FUNCIONES

1. FUNCIONES Tema 9 * 4º ESO Opc B Matemáticas 4º ESO Opción B

2. CONCEPTO DE FUNCIÓN Tema 9.1 * 4º ESO Opc B Matemáticas 4º ESO Opción B

3. Definición de función • Una función es toda correspondencia entre dos magnitudes de modo que a cada valor de la primera (x) le corresponde un único valor de la segunda (y). • A las magnitudes que intervienen en dicha correspondencia se las llama variables. • Variable independiente (x): Su valor se fija previamente. • Variable dependiente (y): Su valor depende del que se fije para la variable independiente. • Al conjunto de valores de la variable independiente (x) se le llama DOMINIO de la función. • Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) se le llama IMAGEN o RECORRIDO de la función. • Una función se suele denotar de la siguiente manera: • y=f(x) Matemáticas 4º ESO Opción B

4. Ejemplo de Función DOMINIO RECORRIDO 3 9 2 4 1 1 - 4 4 16 - 2 X f (x)=x2 Y Matemáticas 4º ESO Opción B

5. Dominio de una función • Dominio de f(x) • Ejemplo 1: • Sea la función y = √ x • Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x debe ser mayor o igual que 0. • El dominio de esta función es pues x ≥ 0 • Dom f(x) = [0, +oo ) • Ejemplo 2: • Sea la función y = √ (4 – x) • Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que: • 4 – x ≥ 0 4 ≥ x • Dom f(x) = (-oo , 4] Matemáticas 4º ESO Opción B

6. Ejemplo 3: • Sea la función y = √ (4 - x2) • Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x2 debe ser menor o igual que 4, o sea |x| ≤ 2. • El dominio de esta función es pues |x| ≤ 2 • Dom f(x) = [-2, 2] • Ejemplo 4: • Sea la función y = 1 / (4 + x) • Cuando x = - 4 el denominador se hace cero, con lo cual y no toma ningún valor real • Dom f(x) = R – { – 4 } Matemáticas 4º ESO Opción B

7. Ejemplo 5 • Sea la función y = - 1 / √ (4.x – x2 ) • Está claro que 4.x – x2 no puede tomar valores negativos, y tampoco puede ser 0. • El dominio de esta función es pues Dom f(x) = {x / (4.x – x2 ) > 0} • Resolveremos la inecuación: 4.x – x2 > 0 • x.(4 – x) > 0  x.(x – 4) < 0 • -oo 0 4 +oo • x - + + • (x – 4) - - + • + - + • Solución: Dom f(x) = (0, 4) Matemáticas 4º ESO Opción B

8. Imagen de una función • Ejemplo 1 • Sea la función y = √ – x • Está claro que y no puede tomar valores negativos, y el valor más pequeño será el 0 cuando x = 0. • El recorrido de esta función es pues Img f(x) = [0, +oo) • Ejemplo 2 • Sea la función y = 4 / x • Aparentemente para cualquer valor que tome x habrá un valor de y. • Pero si x = 0, no existe ningún valor de y. • El recorrido de esta función es pues Img f(x) = R – { 0 } Matemáticas 4º ESO Opción B

9. Ejemplo 3 • Sea la función y = √ – x • Está claro que y no puede tomar valores negativos, y el valor más pequeño será el 0 cuando x = 0. • El recorrido de esta función es pues Img f(x) = [0, +oo) • Ejemplo 4 • Sea la función y = 4 / (x – 2) • Aparentemente para cualquier valor que tome x habrá un valor de y real. • El valor de y no puede ser nunca 0. • El recorrido de esta función es pues Img f(x) = R – { 0 } Matemáticas 4º ESO Opción B

10. Ejemplo 5 • 3 • Sea la función y = – √ – x • Valga lo que valga x, habrá siempre algún valor de y. • Si x es positivo, la raíz dará un valor negativo, e y tomará un valor positivo. • Si x es negativo, la raíz dará un valor positivo, e y tomará un valor negativo. • El recorrido de esta función es pues: Img f(x) = R • Ejemplo 6 • Sea la función y = 5(x – 2) • Si x vale 2, el resultado o valor de y será: 5 0 = 1. • Si x es mayor que 2, el resultado será un número positivo. • Si x es menor que 2, el resultado será una potencia de exponente negativo, cuyo resultado sabemos que será siempre positivo, aunque muy pequeño. • El valor de y no puede ser nunca 0. • El recorrido de esta función es pues Img f(x) = R+ – { 0 } Matemáticas 4º ESO Opción B

11. Formas de una función • 1.- ENUNCIADO • Sea una hoja de papel rectangular, al que recortamos las esquinas para construir una caja. Hallar su volumen en función del lado del cuadrado. • Según la medida, x, de los lados que recortemos, tendremos uno u otro valor del volumen de la caja, y. • 2.- FÓRMULA • El volumen, y, está en función del valor que tome el lado del cuadradito recortado, x. • y = f(x)  V = Largo . Ancho . Alto  y = (30 – 2.x).(20 – 2.x).x • V= f(x) = 4.x3 – 100.x2 + 600.x x x 20 cm x x 20 - 2.x 30 cm x x x x 30 - 2.x Matemáticas 4º ESO Opción B

12. 4.- GRÁFICA • 3.- TABLA DE VALORES • Tenemos la función (cúbica) que nos da el volumen de la caja según sea el lado del cuadrado que recortemos: • f(x) = 4.x3 – 100.x2 + 600.x • Hacemos una Tabla de Valores • x y • 1 504 • 2 832 • 3 1008 • 4 1056 • 5 1000 • 6 864 • 7 672 • 8 448 • 9 216 • 10 0 1000 750 500 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Matemáticas 4º ESO Opción B

13. Gráfica de una función • Para representar gráficamente una función: • Se identifica la variable independiente (x). • Se forma una tabla, dando valores a la variable independiente (x) en número suficiente. • Se elige una escala de los ejes acorde con los valores que se tienen o se predicen. • Las escalas de ambos ejes no tienen que ser obligatoriamente iguales. • El gráfico no debe ser ni muy pequeño ni muy grande. • Se representan los pares de valores hallados en la tabla, obteniéndose un conjunto de puntos aislados. • Si tiene sentido se unen los puntos, obteniéndose una línea, una curva o un conjunto de ambas, que es lo que se denomina gráfica de la función. • El gráfico se debe leer con independencia de las otras formas de la función, para lo cual debe contener una leyenda general y leyendas en ambos ejes. Matemáticas 4º ESO Opción B

14. EJEMPLO 1 Gasto de un producto en función de los kilos adquiridos. • x y • 0 0 • 100 • 200 • 3 300 • 400 Y Gasto en € 400 300 200 100 X 0 1 2 3 4 5 kg comprados Matemáticas 4º ESO Opción B

15. EJEMPLO 2 Consumo de gasolina en función de la velocidad de un vehículo x y 90 6 110 6,25 130 7 150 8,5 170 11 Y Consumo en litros/100 km 11 8,5 7 6 X 90 110 130 150 170 km/h Matemáticas 4º ESO Opción B