Download
1 / 41
450 likes | 1.37k Views
İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. İSTATİSTİK VE OLASILIK I. 3 . Hafta: Dağılma Ölçüleri. Öğr. Gör. Berk Ayvaz. 2013. Dağılma Ölçüleri. Uygulamada bir serinin tasvir edilmesinde sadece yer ölçüleri yeterli gelmez.
E N D
İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 3. Hafta: Dağılma Ölçüleri Öğr. Gör. Berk Ayvaz 2013
Dağılma Ölçüleri • Uygulamada bir serinin tasvir edilmesinde sadece yer ölçüleri yeterli gelmez. • Serideki birimlerin merkezi eğilim etrafındaki dağılma durumunu da ortaya koymak gerekir. • Mesela ortalamaları eşit iki seri düşünelim.Bu serilerin hangisinde, birimlerin ortalama etrafında daha sık, hangisinde daha seyrek biçimde dağıldığını bilmek isteriz. • Çünkü birimleri ortalama değer etrafında daha sık dağılan serilerde ortalama değeri seriyi yüksek temsil gücüne sahiptir. • Bu durumun tespiti için dağılma ölçülerine ihtiyaç vardır. • Dağılma ölçüleri serideki bir kısım rakamlar üzerinden hesaplanan (parametrik olmayan) ve serideki tüm rakamlar üzerinden hesaplanan (parametrik) olmak üzere ikiye ayırmak mümkündür.
Dağılma Ölçüleri Dağılma Ölçüleri Parametrik Olmayan Parametrik • Değişim aralığı • Kartil aralığı • Yarı kartil aralığı • Desil aralığı • Yarı desil aralığı • Ortalama sapma • Varyans • Standart sapma • Değişim katsayısı
Parametrik Olmayan Dağılma Ölçüleri 1- Değişim Aralığı • Basit bir seride en büyük sayıdan en küçük sayının çıkartılması ile elde edilir. • Gruplandırılmış serilerde ise en yüksek sınıfın üst sınırından en düşük sınıfın alt sınırı çıkartılarak elde edilir. • Değişim aralığı serinin değişkenliği hakkında zaman kaybetmeden genel bir bilgi sağlar. • En büyük dezavantajı serideki bütün birimlerin hesaplamaya girmeyip, sadece iki değerle neticeye ulaşılmasıdır. Bundan dolayı değişim arağılı aşırı değerlerin direkt etkisi altındadır.
Örnek 1 Basit Seride: Değişim aralığı: : 20-10 = 10 Sınıflandırılmış Seride: Değişim aralığı: : 9 - 4 = 5
Çözüm 2 Değişim aralığı: : 13 - 2 = 11
Örnek 3 Verilen sınıflandırılmış serinin değişim aralığı nedir ? D.A = 40 – 4 = 36’dır.
2- Kartil Aralığı Kartil aralığı: KA: • Üçüncü kartilden birinci kartilin çıkarılmasıyla elde edilir. • Serinin üst ve alt kısımlarındaki %25’lik değerler dikkate alınmadığı için uç değerlerden daha az etkilenir. • Kartil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı kartil aralığı bulunur. Yarı Kartil Aralığı: KA:
Örnek 4 • Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı kartil aralıklarını bulunuz.
Çözüm 4 Hatırlatma • Gruplandırılmış serinin kartil ve yarı kartil aralıklarını bulunuz. Kartil aralığı: = 7,33 – 4,5 =2,83 Yarı Kartil Aralığı: = 2,83 / 2 = 1,42
3- Desil Aralığı • Bilindiği üzere kartil aralığı en büyük ve en küçük %25 ‘lik dilimlerdeki değerleri dikkate almamaktadır. • Bundan dolayı bazı istatistikçiler bu dilimlerdeki rakamların dikkate alınmamasının hatalı sonuçlar doğurabileceğini söylemişlerdir. • Desil aralığı en büyük desilden en küçük desilin çıkarılması ile elde edilir. • Bu şekilde en büyük ve en küçük %10 ‘luk dilimdeki değerler dikkate alınmamış olur. Desil Aralığı: DA: • Desil aralığı ikiye bölünmek suretiyle yarı desil aralığı bulunur. Yarı DesilAralığı: YDA:
Örnek 5 • Gruplandırılmış seride desil aralığını hesaplayınız.
Çözüm 5 Hatırlatma • Gruplandırılmış seride desil aralığını hesaplayınız. Kartil aralığı: = 8,33 – 3= 5,33 Yarı Kartil Aralığı: = 5,33 / 2 = 2,67
Parametrik Dağılma Ölçüleri • Parametrik olmayan dağılma ölçülerinin en büyük dezavanatjı serideki tüm birimleri dikkate almamasıdır. • Bu dezavantaj parametrik dağılma ölçüleri ile bertaraf edilmektedir. • Bu ölçülerin tümü serideki rakamların aritmetik ortalamadan sapmalarını dikkate alır.
1- Ortalama Sapma • Serideki rakamların aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır. • Elde edilen farkların bir kısmı negatif, bir kısmı pozitif değer taşır. Toplandığında sıfıra eşit olurlar. • Bu farkların mutlak değerlerinin toplamı rakam sayısına bölündüğünde ortalama sapma değeri bulunur. • Gruplanmış serilerde sınıf sınırlarından sınıf değerleri hesaplandıktan sonra, seri sınıflandırılmış seriye çevrilmiş olur. • Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde farkları karşılarındaki frekanslarla çarpılarak toplanır. Bulunan toplam, serideki rakam sayısına bölünür.
Örnek 6 Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız.
Çözüm 6 Yandaki serinin ortalama sapma değerini hesaplayınız. = = 15 = = = 4
Örnek 7 • Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride Ortalama sapma değerini bulunuz.
Çözüm 7 • Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride Ortalama sapma değerini bulunuz. • Öncelikle sınıf sınırlarından sınıf değerleri hesaplanır. = = 5,8 = = = 1,48
Örnek 8 Verilen sınıflandırılmış serinin ortalama sapmasını bulunuz ?
2- Varyans Örneklemdeki eleman sayısı büyük ise n-1 yerine n alınabilir. • Ortalamadan sapmaların karelerinin toplamının serideki birim sayısına bölünmesi ile elde edilir. • Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serilerde varyans aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Örnek 9 Yandaki serinin varyansını hesaplayınız.
Çözüm 9 Yandaki serinin varyansını hesaplayınız. = = 15 = 22,67
Örnek 10 • Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride varyans değerini bulunuz.
Çözüm 10 • Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seride varyans değerini bulunuz. = = 5,8 =
3- Standart Sapma • Varyansın karekökü alındığında standart sapma elde edilir. • Standart sapma uygulamada en çok kullanılan dağılma ölçüsüdür. • Anakütle ya da örneklemdeki birimlerin ölçüsü (m, kg, cm, TL) ne ise standart sapmanın da ölçüsü o ölçü cinsindendir. • Genellikle örneklem standart sapması s, anakütle standart sapması sembolleri ile ifade edilir. Basit seriler için Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seriler için
4- Değişim Katsayısı • Gerek standart sapma gerekse dağılma ölçüleri ölçü biriminden bağımsız değildir. • Bundan dolayı aynı seri farklı ölçü birimleriyle ifade edildiğinde değişik standart sapma değerleri elde edileceği gibi, farklı ölçü birimleriyle ifade edilmiş iki ayrı serinin mukayesesi de yanıltıcı sonuçlar verecektir. • İşte diğer dağılım ölçülerinin bu dezavantajını gidermek için değişim katsayısı geliştirilmiştir. • Bu katsayıda mutlak yerine nisbi dağılma esas alınmıştır. • Yani, değişim katsayısında standart sapma aritmetik ortalamanın yüzdesi olarak ifade edilir. . 100
Örnek 11 a • Ortalaması 15 ve standart sapması 4,76 olan serinin değişim katsayısını bulunuz. . 100 =
Örnek 11 b • Bir işletmenin yaptığı üretim belirli bir zaman diliminde ölçülmüş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Dağılım aralığı ?
Örnek 12 Yukarıdaki değerlere göre; a)Aritmetik ortalamayı, b)Ortancayı, c) Standart sapmayı, d) Standart hatayı bulunuz
Örnek 13 Verilen sınıflandırılmış serinin varyans ve standart sapmasını bulunuz ?
Örnek 14 8 öğrenciden oluşan bir grup lise 1 öğrencisi yabancıdil eğitimi için yurt dışına gönderilmiş , döndüklerinde sınava tabi tutulmuşlardır. Aldıkları puanlar aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları puanlara ilişkin varyansı ve standart sapmayı hesaplayınız.
