OLASILIK ve İSTATİSTİK II

OLASILIK ve İSTATİSTİK II DERS 1: Student t Dağılımı Öğr. Gör. Dr. Berk AYVAZ

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Student t Dağılımı • Normal eğri alanları tablosu (Z Cetveli) ancak büyük örnekler için (yani, n 30 için) gerçekçi sonuçlar verebilir. • Örnek büyüklüğü 30’dan daha küçük olan problemlerde, örnek değerleri normal dağılımdan uzaklaşırlar. • Küçük örneklerden elde edilen istatistiklerin dağılımı Student t dağılımına uygundur. • Küçük örnek istatistiklerinin gösterdiği dağılım normal eğri gibi simetrik bir özellik arzeder. • Bununla birlikte, normal eğriye göre daha basık ve yaygın bir şekil alır. • Böylece eğrinin kuyruklarında daha büyük alan olur. • Örnek hacmi küçüldükçe normalden uzaklaşma da o nisbette artar. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Student t Dağılımı • Aşağıdaki grafik student t dağılımı ile normal dağılımı birlikte göstermektedir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Student t Dağılımı • Meselâ, n < 30 için X’inXı ile X2 arasında bulunması ihtimali Student t dağılımına göre daha büyük olarak bulunurken n 30 için X’in X2 ile X3 arasında bulunması ihtimali normal dağılımda daha büyük olacaktır. • Küçük örnekler için Z cetveli yerine, çeşitli örnek büyüklükleri ve ihtimal seviyeleri için ayrı ayrı hesaplanmış t cetvelleri kullanılır. • Bu cetvellerde, Çeşitli önem seviyeleri ve serbestlik dereceleri için ayrı ayrı t değerleri verilmiştir. • için t değeri, Z değerine çok yaklaşır. • Bu sebeple, n > 30 olan örneklerde, t cetveli yerine Z cetveli kullanılabilir. Aksi halde t cetveli kullanılmalıdır. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Ortalamalar için Güven Aralığı • Küçük bir örnekten elde edilen X istatistiği anakütle ortalaması ’in nokta tahminidir. • Aynen bunun gibi örnek standart sapması s’de anakütle standart sapmasının nokta tahminidir. • Örnek ortalaması ve n - 1 adet X değeri bilindiğinde geri kalan bir X değeri bulunabilir. • Söz konusu X değeri bağlı değer iken n -1 adet serbest değer vardır. • Bu sebeple küçük örneklere ait ortalamaların standart hatası nispeten büyük olur. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Ortalamalar için Güven Aralığı • Bu yüzden tek anakütle ortalamasına ilişkin güven aralığı hesabında ve tek anakütle ortalamasına ilişkin testlerde n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre kritik t değerleri tespit edilir. • Verilen önem seviyesine göre anakütle ortalamasına ilişkin güven aralığı oranı ikiye bölünerek t eğrisinin her iki ucuna eşit olarak yüklenir. • Böylece, v = n - 1 serbestlik derecesi ve /2 hata oranı ile 1 - güven sınırları, formülü yardımıyla hesaplanır. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Ortalamalar için Güven Aralığı • Aşağıdaki grafik güven aralığını göstermektedir. • N=15 büyüklüğündeki bir örnek vasıtasıyla anakütle ortalamasına ilişkin %95 güven sınırları tespit edilirken hatası 1-0,95=0,05’tir. • Bu hata t eğrisinin sağ ve sol ucuna eşit olarak dağıtıldığında 0,05/2=0,025 olur. • Bu alanları belirleyen biri negatif ve diğeri pozitif iki t değeri vardır. • V=n-1=15-1=14 serbestlik derecesine ve = 0,025 hata oranına göre t cetvelinden bulunacak t= 2.145 değerleri aradığımız kritik t değerleridir. n - 20 büyüklüğündeki bir örnek vasıtasıyla anakütle ortalamasına ilişkin %99 güven sınırları için t değeri ? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 1 Bir fabrikada üretilen 25 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. %95 güvenle, bu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı hangi aralıkta yer alır? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 1 v = n- 1=25-1=24 serbestlik derecesi ve 0.05/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.064’tür. Güven sınırlarını veren formülde diğer bilinenler yerine yazıldığında, Söz konusu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığının, %95 güvenle, 1029,47 ile 1050,53 aralığında yer alacağını söyleyebiliriz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 2 Bir anakütleden rastgele seçilen 17 birimin ortalama ağırlığı 4.98 kg ve standart sapması 0.07 kg olarak bulunmuştur. Anakütle ortalamasının %99 güven sınırlarını bulunuz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 2 v = n - 1 = 17 - 1 = 16 serbestlik derecesi ve 0.01/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.921 ’dir. Güven sınırlarını veren formülde diğer bilinenler yerine yazıldığında, Sözkonusuanakütle ortalamasının, %99 güvenle, 4.93 kg ile 5.03 kg arasında olmasını bekleriz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 3 Bir cep telefonu üreticisi, üretilen cep telefonlarındaki bataryaların bir kez şarj edildikten sonra ortalama ne kadar süre kullanıldığını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rassal olarak 17 telefon bataryası seçilmiş ve bunların ortalama 135 saat kullanılabildiği ve standart sapmanın 28 saat olduğu belirlenmiştir. %99 güven düzeyi için istenilen tahminlemeyiyapınız. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 3 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II ÖDEV 1 Arthur D. Little, Inc., estimates that approximately 70% of mail received by a householdis advertisements (Time, July 14, 1997). A sample of 20 households shows the followingdata for the number of advertisementsreceived and the total number of pieces of mail receivedduringoneweek. a.What is the point estimate of the mean number of advertisements received per week?What is the 95% confidence interval for the population mean? b. What is the point estimate of the mean number of pieces of mail received per week?What is the 95% confidence interval for the population mean? c. Use the point estimates in parts (a) and (b). Are these estimates in agreement with thestatement that approximately 70% of mailings are advertisements? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II VAKA ANALİZİ 1 METROPOLITAN RESEARCH, INC. • Metropolitan Research Şirketi bir firmanın hizmet seviyesi ölçümü için bir araştırma yapmaktadır. Araştırmada Detroit’te faaliyet gösteren bir firmanın ürettiği araçların performansını müşteri memnuniyeti ile ilişkilendirmektedir. • Bunun için araçlarında vites problemi yaşayan müşterilere bir anket formu gönderilmiştir. Aşağıdaki veriler 18 aracın kaçıncı km’lik kullanımdan sonra vites arızası verdiğini göstermektedir. • YÖNETİM RAPORU • %95 güven düzeyinde anakütle için vites hatası görülene kadar olabilecek araç kullanım ortalamasını bulunuz. • Hata teriminin 5000 km olması için %95 güven düzeyinde popülasyon büyüklüğünün kaç olması gerekmektedir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Ortalamalar Arası Fark İçin Güven Aralığı • İki anakütleden tesadüfi olarak seçilen n1 ve n2 hacimlerinde iki küçük örnekten hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırları belirlenebilir. • Birinci örneğin serbestlik derecesi n1 - 1 ve ikinci örneğin serbestlik derecesi n2 - 1 olduğu için, toplam serbestlik derecesi v =n1+ n2 - 2 olur. • Anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven aralığı tespit edilirken v = n1+ n2 -2 serbestlik derecesine ve /2 hata payına göre t cetvelinden iki değer bulunur. • Örnek ortalamalarından büyük olanını X, ile gösterirsek örnek ortalamaları arasındaki farktan hareketle anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırlarını, • ( )+ Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 4 İki ampul fabrikasının birincisinden tesadüfi olarak 15 ampül seçildiğinde ortalama dayanma süresi 1315 saat ve standart sapma 43 saat bulunuyor. Aynı yöntemle, diğer fabrikadan 17 ampül seçildiğinde, ortalama dayanma süresi 1300 saat ve standart sapma 32 saat olarak hesaplanıyor. %95 güvenle, anakütle ortalamaları arasındaki farkın güven sınırlarını tespit ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 4 v = n1 + n2 - 2 =15+17-2 = 30 serbestlik derecesi ve 0.05/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.042’dir. Anakütleortalamaları arasındaki farkın, %95 güvenle, ( )+ (1315)+ -13.59 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 5 13 deneme sonrasında bir benzin pompası ortalama 125 ml fazla benzin ölçümü yaparken standart sapma 17 ml olmuştur. Bir başka benzin pompası ise 10 deneme sonrasında deneme başına ortalama 110 ml fazla benzin ölçümü yapmış ve standart sapma 19 ml bulunmuştur. Anakütle ortalamaları arasındaki farkın %99 güven sınırlarını bulunuz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 5 • v = nı+n2-2 = 13 + 10-2 = 21 serbestlik derecesi ve 0.01/2 hata seviyesi için kritik t değerleri ±2.831’dir. • Diğer bilinenler yerine yazıldığında, anakütle ortalamaları arasındaki farkın, %99 güvenle, ( )+ (1)+ -7 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 6 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II VAKA ANALİZİ 2 Bir şehir planlama grubu aynı muhitte ikamet eden iki farklı ev halkının gelirleri arasındaki fark üzerine bir çalışma yürütmektedir. Bağımsız rassal örnekler için elde edilen değerler aşağıdaki gibidir. 95% güven düzeyi için iki grubun ortalamaları arasındaki farkın aralığını bulunuz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II VAKA ANALİZİ ÇÖZÜM Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Ortalamalarla İlgili Hipotez Testleri • Ortalamalarla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir. Çift kuyruk testi Sol kuyruk testi Sağ kuyruk testi • Ortalamalarla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği, • eşitliğiyle bulunur. • Anakütlestandart sapması bilinmediğinde bunun yerine örnek standart sapması kullanılabilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Ortalamalarla İlgili Hipotez Testleri • Çift kuyruk testi yapıldığında v = n - 1 serbestlik derecesi ve /2 önem seviyesine göre ±t kritik değerleri hesaplanır. • Test istatistiği bu iki t değerinin arasına düştüğünde H0 hipotezi kabul, aksi halde reddedilir. • Sol kuyruk testi yapıldığında v = n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetvelinden bulunacak kritik değere eksi işaret verilir. • Test istatistiği -t kritik değerinden daha küçük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 7 Bir fakültede not ortalamasının 65 olduğu iddia edilmektedir. Tesadüfi olarak seçilen 26 öğrencinin not ortalaması 60 ve standart sapması 3 bulunmuştur. %1 önem seviyesinde fakülte not ortalamasının 65'ten az olduğunu söyleyebilir misiniz? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 7 Problemin son kısmı test edilecek hipotez çiftinin, şeklinde olduğunu göstermektedir. Sol kuyruk testi olduğu için v = n - 1 = 25 derecesi ve = 0.01 ’e göre kritik t değeri -2.485’tir. Örnek hacmi 30’dan küçük olduğu için test istatistiği; -8,33 Buna göre %1 önem seviyesinde Ho hipotezi reddedilerek, fakülte not ortalamasının 65’ten küçük olduğuna karar verilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 8 Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 455 gr yazmaktadır. Bu konservelerin brüt ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere rastgele seçilen 17 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. Brüt ağırlığın 455 gr olmadığını 0.05 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 8 • Test çift kuyruk testi olduğu için v = n - 1 = 17 - 1 =16 serbestlik derecesi ve /2 = 0.05/2 = 0.025’e göre kritik t değeri ±2.12 değeridir. • Test istatistiği -1,54 Buna göre %5 önem seviyesinde Ho hipotezi kabul edilerek fabrikada üretilen konservelerin brüt 455 gr’dan farklı olmadığına karar verilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II VAKA ANALİZİ 3 1 Karat H renkli elmasın USA ‘daki fiyatı $4000 ‘dır. Orta Amerika’dan bir mücevherat firması New York aynı tip elmasın fiyatının $4000 ‘dan farklı olup olmadığı üzerine bir araştırma yapmak istemektedir. Bunun için New York’ta bulunan 14 firmadan fiyatlar alınmıştır. • Sıfır ve alternatif hipotezleri kurunuz. • α=0.05 için kritik t değerini bulunuz. • 14 firmanın ortalama fiyatı $4120 ve standart sapması $275 ise hipotezin doğruluğunu test ediniz. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II İki Anakütle Ortalamasına İlişkin Hipotez Testleri ÖRNEKLERİN BAĞIMSIZ OLMASI HALİ • Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testleri yapılırken kurulabilecek Muhtemel sıfır hipotezi ve alternatif hipotez çiftleri aşağıda gösterilmiştir. Çift kuyruk testi Sol kuyruk testi Sağ kuyruk testi • Çift kuyruk testi yapıldığında v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve /2 önem seviyesine göre ± t kritik değerleri hesaplanır. • Sol kuyruk testi yapıldığında v = n1+ n2 - 2 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetv elinden bulunacak kritik değere eksi işareti verilir. • Sağ kuyruk testinde v = n1 + n2 - 2 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetvelinden bulunacak değer kritik değerdir. • Ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testlerine ait test istatistiği Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örneklerin Bağımsız Olması Hali • Anakütlevaryanslan bilinmediğinde bunun yerine örnek varyanslan kullanılabilir. • Sıfır hipotezinin doğru olabileceği faraziyesiyle hareket edildiği için test istatistiği formülündeki farkı 0 kabul edilir ve tersi ispatlanmadığı sürece, ve değerlerinin birbiriyle homojen olduğu ve bu varyanslar üzerinden, • gibi ortak bir varyans hesaplanabileceğini söyleyebiliriz. • Görüldüğü üzere bu ortak varyans iki örnek varyansının serbestlik derecelerine göre tartılı aritmetik ortalaması alınarak bulunmuştur. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 10 İki ayrı sendikaya bağlı olarak çalışan sanayi işçilerinin aylık ortalama gelirlerini mukayese etmek isteyen bir iş müfettişi, A sendikasından tesadüfi olarak seçtiği 22 işçinin aylık ortalama gelirini 35.5 milyon lira ve standart sapmayı 3.4 milyon lira olarak bulurken. B sendikasından tesadüfi olarak seçtiği 20 işçinin aylık ortalama gelirini 34 milyon lira ve standart sapmayı 3.7 milyon lira olarak hesaplamıştır. İki sendikaya bağlı olarak çalışan işçilerin ortalama gelirleri arasındaki farklılığın önemli olmadığını, %5 önem seviyesinde, söyleyebilir misiniz? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 10 • Çift kuyruk testine göre v = n1+ n2 - 2 = 22 + 20 - 2 = 40 serbestlik derecesi ve /2 = 0.05/2 = 0.025 önem seviyesinde kritik t değeri ±2.021’dir. • Test istatistiğini hesaplamadan önce ortak varyansı, =12.57 • Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testine ait test istatistiği = Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 11 Aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi olarak seçilen 15 mamulün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart sapması 15 gün; İkincisinden alınan 13 mamulün ortalama dayanma süresi 130 gün ve standart sapması 18 gündür. %1 önem seviyesinde, birinci fabrikada üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin daha fazla olduğunu söyleyebilir misiniz? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 11 Sağ kuyruk testi • Sağ kuyruk testine göre v = n1+ n2 - 2 = 15 + 13 - 2 = 26 derecesi ve = 0.01 önem seviyesindeki kritik t değeri 2.479’dur. • Ortak varyans; =270.69 • Ortak varyans dikkate alındığında ortalamalar arası farkla ilgili hipotez testine ait test istatistiği = % 1 önem seviyesinde Ho hipotezi kabul edilerek aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikalarda üretilen mamullerin ortalama dayanma süreleri arasındaki farkın önemli olmadığına karar verilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II VAKA ANALİZİ 4 Gasoline prices increased substantially from 1999 to 2000. The American Automobile Associationprovided information on the mean cost per gallon for self-serve regular unleadedgasoline over the 2 years (AAA Going Places, May/June, 2000). Assume the following resultswere obtained from independent samples of locations throughout the country. What is the point estimate of the increase in the mean cost per gallon from 1999 to 2000? What is the 95% confidence interval estimate of the increase in the mean cost per gallonfrom1999 to 2000? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 12 Bir işletme iş süreçlerinde verimliliği artırmak için yeni enformasyon sistemi kullanmaya karar vermiştir. Bunun için yeni sistemin faydalarını test edebilmek için işletmedeki 24 bilgisayar kullanılmıştır. 12 analist yeni sistemi 12 analist ise eski sistemi kullanmaktadır. Sistemler arasında fark olup olmadığı test edilmek isteniyor. Her iki örnekleme ait veriler aşağıdaki gibidir: Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 12 • V=n1 +n2 -2 =12+12-2=22 • α=0.05, • t= 1.717 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Eşlenik Çift Örnekler Hali • Aynı veya benzer örnekler üzerinde birbirinden farklı iki muamelenin uygulanması sonucu elde edilen verilere eşlenik çiftler denir. • Bağımsız örneklerde, serideki herbir rakam diğerinden bağımsızdır. • Bununla birlikte, eşlenik örneklerde herhangi bir rakam ancak karşısındaki rakamla birlikte başka bir yere taşınabilir. • eşlenik çiftlere uygulanan muamelenin birbirinden farklı olup olmadığını eşlenik çift örnek testi ile test edebiliriz. • eşlenik çift örneklerde ikinci rakamlar birincilerinden çıkarılarak bir fark serisi oluşturulur. • Fark serisini D ile gösterirsek, bu serinin oluşturduğu anakütle ortalaması ve standart sapması olur. • Fark serisinin ortalaması ve standart sapması; Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Eşlenik Çift Örnekler Hali • Test, sıfır hipotezinin doğruluğu faraziyesine göre yapıldığı için sıfır kabul edilir. • Ancak, örnek istatistiği , ’nin sıfırdan farklı olabileceğini de ortaya koyabilir. • Çift kuyruk testi yapıldığında, v = n - 1 serbestlik derecesi ve /2 önem seviyesine göre ±t kritik değerleri hesaplanır. • Sol kuyruk testi yapıldığında, v = n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetvelinden bulunacak değere eksi işaret verilir. • Test istatistiği -t kritik değerinden daha küçük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir. • Sağ kuyruk testinde, v = n - 1 serbestlik derecesi ve önem seviyesine göre t cetvelinden bulunacak değer kritik değerdir. Test istatistiği kritik değerinden daha büyük olduğunda Ho hipotezi reddedilir, aksi halde kabul edilir. Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Örnek 13 İki ambalaj makinası farklı mamulleri ambalajlarken belirli miktarlarda üretim kaybına sebep olmaktadır. Sebep oldukları üretim kayıpları yönünden bu iki makinayı mukayese etmek isteyen üretim mühendisi, iki makinanın üretim kayıplarını gr cinsinden aşağıdaki gibi bulmuştur. Buna göre A makinasının B makinasına göre daha az üretim kaybına sebep olduğunu %1 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz? Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II Çözüm 13 Sol kuyruk testi • Negatif farkların anlamlılığı test edileceğine göre kurulacak hipotezler • Test, sol kuyruk testi olduğu için, v = n- 1 = 10-1=9 serbestlik derecesi ve = 0.01 ’e göre kritik t değeri -2.821’dir. • Farkların ortalaması ve standart sapması; = -1.56 Buna göre % 1 önem seviyesinde Ho hipotezini reddederek, A makinasının B makinasından daha az üretim kaybına sebep olduğunu söyleyebiliriz. =1.24 Dr. Berk AYVAZ İstanbul Ticaret Üniversitesi

OLASILIK ve İSTATİSTİK II