informazione del “parametro d’ impatto” nelle coordinate trasformate • Stima dell’impulso della traccia, che, ad esempio, mi dà l’informazione se nell’evento sono state prodotte tracce di alta energia (algoritmi di High Level Trigger). • E’ spesso usato per avere un metodo di track finding veloce, efficace nel discriminare sul fondo e non troppo sensibile ad inefficienze, ma con richieste di precisione non stringenti sulla stima dei parametri di traccia. Utilizzato in HLT (as es. ALICE), come seed finder per procedure di tracking locale (OPERA, HERA-B,...) .

18. Hough Transform • Se la ricognizione di traccia deve essere in 3D nel pattern space (xyz), perchè la granularità del rivelatore non è sufficiente per la separazione in una proiezione 2D, si puo’ segmentare la ricerca in intervalli dell’altra proiezione (ad es, ricerca in xy in diversi intervalli dell’ angolo polare lungo z) • Possibile l’analisi anche con più parametri, ma la individuazione dei massimi diventa sempre più complessa. Di solito ci si limita a 2-D nel Feature Space • Tempo di elaborazione: dipende dal numero di misure, dalla dimensionalità del feature space, dal binning

19. Neural Networks Techniques: NN: modellizzazione matematica ispirata alle connessioni e alla funzionalità dei neuroni in sistemi biologici. Concetti di base: • I nodi, artificial neurons • Le connessioni, relazioni tra in nodi • Funzione di trasferimento, che in base all’input che arriva su un nodo da tutti gli altri nodi, ne determina l’output (elaborazione pesata dell’input+meccanismo di thresholding) Applicando un processo di apprendimento su campioni di riferimento per il training della rete, si determinano i pesi massimizzando una funzione che caratterizza la qualità decisionale del meccanismo

20. Neural Networks TechniquesHopfield Network: • Topologia “fully coupled”, interazioni simmetriche • Lo stato S del neurone è di due tipi: se il neurone è attivato, Si=1, altrimenti Si=0. • Funzione di trasferimento: • “Energy Function”: = Pesi = Fattore di soglia

21. Neural Networks Techniques:Denby-Peterson Model L’idea è di associare un neurone Sij ad ogni possibile connessione tra due hit i e j nel rivelatore (segmenti di traccia): • Se il neurone è attivato, Sij=1, altrimenti Sij=0. Se Sij=1, implica che i due hit facciano parte della stessa traccia. • Si deve poi definire una interazione fra neuroni, V, per cui nello stato finale l’energia totale del sistema è minima (solo neuroni che condividono un hit possono interagire). V>0 V>0 V<0

22. Denby-Peterson Model l djl • Potenziale di interazione: • Energy function: update dello stato finchè non si trova un minimo assoluto (diversi algoritmi per la minimizzazione). j ijl dij i C.Peterson, “Track Finding with Neural Networks”, NIM A 279 (1989) 537,)

23. Denby-Peterson Model • Per costruzione dipende molto poco da un definito modello di traccia, e trova efficientemente sia tracce dritte che debolmente curve, che “sparpagliate”. Piuttosto robusta rispetto a noise e inefficienze. • E’ piuttosto pesante dal punto di vista computazionale, tipicamente il tempo di elaborazione va come N3. Ha scarsa efficienza nel separare tracce vicine. • Funziona bene in condizioni di bassa densità di traccia. Ad esempio, utilizzato per il tracking nella TPC dell’esperimento ALEPH (al LEP in collisioni e+ e-). Ci sono estensioni (modifica della energy function) che funzionano ragionevolmente anche ad alta densità di traccia (HERA-b)

24. Metodi di Track Finding Locali I candidati di traccia sono selezionati individualmente uno dopo l’altro (potenziale bias, ma una buona procedura è indipendente dall’ordine in cui vengono elaborati i candidati di traccia...): • Si inizia sulla base di un numero limitato di punti misurati (track seeds) opportunamente scelti. Si procede nella ricerca di altri hits da associare al candidato di traccia estrapolando (o interpolando), sulla base di un modello di traccia più o meno rifinito. Alcuni esempi: • Track Following • Track Road • Kalman Filter (metodo di Track Finding/Fitting simultaneo!)

25. Track Following Il track following è ora uno dei metodi di ricognizione di traccia più diffusi (essenzialmente nel contesto del Kalman Filter). • Metodo di tipo “percettivo”, ottimale in condizioni di “prossimità e continuità” dei segnali delle tracce nel sistema di tracking • Forte ridondanza nelle misure (condizione di base nel design degli apparati moderni, caratterizzati da granularità e precisioni elevate). • Se ben impostato, più efficiente in termini di velocità dei metodi globali (“localizzazione” della ricerca)

26. Track Following Ingredienti principali: • Un metodo di generazione dei seed di traccia, ovvero candidati rudimentali, creati in base a un set limitato di punti misurati, da cui iniziare il processo di track finding • Una descrizione parametricadella traiettoria che permetta di estrapolare il candidato traccia da un layer di misura all’altro durante il track following • Un criterio qualitativo, secondo cui distinguere candidati di tracce buone da falsi candidati di traccia, ed eventualmente interrompere l’elaborazione del candidato

27. Track Following-Generazione dei Seed • Devono fornire una prima stima (locale) dei parametri (direzione, curvatura) del candidato di traccia, non troppo lontana dai parametri finali • Deve essere efficiente (se non trovo l’iniziatore posso perdere la traccia); occorre tenere un certo livello di ridondanza ( considerare la possibilità di hit mancanti, track faults ) • Non deve essere troppo complessa (deve essere ragionevolmente veloce).

28. Track Following-Generazione dei Seed Diverse filosofie nella costruzione dei seed, che dipendono significativamente dalle condizioni sperimentali (struttura del rivelatore e sue caratteristiche, occupancy, ..). Si cerca di partire da condizioni favorevoli, in regioni “pulite” del rivelatore. • Seeding in layer vicini • Seeding in layer distanti

29. Track FollowingSeeding in layer vicini • In generale, sui layer più esterni del sistema • di tracking, dove la densità di tracce è minore • Non sempre vero! Dipende da come è fatto • il sistema di tracking. Ad esempio, in CMS • il seeding usa layer interni (Pixel, precisione • O(10μm), alta granularità, occupancy ~10-4) • Rispetto al caso seguente, il braccio di leva • nel determinare la direzione è minore, ma • ho meno “combinatorio”.

30. Track FollowingSeeding in layer distanti • Miglior “braccio di leva”, • ma occorre considerare • anche gli effetti dello scattering multiplo • Più combinatorio • Si preferisce il primo • approccio, in generale.

31. Generazione dei Seed-considerazioni • Spesso si utilizza il vincolo del vertice primario (che aggiunge un punto con grande braccio di leva!) • Questo può essere inefficiente nel ricostruire tracce di secondari che vengono da decadimenti. Necessario complementare con seeding dedicato, se si è interessati a questo tipo di segnali. • Il seeding ai layer esterni è invece inefficiente nel trovare la particella “genitrice” in un decadimento Seeding IP

32. Generazione dei Seed-altre considerazioni • Quanti più punti si utilizzano nel seeding, tanto più si limita il trasporto di falsi candidati di traccia. • Occorre tenere presente che alcuni canali nella regione di seeding possono essere inefficienti. Fare la ricerca utilizzando più combinazioni di piani. • Compromesso fra velocità e efficienza...

33. Track Following-Propagazione Trovati i seed, occorre propagarli attraverso il detector. Necessario un prototipo di modello di traccia che permetta di estrapolare, sulla base della stima preliminare della direzione data dal seed, il candidato di traccia sul layer di misura successivo, con la relativa incertezza.

34. Track Following-Propagazione • In generale, Il modello di traccia “definitivo”, utilizzato in fase di track fitting per la stima finale dei parametri di traccia, deve esser il più accurato possibile: parametrizzazione della soluzione delle equazioni del moto di una particella carica e trattazione degli effetti del materiale (MS, perdita di energia) • Nel track following in generale, si utilizzano anche metodi approssimati (semplici rette o parabole utilizzando l’informazione degli ultimi punti accumulati) • Nel Kalman Filter, anche in questa fase si utilizza il modello “definitivo”

35. Track Following-Approcci Possibili • “Naive” Track Following: • Nel layer n-simo di propagazione, si associa l’hit più vicino all’estrapolazione della traiettoria. La propagazione prosegue finché non si trovano più hit. • Sensibile a hit che non appartengono alla traccia, a rumore ed inefficienze (soprattutto nelle prime fasi della propagazione). • Può essere usato se la densità di traccia lo permette, e se in propagazione ho buona precisione sull’estrapolazione.

36. Track Following-Approcci Possibili • Combinatorial Track Following: • ad ogni layer si considerano più hit compatibili entro una tolleranza relativamente grande • da questi si genera un “albero” di nuovi candidati di traccia. • la selezione del candidato migliore é fatto in fase finale, ad esempio con un fit di traccia su ciascun candidato. Metodo molto efficiente, ma molto impegnativo dal punto di vista computazionale

37. Track Following-Arbitration Arbitration: criteri usati per trovare un compromesso tra i due tipi “estremi” di track following. Ad ogni step di propagazione, si consente la creazione di candidati multipli come nel combinatorial track finding: tuttavia, i candidati traccia sono fatti evolvere in parallelo, e ad ogni step: • Si limita il numero di candidati ad un numero massimo • Possibilità di un certo numero di hits mancanti (“track faults”), consecutivi o totali • Quali candidati scegliere, si decide in base alla qualità della traccia (numero di faults, numero di hit giàaccumulati,2)

38. Track Following-Arbitration Seed T1 Candidati Eliminati Candidato accettato Nmaxfaults=1, Nmaxcand=3

39. Track Road Basato sull’ interpolazione piuttosto che sull’ estrapolazione: • Utilizzando hits agli estremi della traccia (e un punto intermedio centrale per tracce curve), si definisce la “strada” entro una certa tolleranza, assumendo un modello di traccia (rette o eliche). Gli hit compatibili con la track road sono associati. • Più lento del Track Following (più combinatorio), ed è utilizzato nel caso di bassa densità di traccia, grande distanza fra i piani di misura del rivelatore e per rivelare tracce con un basso numero di hit.