CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI

1. CALCOLO LETTERALE I PRODOTTI NOTEVOLI ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE a cura dei prof. Roberto Orsaria e Monica Secco

2. Cosa sono i prodotti notevoli? Sono particolari prodotti o potenze di polinomi, che si sviluppano secondo formule facilmente memorizzabili. I più comuni sono: il quadrato di un binomio, la differenza di due quadrati, il quadrato di un trinomio, il cubo di un binomio

3. Quadrato di un binomio Si può presentare nelle due forme: (a+b)2 e (a-b)2

4. Sviluppo del quadrato di un binomio Applichiamo la regola della moltiplicazione di polinomi: (a+b)2= (a+b)· (a+b)= a2+ab+ba+b2= sommando i monomi simili, otteniamo =a2+2ab+b2

5. Formula del quadrato di un binomio Senza effettuare ogni volta tutti i passaggi si può memorizzare la formula finale del quadrato di un binomio: (a+b)2= a2+2ab+b2

6. Quindi: Il quadrato di un binomio è uguale alla somma del quadrato del primo termine (a2) più il quadrato del secondo (b2) termine più il doppio prodotto dei due termini (+2ab). (a+b)2= a2+2ab+b2

7. Della formula del quadrato di un binomio si può dare anche una interpretazione geometrica: costruiamo un quadrato di lato a+b: la sua area vale A= (a+b)·(a+b)=(a+b)2 a b

8. il quadrato è scomponibile nelle figure seguenti: un quadrato di area a2 due rettangoli di area abe un quadrato di area b2 a2 ab b2 a2 ab ab b2

9. Anche dall’interpretazione geometrica si può quindi vedere che lo sviluppo di (a+b)2 non è dato solo dalla somma dei due termini a2 e b2, ma anche dal doppio prodotto 2ab a2 ab b2 ab

10. Cosa cambia per (a-b)2 ? Nel caso di (a-b)2 cambia solo il segno del doppio prodotto (-2ab), per cui otteniamo: (a-b)2= a2–2ab+b2

11. Quadrato di un trinomio Un altro prodotto notevole è il quadrato di un trinomio: (a+b+c)2

12. Per ottenere la formula del quadrato di un trinomio si applica la regola del prodotto di polinomi: (a+b+c)2= (a+b+c)(a+b+c)= = a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2= semplificando i monomi simili si ottiene: = a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc

13. Anche per la formula del quadrato del trinomio si può dare una giustificazione geometrica: costruiamo un quadrato di lato a+b+c e scomponiamolo come in figura: a2 ab ac a b ab b2 bc c ac bc c2

14. L’area del quadrato di lato a+b+c è pari a (a+b+c)2 ma, come si vede dalla figura, è anche uguale alla somma delle aree dei quadrati e dei rettangoli in cui è stato scomposto e cioè a: (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc che è la formula del quadrato di un trinomio a2 ab + + b2 + c2 ab ac bc + + ac bc

15. Differenza di quadrati Consideriamo il prodotto (a+b)(a-b) e applichiamo la regola del prodotto di polinomi: (a+b)(a-b)= a2-ab+ba-b2 = semplifichiamo i due monomi simili: = a2-b2

16. quindi la formula finale è: (a+b) (a-b) = a2-b2 questa è la formula della differenza di due quadrati

17. Esempi: (2x+3y)(2x-3y)= 4x2-9y2 (a3+5b2)(a3-5b2)=a6-25b4 (x2y3+3)(x2y3-3)=x4y6-9

18. Cubo del binomio Un altro prodotto notevole che si incontra è il cubo del binomio: (a+b)3 ovvero (a-b)3

19. Consideriamo il cubo del binomio come prodotto del quadrato del binomio per il binomio stesso: (a+b)3= (a+b)2(a+b) applichiamo la formula del quadrato del binomio: (a+b)2(a+b)= (a2+2ab+b2)(a+b) applichiamo ora la regola del prodotto di polinomi: (a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+b2a+b3= e sommando i monomi simili (dello stesso colore) otteniamo: =a3+3a2b+3ab2+b3

20. Formula del cubo di un binomio Quindi lo sviluppo del cubo di un binomio è: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 e analogamente: (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3