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C9. travail, notions d’énergie

C9. travail, notions d’énergie. - Méthodes de calcul du travail énergie potentielle et mécanique stabilité d’un état d’équilibre. Calculer le travail d’une force. Entre les instants t 1 et t 2 . Trois méthodes : à partir de la définition W 12 =  F(t)v(t)cos α dt

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C9. travail, notions d’énergie

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Presentation Transcript

  1. C9. travail, notions d’énergie • - Méthodes de calcul du travail • énergie potentielle et mécanique • stabilité d’un état d’équilibre

  2. Calculer le travail d’une force Entre les instants t1 et t2. Trois méthodes : • à partir de la définition W12 = F(t)v(t)cosαdt cas particulier, si F = cste : W12 = FLcos α ,α angle entre F et v • à partir du TEC Wext 12 = EC 2 - EC 1 (si les vitesses sont connues !!) • à partir de l’énergie potentielle. Concerne une certaine catégorie de forces

  3. Énergie potentielle p.56 Il existe 2 classes de forces : • forces « conservatives » : • dépendent de la position de M, • ou sont constantes   • forces « non conservatives » • dépendent de la vitesse de M (p43)... la plupart des forces usuelles force Lorentz, frottement visqueux, force de coriolis

  4. Énergie potentielle p.56 • Travail des forces conservatives (M1M2)W12 = F.dOM = Fvcosαdt ….. = f(M2) – f(M1)f est une primitive • On pose Ep= – f « énergie potentielle » • W12 = Ep(M1) – Ep(M2) ; attention: départ - arrivée!W12= – Ep

  5. Énergie potentielle (p.56) Travail des forces conservatives Puisque W12 = Ep(M1) – Ep(M2) : • W12 indépendant du trajet M1M2(+ / - rapide, + / - long) • W12 = 0 si M1=M2 le travail est nul surun trajet fermé

  6. Énergie potentielle des forces usuelles (p.57) • poids P= -mgk, agit selon z : Ep = –(-mgdz) Ep = mgz+ cste P= - (dEp/dz)k k M Terre P z

  7. Énergie potentielle / forces usuelles • Force gravitationnelle FAB = – GmAmB/r² er Ep = GmAmB dr/r² Ep= – GmAmB/r + cste; FAB = - (dEp/dr)er e A = O r = AB B er FAB

  8. Énergie potentielle / forces usuelles • Force coulombienne FAB = qAqB/(4ε0r²) er Ep = qAqB/(4ε0) dr/r² Ep= – qAqB/(4ε0r) + cste; FAB = - (dEp/dr)er e A = O r = AB B er FAB (cas qAqB<0)

  9. Énergie potentielle / forces usuelles • force électrique Fe = qE Ep= - qEx +cste (Ex=U, en Volt) ; Fe = -(dEp/dx) i x + + + + - - - - - M O i Fe q<0 Feq>0 E

  10. Énergie potentielle / forces usuelles • force de Lorentz F = q(E + v^B) Non conservative, pas d’énergie potentielle

  11. Énergie potentielle / forces usuelles • force de Laplace F = I(L ^B) On peut calculer Ep …mais peu utilisé I F I B

  12. Énergie potentielle / forces usuelles • force élastique F = -kr (x – 0)i Ep = +kr(x-0)dx Ep = ½ kr(x – 0)² + cste; F = -(dEp/dx)i M F l0 i O x

  13. Énergie potentielle / forces usuelles • force de frottement visqueuse F = - kv v Cas général F = kvvn n=1, 2 ou nombre réel (<3) Force non conservative, pas d’énergie potentielle F M v

  14. - Ep/dx F = - Ep/dy - Ep/dz - Ep/dr F = - Ep/dθ Énergie potentielle / forces usuellesp.56 • Si les forces sont fonction de plusieurs variables : (x,yr,tetax,y,zr,teta,z) • W = - Ep (idem 1D) • F = - grad(Ep) , grad est un opérateur vectoriel :

  15. Energie mécanique (p.59) • TEC appliqué à une force conservative W12 = ½ m(v2)² - ½ m(v1)² (Ep)1 - (Ep)2 = ½ m(v2)² - ½ m(v1)² (Ep)1 + ½ m(v1)² = (Ep)2 + ½ m (v2)² E1 = E2

  16. Energie mécanique (p.59) E = ½ mv² + Epappelée « énergie mécanique » • Force conservative => E = cste • Supposons ∑Fext = fc + fncforces conservatives (fc)+ forces non conservatives (fnc) • Wext = ½ m (v2)² - ½ m(v1)²

  17. Energie mécanique Wext = Wfc + Wfnc Ep1 – Ep2 + Wnc = ½ m (v2)² - ½ m(v1)² Wnc = ½ m (v2)² + Ep2 – ½ m(v1)² – Ep1 Wnc = E2 - E1 ; Wnc = E Variation E mécanique = travail des forces non conservatives

  18. Stabilité instabilité d’un équilibre (p.60) Allure du graphe de Ep : • Plateau(dEp/dx)=0 <=> Ep = 0 => W=0 => resultante des forces = 0 • W = 0 => ½ mv2² - ½ mv1² = 0 • Soit v1 = v2 (équilibre dynamique) • ou v1 = 0 et v2 = 0 (équilibre statique)

  19. Stabilité instabilité d’un équilibre graphe de Ep : • Tracer l’énergie mécanique (ligne horizontale) • Hauteur entre Ep et E = énergie cinétique • Ep > E impossible  barrière de potentiel • Présence de 2 barrières => puits de potentiel

  20. Ep(M) E Ec Ep position de M

  21. Stabilité instabilité d’un équilibrep.60 Soit r le déplacement de M (cette variable peut être x, z, ou r, teta…) • Plateau : Ep = 0 ou (dEp/dr) = 0 : => il y a équilibre, mais: • équilibre indifférent si (d²Ep/dr²) = 0 • " stable si (d²Ep/dr²) > 0 • " instable si (d²Ep/dr²) < 0 • Extension au cas 2D (x,yr,teta) ou 3D

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