Testen von Hypothesen

1. Testen von Hypothesen Julia Antoniuk Jessica Gottschalk Susana de Miguel

2. Die beiliegende Aufgabe wurde in Mecklenburg-Vorpommern als Beispielaufgabe für das Abitur 2008 für einen Leistungskurs veröffentlicht. 1. Lösen Sie die Aufgabenteile 3.3 und 3.4 unter Verwendung des Ergebnisses der Teilaufgabe 3.2 vollständig. Diskutieren Sie die Formulierung von Aufgabenteil 3.4 kritisch. 2. a) Entwerfen Sie einen Erwartungshorizont zur Bewertung der Schülerleistungen für diese beiden Teilaufgaben. Verteilen Sie insgesamt 20 Punkte und ordnen Sie die erwarteten Leistungen den Anforderungsbereichen I bis III zu. b) Worin sehen Sie die größten Schwierigkeiten dieser Aufgabe? c) Mit welchen Schülerfehlern rechnen Sie?

3. Lösung 3.1: Mögliche Fehler: • Sch. erkennen nicht, dass die ersten vier Ziffern keine Rolle spielen und versuchen mit allen Ziffern zu rechnen. • Sch. erkennen nicht, dass die Zahlen, bei denen die ersten vier Ziffern 6 sind, größer als 6 661 666 sind. Sch. erkennen nicht, dass nur die ersten vier Ziffern eine Rolle spielen.

4. Lösung 3.2: Das kann als Bernoulli-Kette interpretiert werden. Mögliche Fehler: • Sch. erkennen nicht, dass die Anzahl der Sechsen , aber nicht • Sch. interpretieren das Spiel nicht als Bernouli-Kette.

5. Lösung 3.3:

6. Fehler 1. Art = Ablehnen, obwohl die Hypothese richtig ist. Nach Tabelle gilt dies für k = 31 Mögliche Fehler: • Sch. erkennen nicht, dass es sich hier um Fehler 1.Art handelt. • Sch. verwechseln die Wahrscheinlichkeiten 0,1 und 0,126.

8. Aufgabenstellung 3.4: Formulierung ist schwer verständlich Besser: Angenommen der Automat gibt Gewinnlose mit einer Wahrscheinlichkeit p=0,15 aus. Nutzen Sie die Entscheidungsregel aus 3.3, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass dieser Fehler nicht erkannt wird. Oder : Berechnen Sie den Fehler 2. Art, falls die tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit p=0,15 ist (unter der Entscheidungsregel aus 3.3).

9. Lösung 3.4: Bernoulli-Kette Anzahl überprüfte Lose n=200 Neue Gewinnwahrscheinlichkeit p=0.15 X= Anzahl Gewinnlose Berechnung des Erwartungswerts E(X)=n·p=200·0,15=30 Wahrscheinlichkeit, dass fehlerhafte Gewinnwahrscheinlichkeit nicht erkannt wird (Fehler 2. Art) mit Entscheidungsregel aus 3.3 („0 bis 31 Treffer“ bilden Annahmebereich) : aufsummierte Wahrscheinlichkeit (s.Tabelle) 62.47% Aufsummierte Wahrscheinlichkeiten für p=0.15 und n=200

10. Beurteilung des Tests Anzahlen im Bereich des Erwartungswerts (z.B. 29, 30, 31) sind wahrscheinlich. Entscheidungsregel aus 3.3 („0 bis 31 Treffer“ bilden Annahmebereich) • Werte liegen alle im Annahmebereich Bei Ausgabe von fehlerhaften Gewinnlosen, deren Wahrscheinlichkeit sich nur geringfügig von der angestrebten Wahrscheinlichkeit unterscheidet, ist die gewählte Entscheidungsregel nicht geeignet. Verbesserung des Testergebnis durch Erhöhung der Anzahl der geprüften Lose

11. Mögliche Fehler: • Sch. verwechseln Fehler 1. Art und Fehler 2. Art. • Sch. verwenden die Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% aus dem Aufgabeteil 3.3.

12. Lösung 3.5: Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Sonderlos“: Modell: Bernoulli-Kette. Mögliche Fehler: • Sch. erkennen nicht, dass nur die ersten vier Ziffern eine Rolle spielen.

13. Lösung 3.6: Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Gewinnlos und zugleich Sonderlos“: Mögliche Fehler: • Sch. denken, dass es sich hier um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt und lösen die Aufgabe dementsprechend. • Sch. vergessen eine der beiden Möglichkeiten (dass die „6“ zwei oder drei mal auf den letzten 3 Stellen auftreten darf)

14. Erwartungshorizont zur Bewertung Aufgabe BE Anforderung 3.1 1 P („Zahl endet mit 111“) berechnen 1 P („Zahl ist größer als 6661666“) berechnen 3.2 1 Modell festlegen 1 Modellparameter bestimmen 1 P („Gewinnlos“) berechnen 3.3 1 Modell festlegen 1 Annahmebereich bestimmen 1 Erwartungswert berechnen 1 kritischen Wert mit Tabelle bestimmen 1 Formulierung der Entscheidungsregel Summe 10

15. Erwartungshorizont zur Bewertung Aufgabe BE Anforderung 3.4 1 Modell festlegen 1 Erwartungswert berechnen 1 Fehler 2. Art mit Tabelle bestimmen 1 Beurteilung des Test 1 Verbesserungsvorschlag für den Test 3.5 1 Modell festlegen 1 P („Sonderlos“) berechnen 3.6 1 Zwischenwerte berechnen P(„2-mal 6“); P(„3-mal 6“) 1 Berechnung unter Verwendung der Summenregel 1 Berechnung unter Verwendung des Multiplikationssatz Summe 10 Summe insgesamt: 20 BE

16. Zuordnung der Anforderungsbereiche I-III 3.1 I Reproduktion: Anwendung von Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm 3.2 II Zusammenhang herstellen: Spiel mit Gewinnlos als Bernoullikette erkennen 3.3 II Zusammenhang herstellen: Versuch kann als Bernoullikette gesehen werden 3.4 II+III Zusammenhang herstellen: Fehler 2. Art mit neuem Modellparameter Reflektion/ Interpretation des gewählten Test 3.5 I Reproduktion: Anwendung Bernoullikette 3.6 II Zusammenhang herstellen: 2-stufiges Zufallsexperiment; Pfadwahrscheinlichkeiten mit Bernoullikette berechnen

17. Worin sehen Sie die größten Schwierigkeiten dieser Aufgabe? • Bei Aufgabe 3.1 kann es sein, dass die Schüler alle Ziffern betrachten wollen. • Die gegebene Tabelle kann für Schüler schwierig zu verstehen sein. (Tabelle unklar, man muss erraten, dass hier die Binomialverteilung gemeint ist.) • Die Hypothese und den Ablehnungsbereich richtig festlegen. • Aufgabe 3.4 ist sehr schwer verständlich (siehe oben).