CALCOLO LETTERALE I MONOMI

1. CALCOLO LETTERALEI MONOMI SISSIS VIII CICLO – CLASSE 59/ADOCENTE: PROF. LIZZIODISCIPLINA: LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICASPECIALIZZANDO:dott.ssa DANIELA EUGENIA GRASSO

2. TEMI TRATTATI • Unità didattica(seguendo le modalità di progettazione didattica inserita nelle Indicazioni Nazionali della Riforma n.53/2003 e D.Lgs. n.59/2004) e traccia didattica(modalità di svolgimento degli argomenti scelta dall’insegnante); • Confronto fra testi per scuola secondaria di 1^ grado; • Critica sull’argomento.

3. ANNO: III PREREQUISITI: possedere il concetto di numero relativo; capacità di operare con i numeri relativi; Capacità di operare con le potenze; OBIETTIVI FORMATIVI: Acquisire il concetto di monomio; Acquisire la capacità di operare con i monomi; ABILITA’: Saper tradurre in un’espressione letterale una informazione; Saper calcolare il valore numerico di una espressione letterale; Saper utilizzare le regole di calcolo con i monomi; INTERDISCIPLINARIETA’: Scienza greca (600 a.C. – 150 a.C.); Fisica; CONTENUTI: Uso delle lettere per indicare numeri; Espressioni algebriche letterali; Concetto di monomio; Le operazioni con i monomi; METODOLOGIE: “costruzione” del concetto di calcolo letterale attraverso esperienze pratiche; Lezione frontale partecipata; Esercitazioni di gruppo; ATTIVITA’E VERIFICHE: Esperienze pratiche attraverso oggetti comuni; Prove oggettive (esercizi guidati; V/F; esercizi di recupero; verifica delle conoscenze; padronanza dei contenuti; esercizi di autovalutazione) ELEMENTI RIFERITI AL PECUP: Rappresentare con lettere le principali proprietà delle operazioni; UNITA’ DIDATTICA

4. Confronto tra testi della Petrini editore • Lepora M. (1996) – Algebra. UdA: Calcolo letterale • Lettere al posto dei numeri. • Monomi. • Operazioni con i monomi: addizione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza. • Mariscotti M. (1980) – Educazione matematica. Introduzione al calcolo letterale. Lettura, scrittura, uso e trasformazione di formule. • Uso delle lettere per indicare i numeri. • Espressioni algebriche letterali. • Formule e il loro uso. • Trasformazioni di formule. • Scheda storica complementare: il calcolo letterale. Monomi ed operazioni su di essi. • Monomi. • Osservazioni sui monomi. • Monomio nullo, monomio unità. • Grado di un monomio. • Monomi simili. • Addizione di monomi. • Riduzione dei termini simili. • Sottrazione fra due monomi. • Moltiplicazione di monomi. • Elevazione a potenza di un monomio. • Quoziente fra due monomi. • Mariscotti M. (2006) – Matematica Oggi. UdA: Calcolo letterale. Equazioni e disequazioni. Monomi. • Uso delle lettere al posto dei numeri. • Espressioni algebriche letterali. • Osservazioni sulle espressioni letterali. • I monomi. • Monomi simili. • Addizione tra monomi. • Sottrazione fra due monomi. • Moltiplicazione di monomi. • Elevamento a potenza di un monomio. • Quoziente tra due monomi. • Un po’ di storia: il calcolo letterale.

5. Test iniziale – verifica di consolidamento Sottoporre gli alunni ad un test per valutare il possesso dei prerequisiti richiesti. Si tratterà di esercizi riguardanti le operazioni con i numeri relativi e le operazioni di potenze. OSSERVAZIONI Tali prerequisiti rappresentano la base su cui impiantare il nuovo argomento. Il calcolo letterale rappresenta per gli alunni un nuovo modo di “fare matematica”, anche se spesso l’argomento in oggetto è trattato in modo troppo nozionistico. Il risultato è un gap che l’alunno mentalmente crea tra l’aritmeticasensu strictu e l’algebra.

6. Perché il calcolo letterale… • Guardati intorno e descrivi il numero di cio' che vedi: • 1 computer • 1 schermo • 2 sedie • 3 penne • 12 libri In pratica quando parliamo di numeri nel mondo reale abbiamo sempre a che fare con i numeri con “appiccicata un'etichetta”: il fatto di essere libri o penne.Non esistono numeri senza una qualità; se diciamo 2 non ha significato mentre se dici 2 sedie, 2 mele e così via ha significato.Allora noi dobbiamo studiare le proprietà dei numeri che hanno un'etichetta:come si comportano 2 mele oppure 2 sedie rispetto alle operazioni? • Senza scomodare mele o sedie semplificheremo chiamando i numeri con relative proprietà 2a oppure 2b (utilizzando il minor numero possibile di lettere dell'alfabeto).

7. Il calcolo letterale: un esempio … Il calcolo letterale si occupa del calcolo relativo alle espressioni letterali. Illustriamo tale concetto con un semplice esempio: Indichiamo con a il notes, con b la matita e con c la penna e vogliamo eseguire la seguente addizione per saper quanti oggetti di ciascuna specie abbiamo: 3 l + 5 b + 2 c + 7l + 3 b + 4 c

8. È chiaro che possiamo addizionare fra loro soltanto gli oggetti di ciascuna specie. Applicando prima la proprietà commutativa e poi quella associativa, abbiamo: 3 l + 5 b + 2 c + 7l + 3 b + 4 c = 3 l + 7l + 3 b + 5 b + 2 c + 4 c = (3 l + 7l ) + (3 b + 5 b ) + (2 c + 4 c ) = 10l + 8 b + 6 c Cioè abbiamo in tutto 10 notes, 8 matite, 6 penne.

9. Uso delle lettere per indicare i numeri: introduzione alle espressioni letterali Nello studio della matematica sovente si utilizzano le lettere dell’alfabeto per rappresentare numeri: a + b ………….. rappresenta la somma di a e b a + b = b + a………….. rappresenta la proprietà commutativa dell’addizione In geometria si usano lettere per indicare le formule ( “si dice formula una uguaglianza che esprime una regola di calcolo od una proprietà”; Mariscotti, 1980) per calcolare aree e volumi, nelle scienze in genere e nella matematica finanziaria per rappresentare leggi: A = b*h S = vt I = Crt / 100 Possiamo concludere che si possono usare le lettere per indicare relazioni di carattere generale che sono valide qualunque sia il valore numerico che si attribuisce alle lettere stesse. L’uso delle lettere per rappresentare i numeri consente di scrivere in modo conciso proposizioni che potrebbero essere lunghe e laboriose, ad esempio: 3a +2 ∕ 5 b + 2c Indica l’addizione del triplo del numero a, di 2 ∕ 5 del numero b e del doppio del numero c. “Si dice espressione letterale algebrica un insieme di numeri, rappresentati tutti o in parte da lettere, legati fra loro da segni di operazioni” (Mariscotti, 1980; 2006). “Si dice espressione letterale una sequenza di operazioni i cui termini sono tutti o in parte rappresentati da lettere” (Lepora, 1996).

10. Se ad ognuna delle lettere che compaiono in una espressione letterale assegniamo un particolare valore numerico, otteniamo un’espressione numerica di cui possiamo calcolare il valore. “Calcolare il valore di un’espressione letterale per determinati valori attribuiti alle lettere che in essa figurano, significa sostituire a ciascuna lettera il corrispondente numero assegnato e calcolare il valore dell’espressione numerica così ottenuta” (Mariscotti, 2006). esempio: 3a2 -2ab2 + b2, per a = -3, b = -2 Sostituiamo alle lettere i valori assegnati e otteniamo: 3a2 -2ab2 + b2 = 3 (-3) 2 – 2 (-3) (-2)2 + (-2) 2 = 3 * 9 – 2 (-3) * 4 + 4 = 27 + 24 +4 =55 A questo punto si procederà con gli esercizi che avranno lo scopo di verificare lo stato d’apprendimento e rinsaldare le conoscenze pregresse. A tal proposito sarà utile inserire tra gli esercizi proposti, anche dei casi in cui la soluzione è impossibile o indeterminata. “Affinchè un’espressione letterale non perda di significato non si possono attribuire alle lettere valori che rendono uguali a zero eventuali denominatori, perché non ha senso dividere per zero. “…Non si possono attribuire valori alle lettere che rendono negative espressioni sotto il segno di radice quadrata, perché non esiste la radice quadrata di un numero negativo nell’insieme R dei numeri reali.” (Mariscotti, 1980; 2006)

11. da Mariscotti (2006):

12. I segni che precedono le lettere… Se la lettera a rappresenta il numero +5 risulta: +a = + (+5) = +5 -a = - (+5) = -5 Se la lettera a rappresenta il numero -5 risulta: +a = + (-5) = -5 -a = - (-5) = +5 Possiamo concludere che: Scrivendo +a intendiamo considerare con il proprio segno il numero relativo rappresentato da a. Scrivendo -a intendiamo considerare con il segno cambiato il numero rappresentato da a.

13. I MONOMI: cosa sono? • Supponiamo di avere 2 mele ; cosa significa? che abbiamo un numero (2) seguito dalla proprietà di essere mele; ecco questo e' un monomio, cioè intuitivamente  un monomio e' un numero seguito da una “proprietà”. • In greco MONOS significa uno solo cioè noi consideriamo più cose come un tutto unico: 2a²b nb: il linguaggio utilizzato non è rigoroso ovvero non si tratta di una definizione in linguaggio matematico, ma rappresenta un possibile approccio da utilizzare con gli alunni per introdurre l’argomento dei monomi utilizzando il linguaggio naturale, per poi trattare l’argomento con il rigoroso ed inequivocabile linguaggio matematico.

14. I MONOMI: definizione “si dice monomio ogni espressione algebrica, numerica o letterale, che non contiene le operazioni di addizione e sottrazione” (Mariscotti, 1980; 2006). “si dice monomio ogni espressione letterale che non contiene addizioni algebriche” (Lepora, 1996). “Un insieme di numeri e lettere in cui non compaiono operazioni di addizione e sottrazione ma solamente di moltiplicazione e divisione” (http://www.ripmat.it/mate/a/ab/ab0.html).

15. Nel monomio si distinguono 3 parti: -3a2b3 il segno -         il numero 3         le lettere a2b3 Intuitivamente possiamo dire che: • sui segni si devono usare le regole studiate nei numeri interi relativi; • sui numeri si devono usare le regole dei numeri razionali; • sulle lettere si devono usare le regole delle potenze; Esempi di monomi:-3a   e' un monomio 7ab   e' un monomio ¾a³bc²   e' un monomio ¼ - a non e' un monomio

16. Il fattore numerico si dice coefficiente del monomio e il prodotto dei fattori letterali si dice parte letterale del monomio. ESEMPIO: 3a2bc coefficiente 3 parte letterale a2bc “Un monomio si dice intero se in esso non compaiono lettere (con esponente intero positivo) come divisori; in caso contrario si chiama frazionario o fratto.” ESEMPIO MONOMI INTERI: 3a2bc4/5 x3yz2 -xy2z3 ESEMPIO MONOMI FRAZIONARI: -3ab-2 = -3a/b2

17. Se in un monomio figurano più fattori numerici o più volte la stessa lettera, la scrittura si semplifica. • ESEMPIO: -5a3bc · (-2a2b3c2d2) = -5 · (-2) a3a2bb3cc2d2 = 10a5b4c3d2 “Un monomio si dice ridotto a forma normale se contiene un solo fattore numerico, scritto al primo posto, e potenze letterali di basi tutte diverse tra loro” (Mariscotti, 2006). “Si dice monomio nullo un monomio che ha per coefficiente zero: 0ab, 0x3y2z, 0b” (Mariscotti, 1980). “Si dice monomio unità un monomio costituito dalla sola unità (positiva). Sono monomi unità: a0b0c0, (-1)2 a0b0c0.” (Mariscotti, 1980).

18. “Si dice grado di un monomio rispetto a una lettera l’esponente con cui la lettera compare nel monomio”. “Si dice grado complessivo del monomio, la somma degli esponenti delle sue lettere” (Mariscotti, 2006). Ad esempio: 2abc ha grado3 mentre 2a³b²c ha grado 6 in totale perchèa³=aaa e' formato da tre lettere b²=bb e' formato da due letterementre c e' una lettera sola Quindi il monomio ha grado 3 rispetto alla lettera agrado 2 rispetto alla lettera bgrado 1 rispetto alla lettera cin totale rispetto a tutte le lettere ha grado 6 Proviamo a scrivere 2 case e poi scriviamo 2 casse sono due cose diverse, perchè? evidentemente perchè i numeri due si riferiscono ad oggetti diversi, ma perchè sono diversi?perchè nel primo oggetto c'e' una lettera s in meno e nel secondo c'e' una lettera s in piu'quindi e' importante contare quante lettere fanno parte del monomio perchè quantità diverse di lettere rappresentano cose diverse cioe' ab² e' diverso da a²b. Grado di un monomio

19. Monomi simili • “Due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale, cioè se essa è formata dalle stesse lettere rispettivamente con gli stessi esponenti.” (Mariscotti, 1980; 2006). • “Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale”. (Lepora, 1996). • “Due monomi si dicono opposti se sono simili e hanno per coefficienti due numeri opposti.” (Mariscotti, 1980, 2006; Lepora, 1996). • “Due monomi si dicono uguali se sono simili e hanno un coefficiente uguale.” (Mariscotti, 1980; 2006)

20. Monomi simili ESEMPI MONOMI SIMILI: 2a³b²c -2/5a³b²c 3/4a³b²c ESEMPI MONOMI OPPOSTI: 2a³b²c e -2a³b²c -2/5a³b²c e 2/5a³b²c 3/4a³b²c e -3/4a³b²c ESEMPI MONOMI UGUALI: 2a³b²c e 2a³b²c 2/5a³b²c e 2/5a³b²c 3/4a³b²c e 3/4a³b²c OSSERVAZIONI I testi per il III anno della scuola secondaria di primo grado, sia i più superati che i più recenti consultati, non inseriscono durante questa prima parte dell’argomento molti esercizi di verifica, anche se, a parere della scrivente, questi sono necessari affinché l’alunno non abbia in seguito problemi affrontando esercizi su espressioni letterali sempre più complesse.

21. Esercizio 1 – verifica d’apprendimentoe dell’uso del linguaggio obiettivi: raggiungere un buon livello dell’uso del linguaggio, saper distinguere le parti che compongono un monomio e un monomio opposto da uno uguale. difficoltà incontrate: entrare nell’ottica di ragionare non solo con i numeri ma anche con le lettere e rispettare allo stesso modo le regole che valgono per i numeri relativi (Z) e per le potenze.

22. Addizione tra due monomi Per capire le regole che guidano la somma fra monomi si pensi al seguente esempio:2 mele + 3 banchi = (2 mele + 3 banchi)2 mele + 3 mele = 5 mele si possono sommare fra loro degli oggetti solamente se sono dello stesso tipo, cioè se dopo il numero hai le stesse lettere. “ La somma di due o più monomi simili è il monomio simile a quelli dati, avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti” (Mariscotti, 1980, 2006). Lepora (1996) aggiunge alla definizione di cui sopra: “La somma algebrica di monomi non simili può solo essere indicata, scrivendo i monomi uno di seguito all’altro, ciascuno con il proprio segno”. ESEMPIO: • 5X2 + 6X2 – 9X2= (5 + 6 – 9)X2 = 2X2 • 1/3ax2 + 3x + 12ax – 2ax2 + 5 =(1/3 – 2) ax2 + 3x + 12ax +5 = 1 – 6/3 ax2 +3x + 12ax + 5 La somma di due monomi opposti è uguale a zero: -2/5a³b²c + 2/5a³b²c = 0

23. Sottrazione tra due monomi • PER LA DIFFERENZA LE REGOLE SONO LE STESSE CHE PER LA SOMMA INFATTI BASTERA' SOTTRARRE INVECE DI SOMMARE, QUINDI • 5a³b²-2a³b²=3a³b² • mentre • 5a³b²-2a²b² • resta così perchè i monomi non hanno la stessa parte letterale (le lettere sono le stesse ma non sono uguali le potenze) • QUINDI D'ORA IN AVANTI QUANDO PARLEREMO DI SOMMA SI INTENDERA' LA SOMMA ALGEBRICA, • Applicheremo cioè le regole valide per la sottrazione dei numeri relativi. Anche le denominazioni di minuendo, sottraendo e differenza restano immutate.

24. Moltiplicazione di monomi • Per indicare la moltiplicazione di due monomi, ad esempio: -3ab e -5bc Possiamo ricorrere a una delle seguenti scritture: (-3ab) · (-5bc); (-3ab) (-5bc); -3ab · (-5bc); -3ab · (-5bc) Dati i due monomi: 3a3b2e 2a2bc Il prodotto (+ 3a3b2) · ( - 2a2bc) gode delle proprietà: Dissociativa = 3 · a3 · b2 ·(-2) · a2 · b · c Commutativa = 3 · (-2) · a3 · a2 · b2 · b · c Associativa = [3 · (-2) ] · (a3 · a2) · (b2 · b) · c = -6 a5b3c “Il prodotto di due o più monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi dati e la cui parte letterale è formata da tutte le lettere che figurano nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta con esponente uguale alla somma degli esponenti che essa ha nei monomi” ESEMPIO: -3ab · (-6ax2) = 18 a2bx2 9a3 · 3a2b · (1/5 ax2) = -27/5 a6bx2 Il prodotto di monomi ha per grado la somma dei gradi dei singoli monomi fattori.

25. Elevamento a potenza di un monomio • La potenza di un monomio è il prodotto di più fattori uguali a quel monomio. Ad esempio: (-2a4b3c2)3 = (-2a4b3c2) · (-2a4b3c2) · (-2a4b3c2) = - 8 a12b9c6 (abc)m = am· bm · cm (ab)c = a b·c “La potenza di un monomio si ottiene elevando a potenza sia il coefficiente sia ciascuna lettera della parte letterale” (Lepora, 1996).

26. Quoziente fra due monomi • Consideriamo una divisione fra due monomi interi: 15a5b3x : 3a3by Il quoziente si può scrivere sotto forma di frazione che ha per numeratore il monomio dividendo e per denominatore il monomio divisore: 15a5b3x 3a3by Questo monomio potrà essere semplificato utilizzando le proprietà delle potenze che hanno la stessa base, ottenendo: 5a2b2y y Dall’esempio possiamo passare alla seguente regola: “Dati due monomi interi, il secondo dei quali sia diverso da zero, si dice che il primo è divisibile per il secondo se esiste un terzo monomio intero che, moltiplicato per il secondo, dà per prodotto il primo.” (Mariscotti, 1980, 2006). Nel dividendo devono figurare tutte le lettere del monomio divisore e le lettere del dividendo devono avere esponente maggiore o uguale a quello che hanno nel divisore. am :an = am-n “Il quoziente di due monomi interi si ottiene scrivendo la frazione che ha per numeratore il monomio dividendo e per denominatore il monomio divisore, ed eventualmente semplificandola”

27. Esercizi proposti • Esercizi guidati; • Esercizi di autovalutazione; • Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento. Gli esercizi sono suddivisi per verificare conoscenze, capacità e competenze in: • Verifica delle conoscenze, con cui si valuta l’acquisizione degli argomenti trattati; • Padronanza dei contenuti che permette di verificare la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite; • Prova delle competenze che evidenzia il conseguimento di autonomia operativa e di rielaborazione individuale.

28. Esercizi guidati Obiettivi: aiutano l’allevo a conseguire capacità operative e di rielaborazione nell’ambito del nuovo argomento e permettono di verificare le conoscenze acquisite.

29. Esercizi di autovalutazione Obiettivi: verificare in itinere il grado di preparazione a cui è pervenuto poiché si concludono con una indicazione sul livello raggiunto.

30. Esercizi di recupero – verifica d’apprendimento • Obiettivi: riprendere gli argomenti proposti nell’autovalutazione e sono uno strumento di rinforzo e di approfondimento poiché è la prima fase di applicazione personale degli alunni; sono quindi propedeutici agli esercizi successivi.

31. Critiche all’insegnamento dell’algebra e del calcolo letterale L. Tomasi (2003) sottolinea le difficoltà incontrate dagli allievi nel passaggio dall’aritmetica all’algebra, a causa spesso di un insegnamento stereotipato e ripetitivo di regole non adeguatamente motivate. V. Villani (2003), a proposito dell’insegnamento dell’algebra, riprendendo un memorabile articolo scritto con Giovanni Prodi (Anche il calcolo letterale può essere intelligente, in “Archimede” 34, n. 4, 1982), osserva: “stranamente i libri di testo, e di conseguenza anche gli insegnanti, riguardo al calcolo algebrico, si limitano ad elencare un gran numero di regole prescrittive apparentemente slegate tra loro e non inserite in un quadro teorico globale. Eppure anche l’algebra, al pari della geometria e di ogni altro settore della matematica, è una teoria costituita da assiomi e teoremi.” M. Impedovo (1993) afferma che “l'enfasi con la quale viene insegnato il calcolo letterale in Italia è eccessiva. Tutte le cosiddette "regole" del calcolo algebrico sono da ricondursi essenzialmente alle caratteristiche della struttura algebrica di campo, e quindi sono tutte riassumibili in poche, semplici proprietà che riguardano le due operazioni fondamentali di addizione e moltiplicazione. Scarsa attenzione viene invece rivolta al concetto di struttura algebrica, che potrebbe costituire il filo conduttore dello sviluppo del calcolo algebrico. Lo spazio tradizionalmente dedicato alle frazioni algebriche è spropositato in rapporto al valore culturale e anche agli obiettivi operativi.” Marino e Di Paola (2007) affermano che nel processo di costruzione del linguaggio algebrico e quindi in generale del pensiero algebrico in relazione a quello aritmetico, si passa in maniera più o meno consapevole, dalla semplice relazione tra numeri contenuti in una tabella al concetto di variabile collegata a quantità continue.

32. BIBLIOGRAFIA • Lepora M. (1996) – Algebra. Petrini editore, Torino. • Chiarugi I., Fracassina G., Furinghetti F. & Domingo P. – Parametri, variabili e altro: un ripensamento su come questi concetti sono presentati in aula, Dip. Mat. Università di Genova. • Impedovo M. (1993) - Che cosa è davvero importante del calcolo letterale? Periodico Mathesis n°7, Milano. • Marino T., Di Paola B. (2007) - Se e quando si raggiunge il pensiero algebrico. Dipartimento di matematica dell’Università di Palermo, “Quaderni di Ricerca in Didattica”, n17. • Mariscotti M. (1980) – Educazione matematica. Petrini editore, Torino. • Mariscotti M. (2006) – Matematica Oggi. Petrini editore, Torino. • Tomasi L. (2003) - Recensione libro Villani (aritm e algebra), in L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE, SEZ. B, N. 1 FEBBRAIO. • Villani V. (2003) - Cominciamo da Zero,Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Aritmetica e Algebra). Pitagora Editrice, Bologna. WEBLIOGRAFIA http://stringher.blog.kataweb.it/2006/files/calcolo_letterale_elearning.doc http://www.ripmat.it/mate/a/ab/ab0.html