Calcolo letterale

1. Calcolo letterale

2. Le espressioni letterali Sono espressioni contenenti numeri reali e lettere. A=(B+b)h/2 A=2(b+h) Le lettere rappresentano numeri reali. La stessa lettera assume sempre lo stesso valore.

3. Le espressioni letterali Le espressioni letterali tali che a nessuna delle lettere è applicata l’operazione di reciproco sono dette intere. Altrimenti si dicono frazionarie. Le espressioni letterali frazionarie possono perdere significato per alcuni dei valori delle variabili.

4. Le espressioni letterali a≠-2 ax2:b b≠0 a≠0 e b≠0 (a)-1 a≠0

5. I monomi I monomi sono espressioni composte da prodotti tra numeri reali e lettere. A=l•l=l2 A=bh/2 Un monomio si dice ridotto in forma normale quando le lettere compaiono una sola volta.

6. I monomi Ogni monomio è composto da un coefficiente (segno più fattore numerico) e da una parte letterale. -2axy2 ab

7. I monomi 0 = 0a = 0xvtr … Si dice nullo il monomio avente coefficiente 0.

8. I monomi -2a7xy2 Dato un monomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua lettera l’esponente di questa lettera. Si dice grado complessivo (o assoluto) del monomio la somma degli esponenti di tutte le sue lettere.

9. I monomi 2a 2ab Si dicono simili monomi aventi la stessa parte letterale. 2a 3a2 2a 3a

10. I monomi 2a 2ab Si dicono uguali monomi aventi la stessa parte letterale e stesso coefficiente. 2a 2a2 2a 2a

11. I monomi 2a -2ab Si dicono opposti monomi aventi la stessa parte letterale e coefficiente opposto. 2a -2a2 2a -2a

12. Operazioni tra monomi Somma Può essere effettuata solo tra monomi simili Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la somma dei coefficienti dei due addendi. 3a+2ax 3a+2a ⅛a-√2a

13. Operazioni tra monomi Differenza Può essere effettuata solo tra monomi simili Il risultato è ancora un monomio simile avente come coefficiente la differenza dei coefficienti dei due addendi. 3a-2ax 3a-2a ⅛a-(-√2a)

14. Proprietà delle operazioni Somma Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 0 a+0=a • Sottrazione • Commutativa • Associativa(ab-2ab)-ab ≠ ab-(2ab-ab) • Esistenza elemento neutro 0 a-0=a

15. Operazioni tra monomi Moltiplicazione Si può effettuare tra monomi qualunque. Il risultato è ancora un monomio che ha: Coefficiente pari al prodotto dei coefficienti Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei due monomi, con esponente pari alla somma degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori. (3a) • (2a) (3ab)•(2a2xy3) (⅛avn)•(√2ba)

16. Operazioni tra monomi Elevamento a potenza (esponente naturale) Il risultato è ancora un monomio che ha: Coefficiente pari alla potenza del coefficiente della base Parte letterale formata da tutte le potenze delle lettere presenti nel monomio che costituisce la base. (3a2b)3 (⅛√2bwa)1

17. Operazioni tra monomi Divisione Si può effettuare tra due monomi A e B, con B non nullo, se il monomio A contiene tutte le lettere del monomio B ma di grado maggiore o uguale. Il risultato è ancora un monomio che ha: Coefficiente pari al quoziente dei coefficienti Parte letterale formata da tutte le lettere presenti nei due monomi, con esponente pari alla sottrazione degli esponenti che le stesse lettere hanno nei due fattori. (2x2):x : (2ax):(ax2) (2ax):(az)

18. Proprietà delle operazioni Prodotto Commutativa Associativa Esistenza elemento neutro 1 ax1=a ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0  (a=0  b=0) Prodotto e somma Distributiva ax(b+c) = axb + axc

19. Proprietà delle operazioni Divisione Commutativa Associativa (8ya3:4y):2a ≠ 8ya3:(4y:2a) Esistenza elemento neutro 1 a:1=a 0:a=0 a:0 IMPOSSIBILE 0:0 forma indeterminata Divisione e somma Distributiva (a+b):c = a:c + b:c Distributiva a:(b+c) ≠ a:b + a:c Divisione e prodotto a:(bc) ≠ (a:b)c

20. ab ac = ab+c • ab : ac = ab-c • (ab) c = abc • abcb = (ac)b • ab : cb = (a:c)b Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza

21. Calcolare per a=2 e b=-3. + Esercizi

22. Esercizi

23. 2x2y a2b3 mcm e MCD Si dice divisore di un monomio A ogni monomio B tale che la divisione di A per B dà come risultato un monomio.

24. mcm e MCD Il massimo comune divisore tra due monomi A e B, MCD(A,B), è ogni monomio C tale che: C è divisore sia di A che di B ogni altro monomio D che divide sia A che B ha grado minore o uguale a quello di C. ½x2z2a -4x2yz3t 3x2y2z

25. mcm e MCD Considerare una sola volta tutte le lettere comuni ai vari monomi. Scegliere come esponente il più piccolo con cui quella lettera compare. Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0. ½x2z2a -4x2yz3t 3x2y2z

26. 2x2y Il minimo comune multiplo tra due monomi A e B, mcm(A,B), è ogni monomio non nullo C tale che: C è multiplo sia di A che di B ogni altro multiplo D comune ad A e B ha grado maggiore o uguale a quello di C. mcm e MCD Si dice multiplo di un monomio A non nullo ogni monomio B tale che B=A•C, dove C è un monomio.

27. mcm e MCD Considerare una sola volta tutte le lettere comuni e non comuni ai vari monomi. Scegliere come esponente il più grande con cui quella lettera compare. Scegliere come coefficiente un numero reale ≠ 0. ½x2z2a -4x2yz3t 3x2y2z

28. Calcolare il m.c.m. ed il M.C.D tra i seguenti monomi: Esercizi

29. I polinomi I polinomi sono espressioni composte dalla somma di monomi. A=(B+b)h/2 A=2(b+h)

30. I polinomi Un polinomio si dice ridotto in forma normale quando vi compaiono solo monomi ridotti in forma normale e non compaiono monomi simili.

31. I polinomi Un polinomio ridotto in forma normale si dice omogeneo quando i monomi che lo compongono hanno tutti lo stesso grado.

32. I polinomi 2a+4c2h-7qs3i2 4c2h-7s3i2q+2a Si dicono uguali due polinomi ridotti in forma normale tali che ogni monomio del primo polinomio compare anche nel secondo.

33. I polinomi Si dicono opposti due polinomi composti dallo stesso numero di monomi e tali che per ogni monomio del primo, il secondo polinomio contiene il suo opposto. 2a+4c2h-7qs3i2 -4c2h+7s3i2q-2a

34. I polinomi Si dice nullo il polinomio composto dal solo monomio nullo.

35. I polinomi Dato un polinomio non nullo ridotto in forma normale, si dice grado rispetto ad una sua lettera il massimo esponente che assume questa lettera nei monomi che compongono il polinomio. 2a+4a2h-7qa3i2 Si dice grado complessivo (o assoluto) del polinomio il massimo dei gradi complessivi dei vari monomi che lo compongono.

36. Operazioni tra polinomi Somma Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. Si scrive un unico polinomio ottenuto sommando i vari addendi e poi si riducono gli eventuali termini simili. 3a+2ax -3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab

37. Operazioni tra polinomi Differenza Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. Si ottiene sommando al polinomio A l’opposto del polinomio B. -3ax+2ab-⅝b ⅛b-√2a-7ab

38. Operazioni tra polinomi Moltiplicazione Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. Si effettua ricorrendo alla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma e poi riducendo eventuali termini simili. a2+ab-b a-3b

39. (x+1)(x+2) x+1(x+2) = x2+2x+x+2 Operazioni tra polinomi Moltiplicazione L’importanza delle parentesi

40. Esercizi Verificare la seguente identità

41. Operazioni tra polinomi Potenza di un polinomio Può essere effettuata sempre ed il risultato è ancora un polinomio. L’operazione è generalmente lunga e complessa ma ci sono alcuni casi particolari che consentono di semplificare l’operazione.

42. Operazioni tra polinomi Prodotti notevoli Quadrato di un binomio (a+b)2=a2+b2+2ab b a a+b a b

43. Operazioni tra polinomi Prodotti notevoli Cubo di un binomio (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2

44. Operazioni tra polinomi Prodotti notevoli Somma per differenza (a+b)●(a-b)=a2-b2

45. Esercizi Verificare la seguente identità

46. Operazioni tra polinomi Divisione per un monomio non nullo Si può eseguire in modo esatto quando il monomio divide tutti i monomi che compongono il polinomio. Il risultato si ottiene applicando la proprietà distributiva della somma rispetto alla divisione x2 3x3-4a2x2+¼x4a

47. Operazioni tra polinomi Divisione tra due polinomi P e D (non nullo) Si dice quoziente della divisione l’espressione letterale Q tale che P=Q●D. In generale Q non è un polinomio. a+b 2ax Se D è un divisore di P allora Q è un polinomio. ax-3a+2x-6 a+2

48. Operazioni tra polinomi Divisione tra polinomi in una variabile Dati due polinomi P e D nella stessa variabile e tali che P sia di grado maggiore rispetto a D, la divisione può essere effettuata in modo esatto quando esiste un polinomio Q tale che P=Q●D. può essere effettuata con resto quando esistono due polinomi Q e R tali che P=Q●D+R. R è di grado inferiore a P

49. Operazioni tra polinomi Divisione tra due polinomi in una variabile Ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado della variabile. Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo. (2x4+3x3-x2+x+2):(x2+x-3) (2a2-3a3-a4+2):(-3+a2-a) (3x3y3-3x2y2+1):(xy-2)

50. Operazioni tra polinomi Divisione tra due polinomi in più variabili Scegliere una lettera e ordinare i due polinomi in modo decrescente rispetto al grado di quella variabile. Inserire 0 al posto degli eventuali termini mancanti nel dividendo. (2x3-3ax2-4a3+2xa2):(a+x)