GRAFOS

1. GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS

2. A B E A B E C D C D COMPONENTES CONEXAS • De un grafo no dirigido • Se pude saber si es conexo • Si no lo es se pueden conocer sus • Componentes Conexas • Conjunto W, de vértices del grafo • En el cual hay camino desde cualquier V1 a cualquier V2 • Donde V1 y V2 pertenecen a W Componentes conexas: entre ellas son conexas CONEXO No CONEXO

3. ALGORTIMO: DETERMINAR CONEXIÓN • Si entre todos los vértices, hay camino • Un recorrido desde cualquier vértice • Visitara a TODOS los vértices del grafo • Si no • Tendremos una componente conexa • Conjunto de vértices recorrido • Para descubrir otras • Repetir recorrido desde un vértice no visitado • Hasta que todos los vértices hayan sido visitados

4. EJEMPLO A B E A B E C D C D Componente Conexa W1 Recorrido desde E Recorrido desde E E C D E C D A B Componente Conexa W2 Recorrido desde B Conjunto recorridos = Conjunto de Vertices Es CONEXO B A

5. IMPLEMENTACION No olvidar: Luego de recorrer, obtendremos un conjunto de vertices LRecorrido bool ComponentesConexas(Grafo G, LSE *LComponentes){ Vertice *V; LSE *LRecorrido; while(TRUE){ V = BuscarVerticeNoVisitado(G); if(!V) break; LRecorrido = RecorrerAnchura(G,*V); LSE_InsertarNodoFin(LComponentes, LSE_CrearNodo(LRecorrido)); } if(LComponentes->header == LComponentes->last) return TRUE; return FALSE; } Las componentes forman una Lista de Listas

6. 4 8 5 6 C B H F S COMPONENTES FUERTEMENTE CONEXAS • De un grafo DIRIGIDO • Se puede saber si es FUERTEMENTE CONEXO • Si no lo es se pueden conocer sus • Componentes Fuertemente Conexas • Conjunto W, de vertices del grafo • En el cual hay camino desde cualquier V1 a cualquier V2 • Donde V1 y V2 pertenecen a W No CONEXO Componentes CONEXO

7. ALGORITMO • Dado un Vo, se desea conocer • Los vertices a los que se puede llegar (D) • Los vertices que llegan a Vo (A) • Si D interseccion A = V entonces • Hay camino entre cualquier par de vertices • Fuertemente conexo • Si no • Tendremos una componente conexa • Conjunto de vertices recorrido • Para descubrir otras • Repetir recorrido desde vertice que no sea elemento de una C.F.C. • Hasta que todos los vertices esten en C.F.C

8. C EJEMPLO B H F S W = D  A C B W2 = {H} W1 = {B, C, S} W3 = {F} H W <> V, Componente F.C. F S 1) Recorrer desde H (Descendientes) 1) Recorrer desde B (Descendientes) 1) Recorrer desde F (Descendientes) D = B S C D = H F C B S D = F C B S 2) Invertir Direcciones 3) Recorrer desde B (Ascendientes) 3) Recorrer desde F (Ascendientes) 3) Recorrer desde H (Ascendientes) A = B C F H S A = H A = F H

9. PUNTOS DE ARTICULACION • En un grafo no dirigido conexo • Existen vertices que si se eliminan • “Desconectan” al Grafo • Lo dividen en componentes conexas • Estos vertices “clave” • Son puntos de articulacion • Si un grafo no tiene P.A. • Es biconexo • La conectividad de un grafo • Es el numero de nodos que se necesitan eliminar • Para dejar a un grafo “desconectado”

10. A B C E D F EJEMPLO Puntos de Articulacion

11. ARBOL DE EXPANSION • Para poder calcular los P.A. de un grafo • Hay que obtener el arbol de expansion • Este se obtiene • A partir del Recorrido en Profundidad • Ejemplo A C D F A B E C E Arco en Retroceso: Cuando se quiere visitar un nodo que ya ha sido visitado y no es el padre D B F

12. COMO REPRESENTAR EL ARBOL DE EXPANSION • Un arbol en expansion • No es un arbol binario • Cada Vertice puede tener 0, 1 o n hijos • Si sabemos que CADA VERTICESOLO TIENE UN PADRE • Si no tomamos en cuenta los • Arcos en Retroceso • La representacion depende del Grafo • Matriz de Ady -> Usar un arreglo o • Lista de Ady -> Una lista • La representacion mostrará • Quien es el padre de cada nodo

13. ARBOL DE EXPANSIONCON MATRIZ DE ADY. • Los vertices del grafo • Se encuentran en un arreglo • Cada indice del arreglo • Representa un vertice • Ej: A – 0, B – 1, etc • Al representar el arbol de expansion • El padre(indice) de cada nodo • Puede almacenarse en un arreglo • Que tambien represente a los vertices A B C E D F 0 4 0 0 5 2 0 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F typedef struct TVertices{ Generico V[MAX]; int Padres[MAX]; int nvertices; }Vertices;

14. A B C D E F ARBOL DE EXP. CON LISTA DE ADYACENCIA B A • Los vertices del grafo • Se encuentran en una lista • Cada nodo • Representa un vertice • Al representar el arbol de expansion • De cada nodo de esta lista • Solo nos interesa conocer al padre • Se puede añadir un dato al nodo vertice • Un enlace con el padre C E D F typedef struct Vertice{ Generico Informacion; Vertice *padre; Lista *LArcos; }Vertice;

15. Num(v) se calcula a medida que se genera el Arbol de Expansion Para calcular Bajo(v), se necesita bajar hasta conocer los Bajos(hijos de v) C D F E B ALGORITMO: ENCONTRAR P.A. • A cada vertice numerarlo • De acuerdo al recorrido • Se obtiene Num(v) • A c/vertice, calcular Bajo(v) • Minimo entre • Num(v) • Num(arco_retroceso de v) • Bajo(hijos de v) • P.A. son • La raiz si tiene >= 2 hijos • Vertices para los cuales • Algun Bajo(hijo de v) >= Num(v) 1 ,1 Min(1, --, 2) A es P.A. A C es P.A. ,2 ,3 2 3 Min(3, --, 3) ,3 4 Min(2, --, --) Min(4, ---, 3) 5 ,3 Min(5, ---, 3) 6 ,3 Min(6, 3, ----)

16. CAMBIOS EN EL ARBOL • Tanto Num(v) como Bajo(v) • Deben ser parte ahora de la estructura • Del arbol typedef struct TVertices{ Generico V[MAX]; int Padres[MAX]; int Num[MAX]; int Bajo[MAX]; int nvertices; }Vertices; typedef struct Vertice{ Generico Informacion; int Num, Bajo; Vertice *padre; Lista *LArcos; }Vertice;

17. COMO IMPLEMENTAR?? • Primero • Que representacion se usara? • Si es M.A. • Usar Arbol de Expansion como un tipo aparte • Si es L.A. • Usar Grafo para trabajar con Arbol de Exp. • Luego • Recorrer el grafo • Para llenar Num y enlazar a los padres • Calcular Bajo • Y con esta informacion decidir cual es punto de art.

18. IMPLEMENTACIONCALCULAR NUM y PADRES //Al recorrer, llenar Num y enlazar con los padres void RecorrerParaArbol(Grafo G, Vertice *V, int *vez){ int i; LSE_nodo *p; V->visitado = TRUE; *vez++; ((Vertice *)(p->G))->Num = *vez; for(p = V->LA->header; p!=NULL; p= p->sig){ if(!((Vertice *)(p->G))->Visitado){ RecorrerParaArbol(G, p->G, vez); ((Vertice *)p->G)->padre = V; } } Al vertice de origen, marcar como vistado y contarlo, hay que llevar rastreo del aumento del contador

19. IMPLEMENTACION CALCULAR BAJO //Para calcular el Bajo de Vorigen, calcular Bajo de los hijos(en recorrido9 //Es decir, recorrer otra vez el grafo para poder “bajar” x el mismo void CalcularBajo(Grafo G, Vertice *V ){ int i; LSE_nodo *p; Vertice *Ad; V->visitado = TRUE; V->Bajo = V->Num; for(p = V->LA->header; p!=NULL; p= p->sig){ Ad = Generico_ObtenerVertice(p->G); if(!Ad->Visitado){ CalcularBajo(G, Ad); if(Ad->Bajo < V->Bajo) V->Bajo = A->Bajo; }else if(V->padre!=Ad) if(Ad->Num < V->Bajo) V->Bajo = Ad->Num; } } Antes de llamar a esta funcion, el grafo debe de volver a quedar como si no se hubiese recorrido antes Calcular el bajo del hijo, si es menor que el actual, cambiarlo Si ya fue visitado y no es el padre: arco en retroceso

20. EJERCICIO • Escriba una funcion que dado un Grafo permita conocer los puntos de Articulacion del mismo • Recuerde que los P.A. son vertices