Grafos eulerianos

1. Grafos eulerianos

2. Linha de Euler • Em que tipo de grafo é possível achar um ciclo que passe por cada aresta exatamente uma vez? • Esse ciclo linha de Euler • O grafo que consiste nesta linha: grafo euleriano • Um grafo euleriano é sempre conexo, a menos de vértices isolados.

3. Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss todos os vértices de G são de grau par

4. Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss ele pode ser decomposto em ciclos

5. Pontes Seja (G) o número de componentes conexas de G. Uma ponte é uma aresta a tal que (G - a) > (G)

6. Teoria dos Grafos Ciclos Eulerianos entrada: grafo euleriano G = (V,E)‏ 1. EC ← [w]; 2. CV ← w; 3. E´ ← ; 4. enquanto |(w)| > 0 faça 5. se |  (CV)| > 1 então 6. encontrar v  (CV), {CV,v} não é ponte de G-E´ 7. senão 8. v = o vértice em  (CV) 9. fim-se 10. retirar v de  (CV) e CV de  (v) 11. E´ ← E´ U {{CV,v}} 12. CV ← v; 13. adicionar CV no final de EC 14. fim-enquanto saída: EC CV: vértice que está sendo visitado E´: conjunto de arestas já traçadas EC: lista de vértices ordenada pela seqüência de visitas (v):conjunto de vizinhos de v em G-E´

7. Teoria dos Grafos Exemplo Exercício: Executar o algoritmo para o grafo descrevendo os principais passos e a idéia do seu funcionamento. g g b b a a c c e e e f f d d

8. Teoria dos Grafos Grafos Hamiltonianos

9. Teoria dos Grafos Ciclo Hamiltoniano • Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano

10. Teoria dos Grafos Caminho e Ciclo Hamiltoniano • Um caminho que contém todos os vértices de G é dito um caminho hamiltoniano • Um ciclo hamiltoniano é um ciclo que contém todos os vértices de G • Nem todo grafo conexo possui um ciclo hamiltoniano

11. Teoria dos Grafos Questão Existe uma condição necessária e suficiente para um grafo conexo possuir um ciclo hamiltoniano?

12. Teoria dos Grafos Teorema Se G é hamiltoniano então, para todo subconjunto não-vazio e próprio S de V, (G-S)  |S|

13. Teoria dos Grafos Exemplo n = 9 S = {s1, s2, s3} s1 s1 s2 s3 s1 s1 s1

14. Teoria dos Grafos Grafo de Petersen

15. Teoria dos Grafos d b a c Teorema Se G é um grafo simples com n  3 e  n/2, então G é hamiltoniano

16. Teoria dos Grafos Prova • Seja G um grafo simples, com n  3 e  n/2 e não hamiltoniano. Sup. G é maximal com respeito a essa propriedade, ou seja, não existe nenhum outro grafo com mais arestas do que ele que não seja hamiltoniano • Sejam u e v vértices não adjacentes em G • Como G é maximal, G + {u,v} é hamiltoniano • A aresta {u,v} pode ser adicionada a G pois sabemos que G não é completo, pois por suposição, n  3 e G é não hamiltoniano (todo grafo completo possui um ciclo hamiltoniano)‏ • Como G é não hamiltoniano, todo ciclo hamiltoniano de G+{u,v} contém a aresta {u,v}

17. Teoria dos Grafos Prova • Logo existe o caminho hamiltoniano em G descrito por u = v1v2v3...vn-1vn= v • O grafo G pode conter mais arestas do que aquelas pertencentes ao caminho (pois  n/2) • Sejam S = {vi | uvi+1 E} e T = {vi | viv  E} • vn S e vn T  vn S  T  |S  T| < n (I)‏ • Além disso, |S  T| = 0 (senão haveria um ciclo hamiltoniano em G) (II)‏ • De (I) e (II): d(u) + d(v) = |S|+|T| = |S  T| + |S  T| < n+0 = n • Daí, existe algum vértice em G cujo grau é menor que n/2 (contradição)‏ • Logo G é hamiltoniano

18. Teoria dos Grafos Teorema Número de ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas em um grafo: em aberto! Em um grafo completo esse número pode ser determinado Em um grafo completo com n vértices, existem (n-1)/2 ciclos hamiltonianos com arestas disjuntas, se n é ímpar e n  3.

19. Teoria dos Grafos Exercício • Exiba um grafo euleriano e hamiltoniano • Exiba um grafo euleriano e não hamiltoniano • Exiba um grafo não euleriano e hamiltoniano • Exiba um grafo não euleriano e não hamiltoniano