Grafos

1. Grafos Histórico, exemplos e problemas

2. Pontes de Königsberg Königsberg, Prússia (atual Калинингра́д), Rússia

3. Pontes de Königsberg É possível cruzar cada ponte uma única vez e voltar ao ponto de partida?

4. Pontes de Königsberg É possível cruzar cada ponte uma única vez e voltar ao ponto de partida?

5. Pontes de Königsberg Ninguém conseguia uma solução. Alguns achavam que era impossível.

6. Leonhard Euler (“Óiler”) • Um dos matemáticos mais produtivos da história • 13 filhos • mais de 800 artigos publicados • séries – Cálculo • equações diferenciais – Cálculo e Cálculo Numérico • Ficou cego e continuou escrevendo artigos por mais 17 anos até sua morte

7. Pontes de Königsberg • Resolvido em 1736 por Leonhard Euler • Necessário um modelo para representar o problema • Abstração de detalhes irrelevantes: • Área de cada ilha • Formato de cada ilha • Tipo da ponte, etc.

8. Pontes de Königsberg • Euler demonstrou que o problema das pontes de Königsberg não tem solução • Ele usou um modelo simplificado das ligações entre as regiões • Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os caminhos em retas e suas intersecções em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da história.

9. Pontes de Königsberg • Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse no máximo dois pontos de onde saia um número ímpar de caminhos. • A razão de tal coisa é: de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar" e outro para "sair". • Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente

10. Pontes de Königsberg • Euler estabeleceu um teorema que diz em que condições é possível percorrer cada linha exatamente uma vez e voltar ao ponto inicial • Foi o primeiro teorema da Teoria dos Grafos

11. Pontes de Königsberg • Como os graus de todos os vértices são impares, é fácil verificar que este grafo não apresenta nem uma trilha, nem um ciclo euleriano, visto que ele não satisfaz o teorema de euler, nem tampouco é um grafo atravessável. Logo, a travessia proposta não é possível. • Teorema de euler: Um multigrafo M é euleriano se e somente se M é conexo e cada vértice de M tem grau par. • Teorema de grafo atravessável: Um multigrafo M é atravessável se e somente se M é conexo e tem exatamente dois vértices de grau impar. Consequentemente, qualquer trilha euleriana de M começa em um dos vértices de grau impar e termina no outro vértice de grau impar.

12. Pontes de Königsberg • Euler mostrou que não existe o trajeto proposto utilizando o modelo em grafos • Verifique nos grafos abaixo se o trajeto proposto é possível

13. Mais história • Um século sem estudos em grafos • Leis de Kirchoff (Kirchoff, 1847) • Problema das 4 cores (De Morgan, 1852) • Aplicações em Química orgânica (Cayley, 1857) • Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859)

14. O problema das 3 casas • É possível conectar os 3 serviços às 3 casas sem haver cruzamento de tubulação? A teoria dos grafos mostra que não é possível água luz telefone

15. Mapas • Quantas cores são necessárias?

16. Mapas • Quantas cores são necessárias?

17. Questões sobre o caminho mínimo • De forma a reduzir seus custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte.

18. Modelagem com grafos • Estamos interessados em objetos e nas relações entre eles • Quem são eles nos problemas apresentados? • Como representar graficamente?

19. Modelagem com grafos No problema das casas • Vértices são casas e serviços • Arestas são as tubulações entre casas e serviços • No problema da coloração de mapas • Vértices são estados • Arestas relacionam estados vizinhos • No problema do caminho mais curto • Vértices são as cidades • Arestas são as ligações entre as cidades

20. Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área • Formulação do problema das 4 cores (De Morgan 1852). • Qual a quantidade mínima de cores para colorir um mapa de tal forma que países fronteiriços possuam cores diferentes? • Apresenta-se um exemplo em que 3 cores não são suficientes. Uma prova de que 5 cores é suficiente foi formulada. Conjecturou-se então que 4 cores seriam suficientes. Esta questão ficou em aberto até 1976 quando Appel e Haken provaram para 4 cores.

21. Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área • Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859) Existem n cidades. Cada par de cidades pode ser adjacente ou não arbitrariamente. Partindo de uma cidade qualquer, o problema consiste em determinar um trajeto que passe exatamente uma vez em cada cidade e retorne ao ponto de partida.

22. Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela área • Teoria das árvores      - Kirchoff (1847) - problemas de circuitos elétricos      - Cayley (1857) - Química Orgânica

23. Então, o que é um grafo? • Informalmente, um conjunto de objetos e ligações (relações) entre eles • Alguns chamam de rede • Muitas vezes representado graficamente (pontos e linhas) • Os objetos são chamados de vértices e as • ligações, de arestas

24. O que são Grafos • Diagrama - Corresponde a soma de pontos e linhas, onde os pontos apresentam alguma informação e as linhas indicam o relacionamento entre dois pontos quaisquer • Ferramenta de modelagem • Abstração matemática que representa situações reais através de um diagrama.

25. Grafo vs gráfico • Um grafo pode ser representado graficamente de diversas maneiras

26. Grafo vs gráfico • O que importa são as relações que existem entre os vértices

27. Porque estudar Grafos ? • Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento • Genética, química, pesquisa operacional, telecomunicações, engenharia elétrica, redes de computadores, conexão de vôos aéreos, restrições de precedência, fluxo de programas, dentre outros • Utilizados na definição e/ou resolução de problemas

28. Porque estudar Grafos • Em computação: estudar grafos é mais uma forma de solucionar problemas computáveis • Os estudos teóricos em grafos, buscam o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes.