Ricostruzione di polyomini L-convessi

1. Ricostruzione di polyomini L-convessi G. Castiglione, A. Restivo, R. Vaglica. Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Palermo

2. Polyomino :polyomino le cui righe e colonne sono connesse Polyomino convesso Polyomino convesso insieme finito e connesso di celle (quadrati unitari) del piano cartesiano definito a meno di una traslazione • due celle di un insieme discreto si dicono connesse se esiste un cammino (sequenza di celle adiacenti) che le collega contenuto nell’insieme.

3. Polyomini L-convessi L-convesso L-convesso • Cammino monotono: cammino autoevitante costituito da passi in due sole direzioni • In un polyomino convesso qualunque coppia di celle risulta connessa da almeno un cammino monotono. polyomini convessi in cui ogni coppia di celle risulta connessa da un cammino monotono con al più un solo cambiamento di direzione (L-path)

4. Ricostruzione di insiemi discreti a partire da informazioni parziali L-cammini { 1,2, ... ,} Proiezioni orizzontali e verticali(Tomografia discreta) 1 3 3 8 8 6 3 3  H V  2 2 3 8 7 7 3 3

5. L-cammini bordati L-camminimassimali unicità unicità unicità Ricostruzione banale (L-convessi) Algoritmo di ricostruzione Ricostruzione di polyomini L-convessi L-cammini Proiezioni orizzontali e verticali(Tomografia discreta)

6. L-cammini Denotiamo con x,y (x,yℤ-{0}) un L-cammino fatto da |x|-1 passi orizzontali, |y|-1 passi verticali orientato come segue se x>0 e y>0 se x>0 e y<0 se x<0 e y>0 se x<0 e y<0 Esempio L-cammino 3,4 contenuto in un polyomino L-convesso L(P): insieme degli L-cammini contenuti nel polyomino L-convesso P L(P) {x,y/x,yP }

7. L-cammini massimali Relazione tra altezza e larghezzadi P e l’insiemeLmax(P) (L(P), ) è un insieme parzialmente ordinato • x,y è massimale (in L(P)) se  x',y'  L(P) , x,y  x',y'  x  x'  y  y' Lmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di L(P) Osservazione: gli elementi di Lmax(P) possono avere più occorrenze in P. Tutte queste occorrenze connettono celle appartenenti ai bordi di P

8. Rettangoli massimali parzialmente ordinato R(P) { [x,y] t.c. [x,y]  P } Osservazione: Rmax(P) è un insieme finito di rettangoli non confrontabili ovvero  [x,y], [x',y']Rmax(P) tali che [x,y]  [x',y']  [x',y']  [x,y] Rmax(P) {[x1,y1] , [x2,y2] , … , [xn,yn]} x1  x2 …  xn andy1  y2 …  yn ordinamento canonico [x,y]Polyomino di forma rettangolare avente larghezza x ed altezza y. Rmax(P): insieme di tutti gli elementi massimali di R(P)

9. Rettangoli non confrontabili in posizione crossing Dati i rettangoli [x,y], [x',y'] non confrontabili si dice che essi si trovano in una posizione crossing se rettangoli in posizione non crossing rettangoli in posizione crossing Teorema: Un polyomino convesso P è un L-convesso se e solo se i suoi rettangoli massimali hanno a due a due una posizione crossing in P.

10. I polyomini L-convessi sono caratterizzati dai loro L-cammini massimali? Rmax(P) {[x1 , y1] , … , [xi, yi] , … , [xn, yn] } [x1 , y1]  [w(P) , min{y : x,y Lmax(P), xw(P) }] [xn , yn]  [ min{x : x,y Lmax(P), yh(P) } , h(P) ] ordine canonico se Rmax(P)  {[x,y]}, ovvero P  [x,y], e QL è tale che Lmax(P)  Lmax(Q)  Q  P L famiglia dei polyomini L-convessi

11. Corrispondenza tra un polyomino L-convesso P e la famiglia Lmax(P ) Teorema. Sia PL.SeRmax(P)  3 alloraP è univocamente determinato da Lmax(P) . Lmax(P) P nel caso in cui P è costituito al più da 3 rettangoli massimali Lemma. Sia Rmax(P)  2.  QL tale che Lmax(P)  Lmax(Q), la dimensione e la reciproca posizione del primo e secondo (penultimo ed ultimo) rettangolo massimale di Q coincideranno con quelle del primo e del secondo (penultimo ed ultimo rispettivamente) rettangolo massimale di P.

12. P2 P1 Controesempio Questo esempio considera due polyomini L-convessi distinti, con più di tre rettangoli massimali, aventi lo stesso insieme di L-cammini massimali riportato in tabella. 4 rettangoli massimali 2 occorrenze

13. Multiset ? Questo esempio considera due polyomini L-convessi differenti aventi lo stesso multiset di L-cammini massimali. P2 P1 non è massimale multiset

14. L- cammini bordati Polyomino L-convesso 1 8 2 8 3 8 7 3 6 6 3 3 ;

15. Problemi affrontati • Consistenza • Ricostruzione • Unicità

16. L-cammini bordati • parte da una cella del bordo • procede ortogonalmente rispetto allo stesso bordo • quando incontra il bordo opposto gira in senso antiorario # • quindi procede dritto fino al bordo opposto # # # In particolare  è detto : # SE bordato se parte dal bordosuperione ENbordato se parte dal bordosinistro NWbordato se parte dal bordoinferiore WSbordato se parte dal bordodestro  #  # # #  #   Sia P un polyomino convesso. Un L-cammino  è bordato in P se

17. Definizione di un L-cammino bordato Sia un L-cammino che cambia direzione nella cella . è detto SE bordato se è in direzione SE e EN bordato se è in direzione EN e NW bordato se è in direzione NW e WS bordato se è in direzione WS e • denota la cella

18. Definizione di una funzione di valutazione per un L-cammino dove . tutte le coppie di interi positivi che rappresentano la size di un L-cammino SE bordato SE = Analogamente E N , W S, N W • card(SE)=card(N W)=(P) • card(E N)=card(W S)=h(P) La size di un L-cammino è la funzione definita da

19. Esempio         # # # # #  # # # # #  # #  # # # # #  #  #  #  #  #

20. Struttura dell’algoritmo Prima fase  determina gli elementi di Rmax(P) [x1,y1] [x2,y2] [x3,y3] [x4,y4] x1  x2 x3  x4andy1  y2 y3 y4

21. Struttura dell’algoritmo Ω= (ω1, ω2, ω3, ω4)  ascisse dei SW corners Σ= (σ1,σ2,σ3,σ4)  ordinate dei SW corners Seconda fase determina la mutua posizione dei rettangoli massimali a partire…

22. Prima fase LEMMA. Sia P un polyomino L-convesso. Gli elementi di Rmax(P) sono univocamente determinati daSE (o equivalentemente da E N , N W , W S) • Dalla prova di questo lemma si ricava una procedura per determinare gli elementi di Rmax(P) a partire dall’insieme SE

23. Seconda fase Due procedure che determinano Ω Ω OMEGA1 (SE, E N)  OMEGA2 (SE, WS)  Ω incrociato allineato a sinistra allineato a destra • Determinare la reciproca posizione di due rettangoli massimali significa stabilire quale tipo di intersezione crossing hanno.

24. Seconda fase Due procedure che determinano Ω Ω OMEGA1 (SE, E N)  OMEGA2 (SE, WS)  Ω P P* Ω clock.rotation of π/2 (SE *, WS *) Ω* Σ OMEGA2 OMEGA2 Scegliendo solo una delle due procedure … (SE, WS) (SE,E N) … due tipi of sizes sono necessari!!!

25. Seconda fase Ω OMEGA1 (SE, E N)  OMEGA2 (SE, WS)  Ω Ω clock.rotation of π/2 (SE *, WS *) Ω* Σ OMEGA2 OMEGA1 Teorema: Ogni polyomino L-convesso è univocamente determinato da (SE, E N). • Tuttavia il nostro scopo è ricostruire univocamente P da un’unica coppia di set di sizes. (SE, E N) (SE,E N)