Pravděpodobnost náhodného jevu – I. část

1. 19. března 2013 VY_32_INOVACE_110216_Pravdepodobnost_nahodneho_jevu_I.cast_DUM Pravděpodobnost náhodného jevu – I. část obr. 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

2. O teorii pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti vznikla v polovině 17. století na základě studia různých typů hazardních her, které ke zkoumání zákonitostí náhody poskytovaly rozsáhlý a přitom jednoduchý empirický materiál. Základy teorie pravděpodobnosti položili svými pracemi Blaise Pascal (1623-1662, obr. 2), Pierre de Fermat (1601-1665, obr. 3) a Jakob Bernoulli (1654-1705, obr. 4). obr. 4 obr. 2 obr. 3

3. Náhodný pokus • Pro náhodné pokusy je charakteristické, že jejich výsledek nelze předem stanovit; je určen velkým množstvím vzájemně se ovlivňujících okolností. • Klasickými příklady náhodných pokusů jsou hod mincí, rozdání karet, hod kostkou, tah sportky, otočení rulety apod. • V praktické oblasti se kupříkladu jedná o pokusy, kterými se zkoumá účinek nových léků, pokusy, které slouží k vypěstování a ke zjištění výnosu nové odrůdy zemědělské plodiny apod. obr. 5

4. Množina všech možných výsledků • Víme už, že u náhodného pokusu není možné předem určit jeho výsledek. • Je důležité vědět, že u některých náhodných pokusů lze zjistit všechny výsledky, které mohou nastat (např. při hodu hrací kostkou). • Je-li splněn požadavek, že žádné dva výsledky nenastanou současně a že jeden z nich nastane vždycky, pak mluvíme o množině všech možných výsledků. • Tuto množinu budeme označovat velkým řeckým písmenem a její libovolný prvek malým písmenem 𝟂. obr. 1

5. Náhodný jev • Náhodné jevy jsou podmnožiny možných výsledků náhodných pokusů. • Při házení kostkou jsou takovými jevy , např. padnutí šestky, padnutí lichého čísla, padnutí čísla dělitelného třemi apod. • Náhodné jevy značíme velkými písmeny … • Jevy jsou množiny, proto užíváme množinovou symboliku. Např. je-li , pak říkáme, že výsledek je příznivý jevu . • Jistý jev je celá množina . • Nemožný jev je prázdná podmnožina množiny . Označujeme obr. 6

6. Klasická definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost jevu v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu a počtu všech možných výsledků pokusu: Z této definice plyne: • Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule: • Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné: • Pravděpodobnost libovolného jevu je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné:

7. Pravděpodobnost náhodného jevu – praktická část Výukový materiál „Pravděpodobnost náhodného jevu“ se skládá ze dvou částí. V následující první části se zaměříme na tři matematické úlohy, které se budou týkat problematiky házení s hracími kostkami . V závěrečné úloze se podíváme na to, jak se klasická definice pravděpodobnosti dá uplatnit v reálné situaci ze školního prostředí. obr. 6

8. Nabídka úloh a jejich řešení Úloha 1 Řešení úlohy 1 Úloha 2 Úloha 3 Shrnutí Řešení úlohy 2 Řešení úlohy 3 Úloha 4 Řešení úlohy 4

9. zpět do nabídky úloh Úloha 1 Určete pravděpodobnost, že při hodu hrací kostkou: a) padne sudé číslo b) padne číslo menší než 3 c) nepadne čtyřka. obr. 7

10. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 1 Jedná se o konečnou množinu výsledků pokusu (počet stěn na hrací kostce, ), všechny výsledky jsou stejně možné. Jevu „padne sudé číslo“ jsou příznivé tři výsledky (2, 4, 6), a proto . Platí tedy: Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne sudé číslo, je . b) Jevu „padne číslo menší než tři“ jsou příznivé dva výsledky (1, 2), a proto Platí tedy: Pravděpodobnost, že na hrací kostce padne číslo menší než tři, je . c)Jevu „nepadne čtyřka“ je příznivých pět případů (1, 2, 3, 5, 6), takže . Platí tedy: Pravděpodobnost, že na hrací kostce nepadne čtyřka, je . obr. 7

11. zpět do nabídky úloh Úloha 2 Určete pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne: a) součet 7 b) součet 11. obr. 8

12. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 2 Všech možných výsledků při házení dvěma kostkami je Jedná se o počet všech uspořádaných dvojic sestavených z čísel . Vycházíme přitom z kombinatorického pravidla součinu: . Určíme počet výsledků příznivých jevu A „padne součet 7“. Na kostkách padnou čísla: 1, 6 – 2 možnosti (jedná se o permutaci ze dvou prvků) 2, 5 – 2 možnosti 3, 4 – 2 možnosti Celkový počet výsledků příznivých jevu je: . Platí tedy: Pravděpodobnost, že na dvou hracích kostkách padne součet sedm, je 6 7 . b) Určíme počet výsledků příznivých jevu „padne součet 11“. Na kostkách padnou pouze čísla: 5, 6 – 2 možnosti Celkový počet výsledků příznivých jevu je: Platí tedy: Pravděpodobnost, že na dvou hracích kostkách padne součet 11, je . obr. 8

13. zpět do nabídky úloh Úloha 3 Určete pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami padne: a) součet 10 b) součet 12. obr. 8

14. pokračování Řešení úlohy 3 Všech možných výsledků při házení třemi kostkami je zřejmě: . Jedná se o počet všech uspořádaných trojic sestavených z čísel . Vycházíme přitom z kombinatorického pravidla součinu: . a) Určíme počet výsledků příznivých jevu A „padne součet 10“. Na třech kostkách padnou čísla: 1, 3, 6 – 6 možností (permutace ze 3 prvků) 1, 4, 5 – 6 možností 2, 2, 6 – 3 možnosti (hodnota 6 padne na 3 různých kostkách) 2, 3, 5 – 6 možností 2, 4, 4 – 3 možnosti 3, 3, 4 – 3 možnosti Celkem možností: Pravděpodobnost, že na třech hracích kostkách padne součet 10, je: Pravděpodobnost, že na třech hracích kostkách padne součet 10, je 0,125. obr. 8

15. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 3 b) Všech možných výsledků při hodu třemi kostkami je (dle předchozího vysvětlení) Určíme počet výsledků příznivých jevu B „padne součet 12“. Na třech kostkách padnou čísla: 1, 5, 6 – 6 možností (permutace ze 3 prvků) 2, 4, 6– 6 možností 2, 5, 5 – 3 možnosti (hodnota 6 padne na 3 různých kostkách) 3, 3, 6 – 3 možnosti 3, 4, 5 – 6 možností 4, 4, 4 – 1 možnost Celkem možností: Pravděpodobnost, že na třech hracích kostkách padne součet 12, je: Pravděpodobnost, že na třech hracích kostkách padne součet 12, je 0,115 7. obr. 8

16. zpět do nabídky úloh Úloha 4 V hodině matematiky budou z přítomných 18 žáků náhodně vybráni ke zkoušení 3 žáci. Určete pravděpodobnost, že v této trojici: a) bude žák Petr b) nebude žák Petr a bude žák Karel. (Petr i Karel jsou žáci třídy, kteří jsou v hodině přítomni). obr. 9

17. pokračování Řešení úlohy 4 Počet všech možných způsobů, jak z přítomných 18 žáků vybrat trojici, je roven počtu všech trojčlenných kombinací z 18 prvků, takže: a) Každou trojici, v níž je přítomen žák Petr, dostaneme tak, že ze 17 žáků, ve kterých žák Petr není, vybereme dvojici, a tuto dvojici doplníme žákem Petrem na trojici (žák Petr představuje jednu množinu, dvojčlenná kombinace ze zbylých 17 žáků představuje druhou množinu, počet prvků vytvořených z obou množin zjistíme podle kombinatorického pravidla součinu). Počet výsledků příznivých jevu „ve vyvolané trojici je Petr“ je: Následně použijeme definici pravděpodobnosti: Pravděpodobnost, že ve vyvolané trojici bude žák Petr, je 0,166 7. obr. 9

18. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 4 b) Každou trojici, v níž není žák Petr a je žák Karel, dostaneme tak, že ze 16 zbylých žáků, ve kterých nejsou žáci Petr ani Karel, vybereme dvojici, kterou doplníme žákem Karlem (žák Karel představuje jednu množinu, žák Petr druhou množinu, dvojčlenná kombinace ze zbylých 16 žáků představuje třetí množinu, počet prvků vytvořených ze tří množin zjistíme podle kombinatorického pravidla součinu). Počet všech možných případů je totožný s variantou a): Počet výsledků příznivých jevu „ve vyvolané trojici není žák Petr a je žák Karel“ je: Následně použijeme definici pravděpodobnosti: Pravděpodobnost, že ve vybrané trojici bude žák Karel a nebude žák Petr, je 0,147 1. obr. 9

19. Shrnutí Výukový materiál „Pravděpodobnost náhodného jevu – I. část“ seznamuje s pojmy náhodný jev, náhodný pokus , jistý jev a nemožný jev. Je zde uvedena klasická definice pravděpodobnosti, na kterou se aplikují čtyři matematické úlohy, ze kterých se první tři týkají problematiky hodu hracími kostkami. Závěrečná úloha je zaměřena na reálnou situaci ze školního prostředí. Na téma pravděpodobnosti náhodného jevu navazuje další výukový materiál: „Pravděpodobnost náhodného jevu – II. část“. obr. 1

20. CITACE ZDROJŮ Použitá literatura: 1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 211. ISBN 80-7196-165-5. 2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 202-204, 207, 210- 211. ISBN 80-7196-109-4.

21. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 1) KARWATH, André. File:Cube Animation.gif - WikimediaCommons [online]. 15 February 2005 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cube_Animation.gif 2) File:Blaise pascal.jpg - WikimediaCommons [online]. 3 July 2005 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_pascal.jpg 3) File:Pierre de Fermat.png - WikimediaCommons [online]. 5 August 2005 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pierre_de_Fermat.png 4) BERNOULLI, Niklaus. File:Jakob Bernoulli.jpg - WikimediaCommons [online]. 18 July 2011 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jakob_Bernoulli.jpg 5) File:Different cards2.jpg - WikimediaCommons [online]. 13 June 2009 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Different_cards2.jpg

22. CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 6) File:Dado castanho com o número 6 visível.jpg - Wikimedia Commons [online]. 8 December 2008 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dado_castanho_com_o_n%C3%BAmero_6_vis%C3%ADvel.jpg 7) BAŤHA, Matěj. File:LIBRI-08 273 - kostka.jpg - WikimediaCommons [online]. 20.-22.11. 2008 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:LIBRI-08_273_-_kostka.jpg 8) BAŤHA, Matěj. File:Kostky.jpg - WikimediaCommons [online]. 8 August 2006 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kostky.jpg 9) File:Flickr - Saeima - Projekta „Portretu darbnīca 2012. Latvijas Mākslas akadēmijas Grafikas nodaļas studenti Saeimā” izstādes atklāšana (3).jpg - Wikimedia Commons [online]. 31 May 2012 [cit. 2013-03-19]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Flickr_-_Saeima_-_Projekta_%E2%80%9EPortretu_darbn%C4%ABca_2012._Latvijas_M%C4%81kslas_akad%C4%93mijas_Grafikas_noda%C4%BCas_studenti_Saeim%C4%81%E2%80%9D_izst%C4%81des_atkl%C4%81%C5%A1ana_(3).jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

23. CITACE ZDROJŮ Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

24. Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost. Mgr. Daniel Hanzlík