1 / 11

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. REDUCCIÓN DE ORDEN. Introducción.

aubrianna-carrillo
Download Presentation

Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR REDUCCIÓN DE ORDEN

  2. Introducción • La solución general de una ecuación diferencial homogénea de segundo ordenes una combinación lineal y=c1y1+c2y2, donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en algún intervalo I. • En algunas ocasiones, es posible reducir la ecuación diferencial a una ED de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene una solución conocida y1. Una segunda solución y2 es evidente después de resolver la ED de primer orden.

  3. Casos en los que es posible la reducción de orden • Existen dos casos en los que es posible reducir el orden de una ED lineal ordinaria de orden dos: • Si en la ED no aparece explícitamente la variable dependiente “y”. • Si en la ED no aparece explícitamente la variable independiente “x”.

  4. CASO 1: En la ED no aparece la variable dependiente “y” • Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencialmediante el cambio de variable:

  5. CASO 2: En la ED no aparece la variable dependiente “x” • Para este caso, es posible reducir la ecuación diferencialmediante el cambio de variable: Esto último en virtud de que:

  6. Problemas • Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:

  7. Caso general • Supónga que la ED ordinaria de segundo orden se divide entre a2(x), a fin de escribirla en la forma estándar y´´+P(x)y´+Q(x)y=0, donde P(x) y Q(X) son continuas en algún intervalo I. Suponga además que y1(x) es una solución conocida de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 en I y que y1(x) es diferente de cero para toda x en el intervalo.

  8. Caso general… • Si se define y=u(x)y1(x), se deduce que: y´=uy´1+ y1u´, y´´=uy´´1 +2y´1u´+y1u´´ Con ello:Esto significa que se deben tenerDonde se permite que w=u´.La última ecuación es lineal y separable.

  9. Caso general… • Al realizar la separación de variables y la integración tenemos:Resolvemos esta última ecuación con w=u´, y se integra de nuevo.

  10. Caso general… • Así:Al elegir c1=1 y c2=0, se encuentra de y=u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación y´´+P(x)y´+Q(x)y=0 es:NOTA:y1 y y2 son soluciones linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero.

  11. Problema • Si la función y=x2 es una solución de la ecuación diferencial:Obtenga la solución general (por el principio de superposición) para la ecuación diferencial en el intervalo (0,+Inf).

More Related